初中数学湘教版九年级上册2.2 一元二次方程的解法测试题

这是一份初中数学湘教版九年级上册2.2 一元二次方程的解法测试题，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1.用公式法解方程－x2＋3x＝1时，需先确定a，b，c的值，则a，b，c的值依次为( )
A．－1，3，－1 B．1，3，－1 C．－1，－3，－1 D．－1，3，1
2.用公式法解方程x2＋5x－5＝0，下列代入公式正确的是( )
A．x＝eq \f(－5±\r(52－4×1×5),2) B．x＝eq \f(5±\r(52－4×1×（－5）),2)
C．x＝eq \f(－5±\r(52－4×1×（－5）),2) D．x＝eq \f(－1±\r(12－4×5×（－5）),2×5)
3.【2020·贵阳十九中期末】一元二次方程eq \r(2)x2＋4eq \r(3)x＝2eq \r(2)中，b2－4ac的值应是( )
A．64 B．－64 C．32 D．－32
4.方程(x＋1)(x－3)＝5的解是 ( B )
A．x1＝1，x2＝－3 B．x1＝4，x2＝－2
C．x1＝－1，x2＝3 D．x1＝－4，x2＝2
5.已知方程2x2－6x＋3＝0较小的根为p，方程2x2－2x－1＝0较大的根为q，则p＋q等于( )
A．3 B．2 C．1 D．2eq \r(3)
6.用公式法解方程(x＋2)2＝6(x＋2)－4时，b2－4ac的值为( )
A．52 B．32 C．20 D．－12
7.【2020·临沂】一元二次方程x2－4x－8＝0的解是( )
A．x1＝－2＋2eq \r(3)，x2＝－2－2eq \r(3)
B．x1＝2＋2eq \r(3)，x2＝2－2eq \r(3)
C．x1＝2＋2eq \r(2)，x2＝2－2eq \r(2)
D．x1＝2eq \r(3)，x2＝－2eq \r(3)
8.用公式法解方程(x＋2)2＝6(x＋2)－4时，b2－4ac的值为( )
A．52 B．32 C．20 D．－12
9.以x＝eq \f(b±\r(b2＋4c),2)(b2＋4c≥0)为根的一元二次方程可能是( )
A．x2＋bx＋c＝0 B．x2＋bx－c＝0 C．x2－bx＋c＝0 D．x2－bx－c＝0
10.若x2＋px＋q＝0的两个实数根中较大的一个根是k(k≠0)，则代数式p－eq \r(p2－4q)的值是( )
A．k B．－k C．2k D．－2k
11.当x＝eq \f(－b＋\r(b2－4ac),2a)(a≠0，b2－4ac>0)时，代数式ax2＋bx＋c的值是( )
A．0 B. eq \f(－b－\r(b2－4ac),2a ) C．－eq \f(b,a) D. eq \f(c,a)
12.若方程x2＋bx＋c＝0的两个实数根中较小的一个根是m(m≠0),则b＋b2-4c＝( )
A.mB.－m C.2mD.－2m
二、填空题
13.一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)在b2－4ac≥0的条件下，它的根为__________________．我们通常把这个式子叫作一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式．
14.运用一元二次方程的__________可以直接求出每一个一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法叫作公式法．
15.方程x2＋px＋q＝0(其中p2－4q≥0)的两个实数根分别为x1＝________________，x2＝_________________．
16.若在实数范围内定义一种运算“﹡”，使a﹡b＝(a＋1)2－ab，则方程(x＋2)﹡5＝0的解为________________________________．
17.用公式法解方程：3y2＋4y＝3y＋2.
解：方程化为一般形式，得__________________．
a＝______，b＝______，c＝______，Δ＝b2－4ac＝______．
方程____________的实数根，为
y＝eq \f(－b±\r(b2－4ac),2a)＝__________，
即y1＝________，y2＝________．
18.已知关于x的方程(m2－1)x2＋2(m－1)x＋1＝0有实数根,则m的取值范围是 .
三、解答题
19.用公式法解一元二次方程．
(1)x2－x＝－2;
(2)【中考·常德】x2－3x－2＝0；
(3)【2020·无锡】x2＋x－1＝0；
(4)【2021·达州渠县期末】x2－2eq \r(2)x＋1＝0；
(5)3x2＋3＝4x.
