初中数学人教版九年级上册第二十四章 圆综合与测试课后作业题

这是一份初中数学人教版九年级上册第二十四章 圆综合与测试课后作业题，共28页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
人教版九年级上数学第二十四章圆全章综合训练
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________


一、单选题
1．如图，BC是的直径，A，D是上的两点，连接AB，AD，BD，若，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
2．如图所示，矩形纸片中，，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则的长为（ ）

A． B． C． D．
3．如图，在中，，将△AOC绕点O顺时针旋转后得到，则AC边在旋转过程中所扫过的图形的面积为（ ）．

A． B． C． D．
4．如图，AC，BE是⊙O的直径，弦AD与BE交于点F，下列三角形中，外心不是点O的是（ ）

A．△ABE B．△ACF C．△ABD D．△ADE
5．已知某直线到圆心的距离为，圆的周长为，请问这条直线与这个圆的公共点的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．无法确定
6．如图物体由两个圆锥组成，其主视图中，．若上面圆锥的侧面积为1，则下面圆锥的侧面积为（ ）

A．2 B． C． D．
7．如图，在一个圆内有、、，若+=，则AB+CD与EF的大小关系是（　　）

A．AB+CD＝EF B．AB+CD＜EF C．AB+CD≤EF D．AB+CD＞EF
8．如图，一把直尺，的直角三角板和光盘如图摆放，为角与直尺交点，,则光盘的直径是( )

A．3 B． C． D．
9．如图，在的外接圆上，所对的圆心角的度数比为．在上取一点，过分别作直线的平行线，交于两点，则的度数为（ ）

A．55° B．60° C．65° D．70°
10．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCO的顶点A、C分别在y轴、x轴上，以AB为弦的⊙M与x轴相切．若点A的坐标为（0，8），则圆心M的坐标为（　　）

A．（﹣4，5） B．（﹣5，4）
C．（5，﹣4） D．（4，﹣5）
11．如图，在菱形ABCD中，以AB为直径画弧分别交BC于点F，交对角线AC于点E，若AB=4，F为BC的中点，则图中阴影部分的面积为（　　）

A． B． C． D．
12．如图，△ABC内接于⊙O，AB=BC，∠ABC=120°，AD为⊙O的直径，AD=6，那么AB的值为（ ）

A．3 B． C． D．2
13．如图，在中，，在边上取点为圆心画圆，使经过两点，下列结论：①；②；③以圆心，为半径的圆与相切；④延长交于点，则是的三等分点．其中正确结论的序号是（ ）

A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①③④

二、填空题
14．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积（弦×矢+矢2）．孤田是由圆弧和其所对的弦围成（如图中的阴影部分），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，运用垂径定理（当半径⊥弦时，平分）可以求解．现已知弦米，半径等于5米的弧田，按照上述公式计算出弧田的面积为_____平方米．

15．的圆心是原点，半径为5，点在上，如果点在第一象限内，那么______.
16．是的直径，，在上且分布在两侧，是直径所对弧的一个三等分点，则__________．
17．如图，扇形中，．若将此扇形绕点B顺时针旋转，得一新扇形，其中A点在上，则点O的运动路径长为_______．（结果保留）

18．刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，设圆O的半径为1，若用圆O的外切正六边形的面积来近似估计圆O的面积，则S=_____．（结果保留根号）
19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D是AB的中点，以CD为直径作⊙O，⊙O分别与AC，BC交于点E，F，过点F作⊙O的切线FG，交AB于点G，则FG的长为_____．


三、解答题
20．如图1，为半圆的直径，点为圆心，为半圆的切线，过半圆上的点作交于点，连接．
（1）连接，若，求证：是半圆的切线；
（2）如图2，当线段与半圆交于点时，连接，，判断和的数量关系，并证明你的结论．











