初中数学苏科版八年级上册3.2 勾股定理的逆定理教学设计

这是一份初中数学苏科版八年级上册3.2 勾股定理的逆定理教学设计，共8页。教案主要包含了教学目标 ，知识素材，训练指导，本课总结等内容，欢迎下载使用。
2．会应用直角三角形的判定条件判定一个三角形是直角三角形；
3．经历探索一个三角形是直角三角形的条件的过程，发展合情推理能力，体会“形”与“数”的内在联系。
二、知识素材：
1. 如果三角形的三边长a、b、c满足a2＋b2＝c2,那么这个三角形是直角三角形.
2. 满足a2＋b2＝c2的三个正整数a,b,c称为勾股数.
三、训练指导：
（一）温故知新：
勾股定理: 直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方．
如图，若把直角三角形的两直角边和斜边的长分别记为a、b、c，则有a2＋b2＝c2.
（二）美丽的数学史1：
很久很久以前，古埃及人把一根长绳打上等距离的13个结，分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，其直角在第4个结处。
这个问题意味着：
若围成的三角形的三边长为 3、4、5.满足关系：32+42=52.
则围成的三角形是直角三角形.
（三）活动
操作：用圆规、直尺画一个△ABC，使它的三边长分别为：
（1）、6cm、8 cm、10 cm （单行的同学做）
（2）、5cm、12 cm、13 cm （双行的同学做）
1．测量：用你的量角器分别测量一下上述各三角形的最大角的度数。
2.判断：请判断一下上述你画的三角形的形状.
猜想：如果三角形的三边长a、b、c有关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
(三)探究新知：
2、证明猜想：如图，在△ABC中，a2＋b2＝c2， △ABC是否为直角三角形？
(1)画Rt△A1B1C1，使∠ C1 ＝90 °，B1C1=a， A1C1=b，
解：作∠ C1 ＝90 °，截取B1C1＝ BC=a，截取A1C1＝ AC=b ，连结A1B1，
(2)求A1B1 的长；
由勾股定理得，在Rt△A1B1C1中，
A1B12＝ B1C12＋A1C12 ＝ a2＋b2 ，
∵a2＋b2＝c2 ，
即AB2＝ a2＋b2 ，
∴ A1B12＝ AB2 ，
∴ A1B1＝ AB ，
(3) △ABC 与△A1B1C1 有怎样的关系？
根据“SSS”,
可证△ABC ≌ △A1B1C1.
∴ ∠C ＝ ∠C1 ＝90 ° ，
∴ △ABC为直角三角形．
3、命题成立：
勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形.
在△ABC中，
∵a2＋b2＝c2 ，
∴△ABC为直角三角形．其中∠C=90°。
（四）1、概念辨析：
△ABC中， ∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c ，若(c+a)(c-a)=b2 ，则△ABC是 直角 三角形。
解：在△ABC中， ∵(c+a)(c-a)=b2 ，
∴c2-a2=b2
即c2=a2+b2
则△ABC是以∠ C为直角的直角三角形。
2、解决美丽的数学史1中的“为什么？”.
3、美丽的数学史2：
（1）“普林顿322”泥板
巴比伦时期美索不达米亚有丰富的粘土资源，学生们以手掌大小的粘土板为练习本．只要粘土板还潮湿，就可以擦掉上面原有的计算，开始新的计算，干了的粘土板被扔掉或是被用做建筑材料，后来人们就是在这些建筑中发现这些泥板的．
泥板上的神秘符号实际上是一些整数组。
表格中的两列数字恰好是直角三角形的斜边和一条直角边的长,运用勾股定理算得还有一列数字是另一条直角边的长 （图中最左边的一列),那么每行的三个数就是一个直角三角形三边的边长．
（2）满足a2＋b2＝c2的一组正整数，通常称为勾股数。
（3）请你填表并探索规律．
勾股数有无数多组。
利用勾股数可以构造直角三角形.
4、试一试：
（1）下列各数组中，不能作为直角三角形的三边长的是（ D ）．
A．9，12，15； B．15，36，39；
C．12，35，37； D．12，18，22．
注意：C. ∵ 372－352 =(37+35)(37－35) =72 × 2=144= 122
∴能构成直角三角形
（2）若△ABC的两边长为8和15，则能使△ ABC为直角三角形的第三边的平方是（ D ）
A．161； B．289；
C．17； D．161或289．
解析：( = 1 \* rman i) 当8和15为两直角边长时，第三边的平方=82+152=64+225=289;
( = 1 \* rman i = 1 \* rman i)当8为直角边长，15为斜边长时， 第三边的平方=152 －82=225－64=161.
（3）设△ABC的3条边长分别是a、b、c，且 a＝n2－1，b＝2n，c＝n2＋1．问：△ABC是直角三角形吗？
解：a2+b2＝（n2－1）2+(2n) 2＝n4-2n2+1+4n2＝n4+2n2+1=（n2+1）2＝c2
∴△ABC是直角三角形
（4）若△ABC的三边a、b、c满足条件a2＋b2＋c2＋338＝10a＋24b＋26c，试判断△ABC的形状.
解：∵a2＋b2＋c2＋338＝10a＋24b＋26c
∴(a2－10a+25)＋(b2－24b＋144)＋(c2－26c＋169)＝0
∴(a－5) 2＋(b－12) 2＋(c－13) 2＝0
∴a=5,b=12,c=13
∴在△ABC中，a2＋b2=c2
∴△ABC是直角三角形
（五）例题与练习：
例、在△ABC中，AD是中线，AB=17，BC=16，AD=15.求AC的长。
解析：作图，∵ AD是中线，BC=16，
∴BD=8，
在△ABC中，∵AB=17，BD=8，AD=15.
∴AB2－AD2 =172 －152=289-225=64=82= BD2
∴∠ADB=90°
∴AD垂直平分BC
∴AC=AB
挑战自我：如图，正方形ABCD的边长为4，F是CD的中点，E是BC上一点，且CE=BC. 求证： ∠ AFE = 90 °.
解析：∵正方形ABCD的边长为4，
∴AB=BC=CD=DA=4,
∠D=∠C=∠B=90°
∵F是CD的中点，
∴DF=FC=2
∵CE=BC.
CE=1
∴BE=3
在Rt△ADF中，AD2+DF2 =AF2，
∴AF2 = 42+22 =16+4=20
同理，EF2 =5, AE2 =25
∴在△AEF中，AF2+EF2 =AE2，
∴∠ AFE = 90 °
四、本课总结：
1、通过本节课的学习，你知道一个三角形的三边在数量上满足怎样的关系时，这个三角形才是直角三角形呢？
2、我们今后的学习中一定要注意数形结合，既可以以形解数，也可以以数证形。
3、拓展与思考：
（1）如图，在△ABC中，AB=5，AC=3，AD是边BC上的中线，AD=ED=2.求△ABC的面积。
（2）如图，AD＝4，CD＝3， ∠ADC＝90°，AB＝13，BC＝12，求该图形的面积。
（3）请你填表并探索规律．
4、数学实验室：（此部分学生动手操作，教师多媒体演示）
△ ABC的三条边长分别为a、b、c（单位：cm）．
活动一、请分别计算下列各组数中较小两数的平方和与最大数的平方，并比较它们的大小.
（1）3，4，3； （2）3，4，5； （3）3，4，6；
32＋32＞42 32＋42＝52 32＋42＜62
活动二、用尺规画出满足三边长的△ ABC.

锐角三角形 直角三角形 钝角三角形
a
3
6
9
12
…
3n
b
4
8
12
16
…
4n
c
5
10
15
20
…
5n