人教版八年级上册第十三章 轴对称综合与测试单元测试同步训练题

2021-2022学年度初中八年级数学上册第十三章

轴对称测试卷

一、单选题

1．如图，中，，于D，BE平分，且于E，与CD相交于点F，于H，交BE于G，下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（   ）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

2．如图，将长方形纸片ABCD，沿折痕MN折叠，B分别落在A1，B1的位置，A1B1交AD于点E，若∠BNM＝65°，以下结论：①∠B1NC＝50°；②∠A1ME＝50°；③A1M∥B1N；④∠DEB1＝40°．正确的个数有（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

3．如图，点D在等边△ABC的边CB的延长线上，点E在线段BC上，连接AD，AE，若DA＝DE，且∠DAB＝20°，那么∠EAC的度数为（    ）

A．20° B．15° C．10° D．5°

4．在中，，，的平分线交于点，若，则长为（    ）

A． B．6 C． D．8

5．下列四种基本尺规作图分别表示：①作一个角等于已知角；②作一个角的平分线；③过直线外一点作已知直线的垂线；④作一条线段的垂直平分线，则对应作法错误的是（　　　）．

A．① B．② C．③ D．④

6．如图，已知直线和外一点，用尺规过点作的垂线．

步骤如下：

第一步：任意取一点，使点和点在的两旁；

第二步：以为圆心，以为半径画弧，交直线于点，；

第三步：分别以，为圆心，以为半径画弧，两弧交于点；

第四步：画直线，直线即为所求．

下列正确的是（   ）

A．，均无限制 B．，的长

C．有最小限制，无限制 D．，的长

7．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，AD是BC边上的中线，CE平分交AB于点E，AD、CE相交于点F，则∠CFA的度数是（   ）

A．100° B．105° C．110° D．120°

8．下列四种表情图片，其中是轴对称图形的是（    ）

A． B． C． D．

9．如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．若△ADC的周长为10，AB＝7，则△ABC的周长为（　　）

A．20 B．17 C．14 D．7

10．如图，在等边△ABC中，点E是AC边的中点，点P是△ABC的中线AD上的动点，且AD＝6，则EP+CP的最小值是（　　）

A．12 B．9 C．6 D．3

二、填空题

11．如图，在四边形ABDE中，C是BD边的中点，BD＝8，AB＝2，DE＝8．若∠ACE＝135°，则线段AE长度的最大值是________．

12．△ABC中，D、E在BC上，且EA＝EB，DA＝DC，若∠EAD＝30°，则∠BAC＝_____．

13．如图，在中，，，于，是的平分线，交于点．若，则的长为________．

14．在平面直角坐标系中，将点向右平移4个单位得到点，则点关于x轴的对称点的坐标为________．

15．如图，中，是上任意一点，于点于点F，若，则________．

16．如图，在中，，以为边，在的同侧作等边，，，，交于点G，若，则“皇冠形”的面积为________．

17．在△ABC中，∠ABC＝48°，点D在BC边上，且满足∠BAD＝18°，DC＝AB，则∠CAD＝_____度．

18．一等腰三角形的底边长为，一腰上的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部分比另一部分长，那么这个三角形的周长为________．

19．如图，将长方形纸片折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为，若，则的度数为___________．

20．如图，直线分别交轴、轴于、两点，若点、、分别在线段、、上，且，．过点作交的延长线于点，若点，则点的坐标是________．

三、解答题

21．如图，在中，，为上一点，连接．

（1）如图，若，，，则                       ；

（2）如图，作，且，连接，，求证：．

22．如图，AC和BD交于点O，∠A＝∠D＝90°，AC＝BD．

求证：OA＝OD．

23．如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，的位置如图所示，的三个顶点均在格点上，其中点A的坐标为 ．