21．探究活动一：
如图1，某数学兴趣小组在研究直线上点的坐标规律时，在直线AB上的三点A（1，3）、B（2，5）、C（4，9），有kAB＝＝2，kAC＝＝2，发现kAB＝kAC，兴趣小组提出猜想：若直线y＝kx+b（k≠0）上任意两点坐标P（x1，y1），Q（x2，y2）（x1≠x2），则kPQ＝是定值．通过多次验证和查阅资料得知，猜想成立，kPQ是定值，并且是直线y＝kx+b（k≠0）中的k，叫做这条直线的斜率．
请你应用以上规律直接写出过S（﹣2，﹣2）、T（4，2）两点的直线ST的斜率kST＝ ．
探究活动二
数学兴趣小组继续深入研究直线的“斜率”问题，得到正确结论：任意两条不和坐标轴平行的直线互相垂直时，这两条直线的斜率之积是定值．
如图2，直线DE与直线DF垂直于点D，D（2，2），E（1，4），F（4，3）．请求出直线DE与直线DF的斜率之积．
综合应用
如图3，⊙M为以点M为圆心，MN的长为半径的圆，M（1，2），N（4，5），请结合探究活动二的结论，求出过点N的⊙M的切线的解析式．









22．如图，已知AB是⊙P的直径，点在⊙P上，为⊙P外一点，且∠ADC＝90°，直线为⊙P的切线．
⑴ 试说明：2∠B＋∠DAB＝180°
⑵ 若∠B＝30°，AD＝2，求⊙P的半径．







23． 若一个四边形的两条对角线互相垂直且相等，则称这个四边形为奇妙四边形．如图1，四边形ABCD中，若AC=BD，AC⊥BD，则称四边形ABCD为奇妙四边形．根据奇妙四边形对角线互相垂直的特征可得奇妙四边形的一个重要性质：奇妙四边形的面积等于两条对角线乘积的一半．根据以上信息回答：

（1）矩形 奇妙四边形（填“是”或“不是”）；
（2）如图2，已知⊙O的内接四边形ABCD是奇妙四边形，若⊙O的半径为6，∠ BCD=60°．求奇妙四边形ABCD的面积；
（3）如图3，已知⊙O的内接四边形ABCD是奇妙四边形作OM⊥BC于M．请猜测OM与AD的数量关系，并证明你的结论．









24．如图，已知抛物线的图象的顶点坐标是，并且经过点，直线与抛物线交于两点，以为直径作圆，圆心为点，圆与直线交于对称轴右侧的点，直线上每一点的纵坐标都等于1．

（1）求抛物线的解析式；
（2）证明：圆与轴相切；
（3）过点作，垂足为，再过点作，垂足为求的值．


参考答案
1．A
【分析】
连接AC，如图，根据圆周角定理得到，，然后利用互余计算的度数．
【详解】
连接AC，如图，
∵BC是的直径，
∴，
∵，
∴．
故答案为．
故选A．

【点睛】
本题考查圆周角定理和推论，解题的关键是掌握圆周角定理和推论．
2．B
【分析】
设AB=xcm，则DE=（6-x）cm，根据扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长列出方程，求解即可．
【详解】
设，则DE=（6-x）cm，
由题意，得，
解得.
故选B．
【点睛】
本题考查了圆锥的计算，矩形的性质，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
3．B
【分析】
根据旋转的性质可以得到阴影部分的面积＝扇形OAB的面积﹣扇形OCD的面积，利用扇形的面积公式即可求解．
【详解】
解：
∴阴影部分的面积＝扇形OAB的面积﹣扇形OCD的面积
故选B．
【点睛】
考查了旋转的性质以及扇形的面积公式，正确理解：阴影部分的面积＝扇形OAB的面积﹣扇形OCD的面积是解题关键．
4．B
【详解】
试题分析：A．OA=OB=OE,所以点O为△ABE的外接圆圆心；
B．OA=OC≠OF，所以点不是△ACF的外接圆圆心；
C．OA=OB=OD,所以点O为△ABD的外接圆圆心；
D．OA=OD=OE,所以点O为△ADE的外接圆圆心；
故选B
考点：三角形外心

