初中数学苏科版八年级上册3.1 勾股定理教学设计

这是一份初中数学苏科版八年级上册3.1 勾股定理教学设计，共13页。教案主要包含了基于价值判断的教学分析，基于教学分析的活动过程等内容，欢迎下载使用。
笔者在南京市教研室组织的初中数学课堂研修班教学研究课展示活动中，开设了研究课“勾股定理的证明”．这节课以波利亚的解题教学为理念进行了创新设计．本文对这节课的教学价值、教学设计及教学反思进行梳理，与同行交流．
一、基于价值判断的教学分析
从勾股定理简洁的表述和简单的公式很难发现它的精妙在之处，但是几个世纪以来一直吸引着全世界的人．这到底是为什么呢？毫无疑问，一个重要的原因是人们给出了大量的证明方法，各种各样的证明方法蕴涵着精妙的构思、丰富的数学思想，这些都让人叹为观止．相传到目前为止这一定理的证明方法已经达到七百多种，而当中有十多种方法是初中阶段可以研究的，我们该如何去寻找和发现呢？关键是要找到解决问题的方法，寻找符合学生认知水平的方法中的基本原理和图形，这也与波利亚的数学“问题解决”思想不谋而合．
勾股定理是几何中最重要的定理之一，它从边的角度刻画了直角三角形的特征．直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，以此揭示了直角三角形三边之间的数量关系，从而将“数”与“形”密切联系起来，很好的体现了数形结合的思想．它反映了自然界的基本规律，在数学的发展中起着重要的作用，在现实世界中也有广泛的应用．
苏科版教材把勾股定理安排在八年级上册第三章的第二课，是在学生经历了前一节课“勾股定理的发现”的基础上对该定理加以证明．在前面的学习中学生已有一定的知识储备，如命题的证明、整式乘法中的完全平方公式、全等三角形等知识的学习．教科书中介绍了面积法，是有共性的，那如何探究得出这些方法呢？以往的教学中对于勾股定理的教学存在“重探索，轻证明”的现象，且对于勾股定理的证明方法更多的是展示，而不是证明方法的探究．因此，笔者在这节课大胆做了一些尝试．
二、基于教学分析的活动过程
1．回顾旧知，弄清题意
问题 通过上节课的探究我们得到了什么结论？
追问1 你是如何得到上述结论的？
追问2 上述方法足以说明上述命题是真命题吗？
追问3 文字命题证明的一般步骤是什么？
设计意图：上节课学生利用方格纸割补、刻度尺测量边长计算得到了勾股定理，但只能说是对上述结论的验证．测量存在误差，方格纸也是特例，研究的对象都是有限的直角三角形，不具备一般性，那么多直角三角形我们该如何证明呢？通过不断的追问，让学生感受到证明的必要性．在七年级下册第十二章学生已经学习了命题的证明，所以在这里提出的问题是符合学生的认知规律的．在矫正时，注意先后顺序．命题的证明的已知求证的书写应遵循下列三步：（1）根据命题画出相应图形（2）结合图形把命题中的条件用符号语言表示，也就是已知（3）将把命题中的结论用符号语言表示，也就是求证．
2．探究交流，拟定、实施方案
探究一 你能证明上述结论吗？请写下证明思路．
追问 你又是如何想到你的证明思路的呢？
设计意图：活动一是学生对于勾股定理证明的第一次自主研究，是一种宝贵的学习经历，这里笔者放手给学生独立思考达7分钟之久，这是基于学情的有的放失．
交流一 请画图并写证明思路
生1 （内弦图）c2＝(a－b)2＋2ab＝ a2＋b2
追问1 你是怎么想的呢？又是怎么想到的呢？
生1：我关注到需证明的等式中的c2，由c2想到以c为边长的正方形面积，从而想到构造正方形，再将图中以c为边长的正方形的面积再用另一种方式计算出来，通过化简可以得以证明．
(板书：右c2――以c为边长的正方形面积―― ―― ――a2＋b2＝右)
追问2 你是如何想到这样构图的？里面是怎么想到的？原图和内弦图有什么联系？
生1：因为要构造正方形，所以要四条边，所以把四个直角三角形沿正方形的边放下．
(板书：把原图中的斜边和正方形的边长都用同颜色描实)
追问3 对于以上的解题过程，你们有什么疑问吗？如果作为证明过程，上述解题思路完善吗？
追问4 刚刚生1提到了两个正方形，你们同意吗？会证明吗？
师：以我们现有的知识水平还是无法证明的，不过没有关系，等到我们下学期学习了四边形后再来解决．