（1）作关于x轴对称的；

（2）将绕点O顺时针旋转，作出旋转后得到的；

（3）在（2）的条件下，求线段AB在旋转过程中所扫过的面积 ．

24．尺规作图（不写作图过程，保留作图痕迹）

求作：点，使直线，且点到，两点的距离相等．（在题目的原图中完成作图）

结论：

25．在一张半透明的纸的左边画上一个三角形，把这张纸对折后描图，打开这张纸，就能得到相应的另外一个三角形．如图所示：

（1）这两个三角形有什么关系？

（2）这条折痕和这两个三角形有什么关系？

（3）图中的点A和点D之间的连线和折痕有什么关系？

参考答案

1．B

 【详解】

解：∵CD⊥AB，∠ABC＝45°，

∴△BCD是等腰直角三角形．

∴BD＝CD．故①正确；

连接CG．

∵△BCD是等腰直角三角形，

∴BD＝CD

又DH⊥BC，

∴DH垂直平分BC．∴BG＝CG

在Rt△CEG中，

∵CG是斜边，CE是直角边，

∴CE＜CG．

∵CE＝AE，

∴AE＜BG．故②错误．

在Rt△BEA和Rt△BEC中

∵BE平分∠ABC，

∴∠ABE＝∠CBE．

又∵BE＝BE，∠BEA＝∠BEC＝90°，

∴Rt△BEA≌Rt△BEC．

∴CE＝AE＝AC．

在Rt△DFB和Rt△DAC中，

∵∠DBF＝90°﹣∠BFD，∠DCA＝90°﹣∠EFC，且∠BFD＝∠EFC，

∴∠DBF＝∠DCA．

又∵∠BDF＝∠CDA＝90°，BD＝CD，

∴△DFB≌△DAC．

∴BF＝AC，

∴CE＝AC＝BF，

∴2CE＝BF；

故③正确；

由③可得△DFB≌△DAC．

∴BF＝AC；DF＝AD．

∵CD＝CF+DF，

∴AD+CF＝BD；故④正确；

 2．D

 【详解】

解：在长方形纸片ABCD中，∠A=90°，AD∥BC，

∴∠BNM+∠AMN=180°，

∵∠BNM＝65°，

∴∠AMN＝115°，

由折叠的性质可得：∠B1NM=∠BNM＝65°，∠AMN＝∠A1MN＝115°，

∵∠BNM+∠B1NM+∠B1NC=180°，

∴∠B1NC＝50°；故①正确；

∵∠AMN＝∠A1MN＝115°，

∴∠A1ME＝∠AMN+∠A1MN-180°=50°，故②正确；

∵∠A1MN＝115°，∠B1NM＝65°，

∴∠B1NM+∠A1MN=180°，

∴A1M∥B1N，故③正确；

∵∠A1=∠A=90°，

∴∠A1ME+∠A1EM=90°，

∵∠A1ME=50°，

∴∠DEB1=∠A1EM＝40°，故④正确；

 3．C

 【详解】

∵△ABC是等边三角形

∴∠ABC=∠ACB=60゜

∵∠ABC=∠D+∠DAB

∴∠D=∠ABC-∠DAB=60゜-20゜=40゜

∵DA=DE

∴∠DEA=∠DAE=    

∵∠DEA=∠ACB+∠EAC

∴∠EAC=∠DEA-∠ACB=70゜-60゜=10゜

 4．A

 【详解】

∵，，

∴∠ABC=90°-30°=60°，

∵BD为∠ABC的角平分线，

∴∠ABD=∠CBD=30°，

∴∠A=∠ABD，

∴BD=AD=8，

∴CD=BD=4，

∴BC==，

 5．D

 【详解】

①作一个角等于已知角的方法正确；

②作一个角的平分线的作法正确；

③过直线外一点作已知直线的垂线的作法正确；

④作一条线段的垂直平分线，两弧缺少另一个交点，作法错误；

 6．B

 【详解】

解：由第二步：以为圆心，以为半径画弧，交直线于点，；

∵圆弧过点K，

∴=CK，

由第三步：分别以，为圆心，以为半径画弧，两弧交于点；

∵以点D与E为圆心的圆过点F，

∴DF=EF=b，

∵DF+EFEF，

∴2DFEF，

∴．

 7．C

 【详解】

解： ∵，

∴，

∵CE平分，

∴，

∵，AD是BC上的中线，

∴，

∴．

 8．A

 【详解】

解：由轴对称图形的概念可知A是轴对称图形，B，C与D不是轴对称图形．

 9．B

 【详解】

解：由题意可知：MN垂直平分AB，则AD=BD，

∵△ADC的周长=AC+AD+CD=10，

∴AC+BD+CD=AC+BC=10，

∵AB＝7，

∴△ABC的周长为AC+BC+AB=10+7=17,

 10．C

 【详解】

解：作点E关于AD的对称点F，连接CF，

∵△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，

∴AD⊥BC，

∴AD是BC的垂直平分线，

∴点E关于AD的对应点为点F，

∴CF就是EP+CP的最小值．

∵△ABC是等边三角形，E是AC边的中点，

∴F是AB的中点，

∴CF是△ABC的中线，

∴CF＝AD＝6，

即EP+CP的最小值为6，

 11．10＋4

 【详解】

如图：作B关于AC的对称点F，D关于EC的对称点G，

连接AF， FC，CG，EG，FG，如图所示：

∵C是BD边的中点，

∴CB=CD=BD，

∵对称

∴△ACB≌△ACF(SAS)，

∴CF=CB，

∴∠BCA=∠FCA，

∵对称

∴△EGC≌△EDC(SAS)，

∴CD=CG，

∴∠DCE=∠GCE，

∵CB=CD，

∴CG=CF

∵∠ACE=135°，

∴∠BCA+∠DCE=180°-135°=45°，

∴∠FCA+∠GCE=45°，