5．B
【分析】
根据若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．直线和圆有两个公共点，则直线和圆相交；直线和圆有唯一一个公共点，则直线和圆相切；直线和圆没有公共点，则直线和圆相离，即可得到问题选项．
【详解】
解：∵圆的周长为10πcm，
∴圆的半径为5cm，
∵圆心到直线l的距离为5cm，
∴d=r，
∴直线与圆相切，
∴直线l和这个圆的公共点的个数为1个．
故选：B．
【点评】
此题主要考查了直线与圆的位置关系，根据圆心距与半径关系得出位置关系是解决问题的关键．
6．D
【分析】
先证明△ABD为等腰直角三角形得到∠ABD＝45°，BD＝AB，再证明△CBD为等边三角形得到BC＝BD＝AB，利用圆锥的侧面积的计算方法得到上面圆锥的侧面积与下面圆锥的侧面积的比等于AB：CB，从而得到下面圆锥的侧面积．
【详解】
∵∠A＝90°，AB＝AD，
∴△ABD为等腰直角三角形，
∴∠ABD＝45°，BD＝AB，
∵∠ABC＝105°，
∴∠CBD＝60°，
而CB＝CD，
∴△CBD为等边三角形，
∴BC＝BD＝AB，
∵上面圆锥与下面圆锥的底面相同，
∴上面圆锥的侧面积与下面圆锥的侧面积的比等于AB：CB，
∴下面圆锥的侧面积＝×1＝．
故选D．
【点睛】
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了等腰直角三角形和等边三角形的性质．
7．D
【分析】
在弧EF上取一点M，使，推出，根据圆心角、弧、弦的关系得到AB＝FM，CD＝EM，根据三角形的三边关系定理求出FM＋EM＞FE即可．
【详解】
如图，在弧EF上取一点M，使，

则，
所以AB＝FM，CD＝EM，
在△MEF中，FM+EM＞EF，
所以AB+CD＞EF，
故选：D．
【点睛】
本题考查了三角形的三边关系，圆心角、弧、弦的关系等知识点的理解和掌握，能正确作辅助线是解题的关键．
8．D
【详解】
【分析】设光盘圆心为O，连接OC，OA，OB，由AC、AB都与圆O相切，利用切线长定理得到AO平分∠BAC，且OC垂直于AC，OB垂直于AB，可得出∠CAO=∠BAO=60°，得到∠AOB=30°，利用30°所对的直角边等于斜边的一半求出OA的长，再利用勾股定理求出OB的长，即可确定出光盘的直径．
【详解】如图，设光盘圆心为O，连接OC，OA，OB，
∵AC、AB都与圆O相切，
∴AO平分∠BAC，OC⊥AC，OB⊥AB，
∴∠CAO=∠BAO=60°，
∴∠AOB=30°，
在Rt△AOB中，AB=3cm，∠AOB=30°，
∴OA=6cm，
根据勾股定理得：OB=3，
则光盘的直径为6，
故选D.

【点睛】本题考查了切线的性质，切线长定理，含30°角的直角三角形的性质，以及勾股定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．
9．C
【分析】
根据题意即可求出所对的圆心角的度数，然后根据圆周角定理即可求出∠BAC的度数，再根据平行线的性质即可证出，最后根据三角形的内角和定理即可求出结论．
【详解】
解：所对的圆心角的度数比为
所对的圆心角的度数为



．
故选C．
【点睛】
此题考查的是圆周角定理、平行线的性质和三角形的内角和定理，掌握圆周角定理、平行线的性质和三角形的内角和定理是解决此题的关键．
10．A
【详解】
解：过点M作MD⊥AB于D，交OC于点E．连接AM，设⊙M的半径为R．