师：回看这位同学的解题思路，他把c2这样一个“式结构”最近联想到“形结构”，经历构图，再将图中以c为边长的正方形的面积算两次，通过完全平方公式化简，从而解题，这一过程中体现了“最近联想”、“数形结合”、“算两次”等数学思想，这样的解题经验值得我们借鉴．
（红笔板书：数――最近联想――形――构图――图――算两次――完全平方公式计算）
设计意图：笔者在课堂上巡视时，发现绝大部分学生都有“由数想形”的念头，有构造“内弦图”、“外弦图”、“太空图”、“总统法”的，不排除有少数学生提前预习，但更多的学生是从未知出发想需知，因为已知的只有一个直角三角形，对于现阶段学生的认知只有角的关系，从边入手存在困难，所以自然而然的想从未知出发．未知中的平方是一种信号，在小学里就已经知道它和正方形的面积有关，所以不论从a2＋b2出发还是从c2入手都是合情合理的．课上笔者做了统计，基于学情选择了出现最多的证明方法，即从c2出发，这也符合学生的学习心理，因为a2＋b2涉及到两个正方形，涉及的量更多，学生更想从简单入手．
3.再次探究交流，拟定、实施方案
探究二 根据以上的解题经验，你还有其他的构图方法吗？请你再想出一种或多种证法，试一试．
设计意图：再次探究的过程在课堂中设置时间为5分钟，勾股的定理证明如果只让学生去了解是易懂的，但是如果让学生自主探究得到确实是有困难的，但经历了初次的探究和交流，学生们获得了一些解题经验，激发了学习兴趣，尤其给一些数学基础薄弱的学生以启迪，起到抛砖引玉的作用，所以第二次的探究可以说是解题经验的再应用．
交流二 请画图并写下证明思路
问题1 还有其他证法吗？
生2 （外弦图）c2＝(a+b)2－2ab＝ a2＋b2
追问1 你是怎么想到的？
生2: 我也是从c2出发，不同的是我把四个直角三角形在以c为边长的正方形的外围放置了，接着也是结合图形，将以c为边长的正方形的面积算两次．
设计意图：由于内弦的图解题经验的积累，外弦图的给出是十分顺利的，这对于一般学生来讲都不是很困难，激发了学生的学习兴趣．
追问2 同样从c2出发却得到了不同的构图，有没有同学也是这样的构图，但不是从c2出发的呢？请举手．
追问3 等式具有“反身性”，解题的流程图也是互通的，可以从等式的另一侧a2＋b2出发得到这样的构图吗？
生3: a2＋b2通过完全平方公式“式结构”变化可以得到(a+b)2－2ab，而(a+b)2赋予形的意义是以（a+b）为边长的正方形的面积、2ab是四个直角三角形的面积和，想到了画正方形摆直角三角形这样的形结构，再通过面积算两次的方法也可以得到勾股定理．
追问4 如果把以（a+b）为边长的正方形减掉四个直角三角形的面积和得到的构图一定是这样吗？
设计意图：追问2对学生的要求较高，由于刚刚的解题经历学生有一定的思维定势，看到平方只想到了面积，这是很好的数形结合的思想，但同时也存在弊端。学生的认知基础上，应该由a2＋b2还可以有式结构的变化，最近联想即完全平方公式的化简，（a+b）也就呼之欲出了．
追问5 那内弦图如果不从c2出发而是从a2＋b2出发是不是也可以得到呢？
设计意图：这是一个回顾反思的过程，让学生体会到无论是从等式左边还是右边出发，通过数形结合我们都可以证得勾股定理，这就是所谓的殊途同归．
问题2 还有其他证法吗？
生4 展示图形，说证明思路，总统法
追问1 你是怎么想到的呢？
追问2 比较总统法和外弦图有没有什么联系？
追问3 哪里的一半？能不能指一指？既然形是一半，那数呢？
c2＝(a+b)2－ab，c2＝ a2＋b2
设计意图：学生是从c2的一半想到等腰直角三角形的面积，这是在问题1之后的解题经验生成，由于刚刚的解题不难发现我们也可以对c2进行“式结构”的联想．在得出该方法后的追问2、追问3也显得尤为重要，这是在寻找各种证法之间的联系．
问题3 还有其他证法吗？
生5展示图形,太空图
追问 你是怎么想的？
设计意图：a2、b2、c2从形结构出发就是三个分别以a、b、c为边长的正方形，给我们呈现了一幅美丽的图案，很好地诠释了勾股定理，它曾经被科学家用来和外星人对话，所以他还有个名字叫＂太空图＂，给我们带来了视觉上的冲击．此图是在课堂中几乎所有学生初次尝试都能想到的，但是证明要求对于学生有些高，可以作为数学知识的介绍，培养学生从多角度思考问题，思考更多元化，课后可根据学生的学习能力酌情处理是否介绍该证法．