(6)2x2＝9x－8；
(7)2y(y－1)＋3＝(y＋1)2.
(8)(x－2)(3x－5)=1
20.用公式法解方程：2x2＋7x＝4.
解：∵a＝2，b＝7，c＝4，
∴b2－4ac＝72－4×2×4＝17.
∴x＝eq \f(－7±\r(17),4)，
即x1＝eq \f(－7＋\r(17),4)，x2＝eq \f(－7－\r(17),4).
上述解法是否正确？若不正确，请指出错误并改正．
21.当x为何值时，3x2＋4x－8的值和2x2－1的值相等？
22.用公式法解关于x的方程：x2－3mx＋2m2－mn－n2＝0.
23.【2020·广东】已知关于x，y的方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ax＋2\r(3)y＝－10\r(3)，,x＋y＝4))与eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－y＝2，,x＋by＝15))的解相同．
(1)求a，b的值；
(2)若一个三角形的一条边的长为2eq \r(6)，另外两条边的长是关于x的方程x2＋ax＋b＝0的解．试判断该三角形的形状，并说明理由．
24.在欧几里得的《几何原本》中，形如x2＋ax＝b2(a>0，b>0)的方程的图解法是：如图，以eq \f(a,2)和b为两直角边长作Rt△ABC，再在斜边上截取BD＝eq \f(a,2)，则AD的长就是所求方程的解．
(1)请用含字母a，b的代数式表示AD的长；
(2)请利用你已学的知识说明该图解法的正确性，并说说这种解法的遗憾之处．
参考答案
一、选择题
1.用公式法解方程－x2＋3x＝1时，需先确定a，b，c的值，则a，b，c的值依次为( A )
A．－1，3，－1 B．1，3，－1 C．－1，－3，－1 D．－1，3，1
2.用公式法解方程x2＋5x－5＝0，下列代入公式正确的是( C )
A．x＝eq \f(－5±\r(52－4×1×5),2) B．x＝eq \f(5±\r(52－4×1×（－5）),2)
C．x＝eq \f(－5±\r(52－4×1×（－5）),2) D．x＝eq \f(－1±\r(12－4×5×（－5）),2×5)
3.【2020·贵阳十九中期末】一元二次方程eq \r(2)x2＋4eq \r(3)x＝2eq \r(2)中，b2－4ac的值应是( A )
A．64 B．－64 C．32 D．－32
4.方程(x＋1)(x－3)＝5的解是 ( B )
A．x1＝1，x2＝－3 B．x1＝4，x2＝－2
C．x1＝－1，x2＝3 D．x1＝－4，x2＝2
5.已知方程2x2－6x＋3＝0较小的根为p，方程2x2－2x－1＝0较大的根为q，则p＋q等于( B )
A．3 B．2 C．1 D．2eq \r(3)
6.用公式法解方程(x＋2)2＝6(x＋2)－4时，b2－4ac的值为( C )
A．52 B．32 C．20 D．－12
7.【2020·临沂】一元二次方程x2－4x－8＝0的解是( B )
A．x1＝－2＋2eq \r(3)，x2＝－2－2eq \r(3)
B．x1＝2＋2eq \r(3)，x2＝2－2eq \r(3)
C．x1＝2＋2eq \r(2)，x2＝2－2eq \r(2)
D．x1＝2eq \r(3)，x2＝－2eq \r(3)
8.用公式法解方程(x＋2)2＝6(x＋2)－4时，b2－4ac的值为( C )
A．52 B．32 C．20 D．－12
9.以x＝eq \f(b±\r(b2＋4c),2)(b2＋4c≥0)为根的一元二次方程可能是( D )
A．x2＋bx＋c＝0 B．x2＋bx－c＝0 C．x2－bx＋c＝0 D．x2－bx－c＝0
10.若x2＋px＋q＝0的两个实数根中较大的一个根是k(k≠0)，则代数式p－eq \r(p2－4q)的值是( D )
A．k B．－k C．2k D．－2k
11.当x＝eq \f(－b＋\r(b2－4ac),2a)(a≠0，b2－4ac>0)时，代数式ax2＋bx＋c的值是( A )
A．0 B. eq \f(－b－\r(b2－4ac),2a ) C．－eq \f(b,a) D. eq \f(c,a)
12.若方程x2＋bx＋c＝0的两个实数根中较小的一个根是m(m≠0),则b＋b2-4c＝(D)
A.mB.－m C.2mD.－2m
二、填空题
13.一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)在b2－4ac≥0的条件下，它的根为__________________．我们通常把这个式子叫作一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式．
【答案】x＝eq \f(－b±\r(b2－4ac),2a)
14.运用一元二次方程的__________可以直接求出每一个一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法叫作公式法．
【答案】求根公式
15.方程x2＋px＋q＝0(其中p2－4q≥0)的两个实数根分别为x1＝________________，x2＝_________________．
【答案】eq \f(－p＋\r(p2－4q),2) eq \f(－p－\r(p2－4q),2)
16.若在实数范围内定义一种运算“﹡”，使a﹡b＝(a＋1)2－ab，则方程(x＋2)﹡5＝0的解为________________________________．
【答案】x1＝eq \f(－1＋\r(5),2)，x2＝eq \f(－1－\r(5),2)
17.用公式法解方程：3y2＋4y＝3y＋2.