∵以边AB为弦的⊙M与x轴相切，AB∥OC，
∴DE⊥CO，∴DE是⊙M直径的一部分；
∵四边形OABC为正方形，顶点A，C在坐标轴上，点A的坐标为（0，8），
∴OA=AB=CB=OC=8，DM=8-R；∴AD=BD=4（垂径定理）；
在Rt△ADM中，
根据勾股定理可得AM2=DM2+AD2，
∴R2=（8-R）2+42，∴R=5．∴M（-4，5）．
故选A．
11．D
【分析】
取AB的中点O，连接AF，OF，先证明△ABC是等边三角形，再把问题转化为S阴=S扇形OBF，由此即可解决问题．
【详解】
解：如图，取AB的中点O，连接AF，OF．

∵AB是直径，
∴∠AFB=90°，
∴AF⊥BF，∵CF=BF，
∴AC=AB，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴AE=EC，
易证△CEF≌△BOF，
∴S阴=S扇形OBF==，
故选D．
【点睛】
考查扇形的面积，菱形的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题.
12．A
【详解】
解：∵AB=BC，∴∠BAC=∠C．
∵∠ABC=120°，∴∠C=∠BAC=30°．
∵∠C和∠D是同圆中同弧所对的圆周角，∴∠D=∠C=30°．
∵AD为直径，∴∠ABD=90°．
∵AD=6，∴AB=AD=3．
故选A．
13．D
【分析】
①连接OB，△OAB是等腰三角形，则两底角相等为30°，在Rt△ABC中可求得∠ABC的度数，做差得∠OBC，再利用30°的三角函数值得到线段间的关系；
②在Rt△OBC中，OB是斜边＞直角边BC的长度，而OA＝OB，可判断；
③过点O作OE⊥AB于点E，利用角平分线的性质定理，得到OC＝OE来判断；
④延长BC，交于点D，连接AD，可得到DC＝BC，加上∠C为90°，可推断△ABD为等腰三角形，而∠ABC＝60°，可判断△ABD是等边△，即可得出.
【详解】
①如图，连接，则．
，
，
．
，故①正确；
②在中，，
，故②错误；
③如图，过点作于点，
，
，
∴以圆心，为半径的圆与相切，故③正确；
④如图，延长，交于点，连接．
．
，
，
是等边三角形．
，
是的三等分点，故④正确；
故正确的有①③④．

【点睛】
本题综合性较强，考查了特殊角的三角函数值、角平分线的性质定理、等腰三角形、等边三角形的判定和性质，需要熟练掌握灵活应用性质及判定.
14．10
【分析】
根据垂径定理得到，由勾股定理得到，求得，根据弧田面积（弦×矢+矢2）即可得到结论．
【详解】
解：∵弦米，半径弦，
∴，
∴，
∴，
∴弧田面积（弦×矢+矢2），
故答案为10
【点睛】
此题考查垂径定理的应用，关键是根据垂径定理和扇形面积解答．
15．4
【分析】
如图,可得OA=5，OB=3，运用勾股定理可以求得AB的长，即为a的值.
【详解】
解：如图

由题意得：OA=5，OB=3，
由勾股定理可得：AB=
即a=4
【点睛】
本题考查了圆的性质和勾股定理，其中根据题意画出图形确定相应线段的长是解答本题的关键.
16．或
【分析】
此题分两种情况进行计算，点C有两种位置，分别根据圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半进行计算即可．
【详解】
如图所示：连接CO，