∴ ∠FCG=90°，

∴△FGC是等腰直角三角形

∴FC=BD=4，

∴FG=FC=，

∵AE=AB++DE，

∵AB=2，DE=8，

∴AE≤AF+FG+EG=10+，

∴当A、F、G、E共线时AE的值最大，最大值为10+，

故答案为：10+．

 12．105°

 【详解】

∵EA＝EB，

∴∠EBA=∠EAB，

∵DA＝DC，

∴∠DAC=∠DCA，

根据三角形外角和定理，得∠AED=∠EBA+∠EAB=2∠EAB，∠ADE=∠DAC+∠DCA=2∠DAC，

∴∠EAB+∠DAC==，

∵∠EAD＝30°，

∴∠EAB+∠DAC=75°，

∴∠BAC=∠EAB+∠DAC+∠EAD=75°+30°=105°，

故答案为：105°．

 13．6

 【详解】

解：∵∠BAC=90°，∠C=30°，
∴∠ABC=60°，
∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠ABP=∠DBP=30°，
∵AD⊥BC，
∴∠BAD=30°，∠PAE=60°, ∠BPD=∠APE =60°
∴∠PAB=∠PBA，
∴BP=AP，

∵∠PAE=∠APE =60°,

∴△APE为等边三角形，

∴PE=AP=BP=2
∵在Rt△PBD中，∠DBP=30°,

∴PD=PB=1，
∴AD=AP+PD=2+1=3，
∵在Rt△ADC中，∠C=30°,

∴AC=2AD=6．
故答案为6．

 14．

 【详解】

解：∵将点P（3，-2）向右平移4个单位得到点，
∴点的坐标是（7，-2），
∴点关于x轴的对称点的坐标是（7， 2）．

故答案为：（7， 2）

 15．1

 【详解】

解：连接，如下图：

于点于点，

，

，

，

故答案是：1．

 16．13a

 【详解】

解：∵△ABE、△ACD、△BCF都是等边三角形，AC⊥BC，

∴BC=CE，∠ACD=∠AEB=60°，

∴∠ECG=90°-∠ACD=30°，∠CGE=90°，

∴EG=CE，

设EG=x，则CE=BC=2x，CG=x，AE=BE=4x，

∴AC=x=BE，

∵S△GCE=EG·CG===a，

∴S△ABE=BE·AC=BE·BE=BE2=，

S△BCF=，

∵AG⊥CD，

∴DG=CG，

∴S△ADG=S△ACD=，

∴皇冠ADGECF的面积

=S△ADG+S△ABE+S△BCF

=

=

=13a

故答案为：13a．

 17．66

 【详解】

解：如图，在线段CD上取一点E，使CE＝BD，连接AE，

∴CE+DE＝BD+DE，

即CD＝BE，

∵CD＝AB，

∴AB＝BE，

∴∠BAE＝∠BEA，

∵∠B＝48°，

∴∠BAE＝∠BEA＝66°，

∵∠B＝48°，∠BAD＝18°，

∴∠ADE＝66°＝∠AED，

∴AD＝AE，∠ADB＝∠AEC，

在△ABD和△ACE中，

，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴∠EAC＝∠BAD＝18°，

∴∠CAD＝∠CAE+∠DAE＝∠BAD+∠DAE＝66°．

故答案为：66．

 18．或

 【详解】

解：如图，为等腰三角形，

设 则

当时，

解得：

当时，

解得：

故答案为：或

 19．

 【详解】

∵，四边形ABCD为长方形，

∴，

由折叠的性质可知，，

∴．

∵，

∴，

再由折叠的性质可知，即．

故答案为．

 20．（，）

 【详解】

解：∵，，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴为等腰直角三角形，

∴，

过点F作轴于点M，过点C作轴于点N，连接OF、OC，

∵,

∴

∴，

∵，

∴FM=OM，

∴，即，

∵

即

∴

∴点的坐标是（，）．

故答案为：（，）．

 21．（1）3；（2）见解析

 【详解】

解：（1），，

，

，

，

，

，

．

（2）

．

又，

为等边三角形，

，

，即．

，，

．

 22．见解析．

 【详解】

证明：∵∠A＝∠D＝90°，

在Rt△BAC与Rt△CDB中，

，

∴Rt△BAC≌Rt△CDB（HL），

∴∠ACB＝∠DBC，

∴∠OCB＝∠OBC，

∴OB＝OC，

∵AC＝BD，

∴AC﹣OC＝BD﹣OB，

即OA＝OD．

 23．（1）见解析；（2）见解析；（3）．

 【详解】

解：（1）如图所示 ；

（2）如图所示 ；

（3）如图，连接

由题意，可得，，

设交于，

．

 24．作图见解析；结论：同位角相等，两直线平行；垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等．

 【详解】

如图所示，

（1）以D为顶点，DC为边作一个角等于；

（2）做出BD垂直平分线；

（3）两直线交点为E，点E即为所求；

结论：同位角相等，两直线平行；垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等．

 25．（1）这两个三角形的形状、大小完全相同；（2）两个三角形关于折痕成轴对称；（3）两点的连线，被折痕垂直平分