新高考数学一轮复习教师用书：第四章　3 第3讲　两角和与差的正弦、余弦和正切公式学案

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第3讲　两角和与差的正弦、余弦和正切公式


1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式
sin(α±β)＝sin__αcos____β±cos__αsin____β；
cos(α∓β)＝cos__αcos____β±sin__αsin____β；
tan(α±β)＝.
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin 2α＝2sin__αcos____α；
cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
tan 2α＝.
[三角函数公式的变形]
(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)；
(2)cos2α＝，sin2α＝；
(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝sin.
3．三角函数公式关系


[疑误辨析]
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意角．(　　)
(2)两角和与差的正切公式中的角α，β是任意角．(　　)
(3)cos 80°cos 20°－sin 80°sin 20°＝cos(80°－20°)＝cos 60°＝.(　　)
(4)公式tan(α＋β)＝可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．(　　)
(5)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.(　　)
答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√
[教材衍化]
1．(必修4P127练习T2改编)若cos α＝－.α是第三象限的角，则sin＝________．
解析：因为α是第三象限角，所以sin α＝－＝－，所以sin＝－×＋×＝－.
答案：－
2．(必修4P131练习T5改编)sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°＝________．
解析：sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°
＝sin(270°＋77°)cos(90°＋58°)＋sin 77°cos 58°
＝(－cos 77°)·(－sin 58°)＋sin 77°cos 58°
＝sin 58°cos 77°＋cos 58°sin 77°
＝sin(58°＋77°)＝sin 135°＝.
答案：
3．(必修4P146A组T4改编)tan 20°＋tan 40°＋tan 20°·tan 40°＝________．
解析：因为tan 60°＝tan(20°＋40°)＝，
所以tan 20°＋tan 40°＝tan 60°(1－tan 20°tan 40°)
＝－tan 20°tan 40°，
所以原式＝－tan 20°tan40°＋tan 20°tan 40°＝.答案：
[易错纠偏]
(1)不会逆用公式，找不到思路；
(2)不会合理配角出错；
(3)忽视角的范围用错公式．
1．化简：＝________．
解析：原式＝
＝＝＝.
答案：
2．若tan α＝3，tan(α－β)＝2，则tan β＝________．
解析：tan β＝tan[α－(α－β)]
＝
＝＝.
答案：
3．已知θ∈，且sin＝，则tan 2θ＝________．
解析：法一：sin＝，得sin θ－cos θ＝，①
已知θ∈，①平方得2sin θcos θ＝，
可求得sin θ＋cos θ＝，所以sin θ＝，cos θ＝，
所以tan θ＝，tan 2θ＝＝－.
法二：因为θ∈且sin＝，
所以cos＝，
所以tan＝＝，所以tan θ＝.
故tan 2θ＝＝－.
答案：－


　　　　　　三角函数公式的直接应用
(1)已知α∈，sin α＝，则tan＝(　　)
A．－　　 　B.　　　 C.　　　 D．－
(2)(2020·杭州中学高三月考)已知α∈，且sin＝，则sin α＝______，cos＝______．
【解析】　(1)因为α∈，所以cos α＝－，
所以tan α＝－，
所以tan＝＝＝.
(2)因为α∈，所以0