∵C是直径AB所对弧的一个三等分点，
∴∠COB=120°，
∴∠BDC=60°，
连接C1O，
∵C1是直径AB所对弧的一个三等分点，
∴∠C1OB=60°，
∴∠BDC1=30°，
故答案为或.
【点睛】
此题考查圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，解题关键在于画出图形.
17．4π．
【分析】
根据弧长公式，此题主要是得到∠OBO′的度数．根据等腰三角形的性质即可求解．
【详解】
解：根据题意，知OA=OB．
又∠AOB=36°，
∴∠OBA=72°．
∴点O旋转至O′点所经过的轨迹长度==4πcm．
故答案是：4π．
【点睛】
本题考查了弧长的计算、旋转的性质．解答该题的关键是弄清楚点O的运动轨迹是弧形，然后根据弧长的计算公式求解．
18．
【详解】
分析：根据正多边形的定义可得出△ABO为等边三角形，根据等边三角形的性质结合OM的长度可求出AB的长度，再利用三角形的面积公式即可求出S的值．
详解：依照题意画出图象，如图所示．

∵六边形ABCDEF为正六边形，
∴△ABO为等边三角形，
∵⊙O的半径为1，
∴OM=1，
∴BM=AM=，
∴AB=，
∴S=6S△ABO=6×××1=2．
故答案为2.
点睛：本题考查了正多边形和圆、三角形的面积以及数学常识，根据等边三角形的性质求出正六边形的边长是解题的关键．
19．．
【分析】
先利用勾股定理求出AB=10，进而求出CD=BD=5，再求出CF=4，进而求出DF=3，再判断出FG⊥BD，利用面积即可得出结论．
【详解】
如图，

在Rt△ABC中，根据勾股定理得，AB=10，
∴点D是AB中点，
∴CD=BD=AB=5，
连接DF，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CFD=90°，
∴BF=CF=BC=4，
∴DF==3，
连接OF，
∵OC=OD，CF=BF，
∴OF∥AB，
∴∠OFC=∠B，
∵FG是⊙O的切线，
∴∠OFG=90°，
∴∠OFC+∠BFG=90°，
∴∠BFG+∠B=90°，
∴FG⊥AB，
∴S△BDF=DF×BF=BD×FG，
∴FG=，
故答案为.
【点睛】
此题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理，切线的性质，三角形的中位线定理，三角形的面积公式，判断出FG⊥AB是解本题的关键．
20．（1）见解析；（2）
【分析】
（1）连接，根据切线的性质得到，推出四边形是平行四边形，得到，等量代换得到，推出四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质得到，于是得到结论；
（2）如图2，连接，根据圆周角定理得到，求得，证得，等量代换即可得到结论．
【详解】
（1）证明：连接，

为半圆的切线，为半圆的直径，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
是半圆的切线；
（2）解：，
理由：如图2，连接，

为半圆的直径，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】
本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，平行四边形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
21．探究活动一：；探究活动二：﹣1；综合应用：y＝﹣x+9．
【分析】
（1）直接利用公式计算即可；
（2）运用公式分别求出kDE和kDF的值，再计算kDE×kDF＝﹣1；
（3）先求直线MN的斜率kMN，根据切线性质可知PQ⊥MN，可得直线PQ的斜率kPQ，待定系数法即可求得直线PQ解析式．
【详解】
解：（1）∵S（﹣2，﹣2）、T（4，2）
∴kST＝＝
故答案为
（2）∵D（2，2），E（1，4），F（4，3）．
∴kDE＝＝﹣2，kDF＝＝，
∴kDE×kDF＝﹣2×＝﹣1，
∴任意两条不和坐标轴平行的直线互相垂直时，这两条直线的斜率之积等于﹣1．
（3）设经过点N与⊙M的直线为PQ，解析式为y＝kPQx+b
∵M（1，2），N（4，5），
∴kMN＝＝1，
∵PQ为⊙M的切线
∴PQ⊥MN
∴kPQ×kMN＝﹣1，
∴kPQ＝﹣1，
∵直线PQ经过点N（4，5），
∴5＝﹣1×4+b，解得 b＝9
∴直线PQ的解析式为y＝﹣x+9．
【点睛】
此题主要考查直线与圆的关系，解题的关键是根据已知条件得到斜率的定义与求解方法.
22．（1）证明见解析；（2）4.
【分析】
（1）根据切线的性质和圆周角定理，以及平行线的性质即可得到结论；
（2）连接AC，易证△ACP是等边三角形，得到∠ACD＝30°即可求出半径.
【详解】
解：⑴ 连接CP