（板书：分别以a、b为正方形的面积和）
4.回顾反思，思维升华
问：通过这节课的学习你获得哪些解题经验呢？
设计意图：据不完全统计，勾股定理有七百多种证法，今天我们这节课已经想出了一些证法，虽然不到所有证法的百分之一，但重要的是我们获得了解题经验，无论是从c2出发还是a2＋b2出发，我们都是先把不同的“式结构”转化成“形结构”，再进一步的证明．比如今天用到了“算两次”的方法，当然还有其他方法，等我们有了一定的知识储备，可以更深入的研究，继续分别从左右“式结构”出发去寻找新的证法，如可将a2＋b2＝c2进行变形得到a2＝c2-b2，从该等式的右边你有能想到些什么呢？但由于学生目前的知识储备不够，等学习了相似、圆之后又可以打开一片新天地，对于勾股定理的证明会有新的认识. 可以鼓励学生课后继续思考，发现其他证法．
5.板书设计
设计意图：由于教学条件限制，很难在一块足够大的黑板上给出全部的板书，所以笔者在上课时是在实物投影下用一张A4纸师生共同完成了所有板书,这更有利于学生提高分析问题、解决问题的能力，让学生更直观的感受到“数形结合”思想的重要性，彰显了几何证明的魅力．
三．基于解题教学的教学反思
美国著名的数学家、数学教育家波利亚所著的《怎样解题》当中全书围绕了一张“怎样解题”表展开，书中提出的解题的四个步骤：
（1）理解题目，即审题
波利亚告诉我们如何审题，即“未知是什么？已知是什么？”,对于定理证明的审题只需弄清命题的条件和结论分别是什么，再将它们结合图形转化成符号语言即可．本节课，在这一环节中，学生存在两种问题：一是没有理解证明和验证的区别，还想着测量、拼图等手段对该定理加以“证明”；二是对于文字命题证明的步骤不清晰．
（2）拟定方案，即找出已知量和未知量之间的联系
波利亚启发我们“好的思路大多数来源于过去的经验和以前获得的知识”，所以此过程一般为由“已知”最近联想“可知”，由“未知”最近联想“需知”，再建立“可知”与“需知”之间的联系，这需要一定的知识储备，目前学生的认知水平对于已知只有角之间的联系，所以我们只能从未知出发，由这样一个等式左右的式想形或者是“式结构”的变化．但在教学中需提醒从学生只从未知出发解题是可以解决一些问题，但不是通法．
（3）执行方案，即实现求解计划
波利亚指出“假如这个方案是学生主动获得的，则不容易遗忘，反之，学生很容易找不到来时的路”．在教学中，无论对于主动发现或是被动发现的学生，教师都应让学生明确每一步的解题依据，以确保解题者每一步的正确性以及让解题者清楚明白每一步的真正含义，做到步步有据，以对后续的解题积累经验．
（4）回顾反思，即检查已经得到的答案
波利亚提出“没有任何一个题目是彻底完成的” ，我们可以把答案放入问题中进行二次思考，还有别的更简单的方法吗？在这次的解题中你获得哪些解题经验？用到了哪些数学思想？你解决问题的突破口是什么？这都是我们在这一环节中可以提出的问题．本节课中，这一环节显得尤为重要，引导学生从c2出发其实是在学生的脑海中播了一颗思考的“种子”，有着抛砖引玉的寓意．
通过这节课的学习，学生掌握了勾股定理的证法，这是水到渠成的，经历了利用面积法证明勾股定理的过程，理解直角三角形三边之间的数量关系，体会了数形结合的思想，收获的不单单是勾股定理的证明方法，因为探究过程学生参与其中，是学生深度学习、深度思考的过程，更重要的是学生掌握了分析问题、解决问题的能力，这也是我们教师在教学中喜闻乐见的，在今后的教学中我将做更多的尝试．勾股定理的证明
直角三角的两条直角边的平方和等于斜边的平方．
式结构
形结构
已知：如图1，在△ABC中，∠C＝900．求证：a2＋b2＝c2．
数 最近联想 形 构图 图 算两次 证明思路
右: c2---------以c为边长的正方形的面积-------- --------c2＝(a－b)2＋2ab＝ a2＋b2

(a-b)2+2ab

(a+b)2：以c为边长的
正方形的面积 c2＝(a+b)2-2ab＝ a2＋b2
完全平方公式
变形
式结构的变化
左：a2＋b2---(a+b)2－2ab

2ab：四个直角三角形
的面积和
分别以a、b为边长
的正方形面积和