解：方程化为一般形式，得__________________．
a＝______，b＝______，c＝______，Δ＝b2－4ac＝______．
方程____________的实数根，为
y＝eq \f(－b±\r(b2－4ac),2a)＝__________，
即y1＝________，y2＝________．
【答案】3y2＋y－2＝0 3 1 －2 25 有两个不等 eq \f(－1±5,6) eq \f(2,3) －1
18.已知关于x的方程(m2－1)x2＋2(m－1)x＋1＝0有实数根,则m的取值范围是 m<1 .
提示:①当方程(m2－1)x2＋2(m－1)x＋1＝0为一元二次方程时,m2－1≠0,即m≠±1.∵关于x的方程(m2－1)x2＋2(m－1)x＋1＝0有实数根,∴Δ＝[2(m－1)]2－4(m2－1)＝－8m＋8≥0,解得m≤1,∴m<1且m≠－1.②当方程(m2－1)x2＋2(m－1)x＋1＝0为一元一次方程时,m2－1＝0且2(m－1)≠0,则m＝－1.综上所述,m<1时方程有实数根.
三、解答题
19.用公式法解一元二次方程．
(1)x2－x＝－2;
解:方程无解.
(2)【中考·常德】x2－3x－2＝0；
解：∵a＝1，b＝－3，c＝－2，
∴b2－4ac＝(－3)2－4×1×(－2)＝9＋8＝17.
∴x＝eq \f(－b±\r(b2－4ac),2a)＝eq \f(3±\r(17),2)，
∴x1＝eq \f(3＋\r(17),2)，x2＝eq \f(3－\r(17),2).
(3)【2020·无锡】x2＋x－1＝0；
解：∵a＝1，b＝1，c＝－1，
∴b2－4ac＝12－4×1×(－1)＝5，
∴x＝eq \f(－1±\r(5),2)，
∴x1＝eq \f(－1＋\r(5),2)，x2＝eq \f(－1－\r(5),2).
(4)【2021·达州渠县期末】x2－2eq \r(2)x＋1＝0；
解：∵a＝1，b＝－2eq \r(2)，c＝1，
∴b2－4ac＝(－2 eq \r(2))2－4×1×1＝8－4＝4.
∴x＝eq \f(－b±\r(b2－4ac),2a)＝eq \f(2 \r(2)±2,2×1)＝eq \r(2)±1.
∴x1＝eq \r(2)＋1，x2＝eq \r(2)－1.
(5)3x2＋3＝4x.
解：方程可整理为3x2－4x＋3＝0，
∵a＝3，b＝－4，c＝3，
∴b2－4ac＝(－4)2－4×3×3<0，
∴方程无实数根．
(6)2x2＝9x－8；
解：移项，得2x2－9x＋8＝0.
∴a＝2，b＝－9，c＝8，
∴b2－4ac＝(－9)2－4×2×8＝17，
∴x1＝eq \f(9＋\r(17),4)，x2＝eq \f(9－\r(17),4).
(7)2y(y－1)＋3＝(y＋1)2.