∵PC＝PB，∴∠B＝∠PCB，
∴∠APC＝∠PCB＋∠B＝2∠B
∵CD是⊙OP的切线，∴∠DCP＝90°
∵∠ADC＝90°，∴∠DAB＋∠APC＝180°
∴2∠B＋∠DAB＝180°
⑵ 连接AC
∵∠B＝30°，∴∠APC＝60°，
∵PC＝PA，∴△ACP是等边三角形，∴AC＝PA，∠ACP＝60°
∴∠ACD＝30°，∴AC＝2AD＝4，∴PA＝4
答：⊙P的半径为4.
【点睛】
本题考查切线的性质、圆周角定理等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题．
23．（1）不是；
（2）54；
（3）.
【分析】
（1）根据矩形的性质和“奇妙四边形”的定义进行判断；
（2）连结OB、OD，作OH⊥BD于H，如图2，根据垂径定理，得到BH=DH，根据圆周角定理得到∠BOD=2∠BCD=120°，则利用等腰三角形的性质得∠OBD=30°，在Rt△OBH中可计算出，，则，然后根据奇妙四边形”的面积等于两条对角线乘积的一半求解；
（3）连结OB、OC、OA、OD，作OE⊥AD于E，如图3，根据垂径定理得到AE=DE，再利用圆周角定理得到∠BOM=∠BAC，∠AOE=∠ABD，再利用等角的余角相等得到∠OBM=∠AOE，则可证明△BOM≌△OAE得到OM=AE，于是有．
【详解】
解：（1）矩形的对角线相等但不垂直，
所以矩形不是奇妙四边形；
故答案为不是；
（2）

连结OB、OD，作OH⊥BD于H，如图2，则BH=DH，
∵∠BOD=2∠BCD=2×60°=120°，
∴在等腰△OBD中，∠OBD=30°，
在Rt△OBH中，∵∠OBH=30°，
∴，
∴
∴
∵四边形ABCD是奇妙四边形，
∴，
∴；
（3）．
理由如下：

连结OB、OC、OA、OD，作OE⊥AD于E，如图3，
∵OE⊥AD，
∴在等腰△AOD中，，
又∵，
∴∠BOM=∠BAC，
同理可得∠AOE=∠ABD，
∵BD⊥AC，
∴∠BAC+∠ABD=90°，
∴∠BOM+∠AOE=90°，
∵∠BOM+∠OBM=90°，
∴∠OBM=∠AOE，
在△BOM和△OAE中

∴，
∴OM=AE，
∴．
【点睛】
本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的性质和矩形的性质；会利用三角形全等解决线段相等的问题．
24．（1）（2）见详解（3）
【分析】
（1）可以利用二次函数顶点式求出解析式；
（2）根据抛物线与直线交于 、两点，直接将两式联立可以求出 、坐标，从而确定点的纵坐标以及的长度，进一步可得出圆心到轴的距离等于半径，即可得证最后结论；
（3）在（1）、（2）结论以及已知条件分别求出、的长，即可求得答案．
【详解】
解：（1）设抛物线方程为
∵抛物线的顶点坐标是
∴
∵抛物线经过点
∴
∴
∴抛物线的解析式是：
（2）∵直线与抛物线交于 、两点
∴
∴，
∴，
∵点是的中点
∴点的纵坐标是
∵
∴的半径
∴圆心到轴的距离等于半径
∴与轴相切
（3）过点作，垂足为，连接，如图：

∵由（2）可知，，
∴
∵
∴
∵
∴
故答案是：（1）（2）见详解（3）
【点睛】
此题主要考查了求二次函数解析式，以及一次函数、二次函数以及圆的综合应用，综合性比较强，难度较大．