解：由原方程，得2y2－2y＋3＝y2＋2y＋1，
即y2－4y＋2＝0，
∴a＝1，b＝－4，c＝2，
∴b2－4ac＝(－4)2－4×1×2＝8＞0.
∴y＝eq \f(4±\r(8),2)，
∴y1＝2＋eq \r(2)，y2＝2－eq \r(2).
(8)(x－2)(3x－5)=1
解：将方程化为一般形式3x2-11x+9=0,a=3,b=-11,c=9,
b2-4ac=(-11)2-4×3×9=13>0,
∴x=-(-11)±132×3=11±136,
∴x1=11+136,x2=11-136.
20.用公式法解方程：2x2＋7x＝4.
解：∵a＝2，b＝7，c＝4，
∴b2－4ac＝72－4×2×4＝17.
∴x＝eq \f(－7±\r(17),4)，
即x1＝eq \f(－7＋\r(17),4)，x2＝eq \f(－7－\r(17),4).
上述解法是否正确？若不正确，请指出错误并改正．
解：不正确．错误原因：没有将方程化成一般形式，造成常数项c的符号错误．
正解：移项，得2x2＋7x－4＝0，
∴a＝2，b＝7，c＝－4，
∴b2－4ac＝72－4×2×(－4)＝81.
∴x＝eq \f(－7±\r(81),2×2)＝eq \f(－7±9,4).
即x1＝eq \f(1,2)，x2＝－4.
21.当x为何值时，3x2＋4x－8的值和2x2－1的值相等？
解：根据题意得：3x2＋4x－8＝2x2－1，
即x2＋4x－7＝0，
∴a＝1，b＝4，c＝－7，
∴b2－4ac＝16＋28＝44＞0，
则x＝eq \f(－4±\r(44),2)＝－2±eq \r(11).
22.用公式法解关于x的方程：x2－3mx＋2m2－mn－n2＝0.
解：由题意可知a＝1，b＝－3m，c＝2m2－mn－n2，
∵b2－4ac＝9m2－4(2m2－mn－n2)＝m2＋4mn＋4n2＝(m＋2n)2≥0，
∴x＝eq \f(3m±\r(（m＋2n）2),2)，
解得x1＝2m＋n，x2＝m－n.
23.【2020·广东】已知关于x，y的方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ax＋2\r(3)y＝－10\r(3)，,x＋y＝4))与eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－y＝2，,x＋by＝15))的解相同．
(1)求a，b的值；
解：由题意，得关于x，y的方程组的相同解就是方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＝4，,x－y＝2))的解，
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝1，))代入原方程组得a＝－4eq \r(3)，b＝12.
(2)若一个三角形的一条边的长为2eq \r(6)，另外两条边的长是关于x的方程x2＋ax＋b＝0的解．试判断该三角形的形状，并说明理由．
解：该三角形为等腰直角三角形．
理由：当a＝－4eq \r(3)，b＝12时，关于x的方程x2＋ax＋b＝0就变为x2－4eq \r(3)x＋12＝0，
解得x1＝x2＝2eq \r(3).
又∵(2eq \r(3))2＋(2eq \r(3))2＝(2eq \r(6))2，
∴以2eq \r(3)，2eq \r(3)，2eq \r(6)为边的三角形是等腰直角三角形．
24.在欧几里得的《几何原本》中，形如x2＋ax＝b2(a>0，b>0)的方程的图解法是：如图，以eq \f(a,2)和b为两直角边长作Rt△ABC，再在斜边上截取BD＝eq \f(a,2)，则AD的长就是所求方程的解．
(1)请用含字母a，b的代数式表示AD的长；
解：∵∠C＝90°，BC＝eq \f(a,2)，
AC＝b，∴AB＝eq \r(b2＋\f(a2,4))，
∴AD＝eq \r(b2＋\f(a2,4))－eq \f(a,2)＝eq \f(\r(4b2＋a2)－a,2).
(2)请利用你已学的知识说明该图解法的正确性，并说说这种解法的遗憾之处．
解：用求根公式求得：
x1＝eq \f(－\r(4b2＋a2)－a,2)，x2＝eq \f(\r(4b2＋a2)－a,2).
正确性：AD的长就是方程的正根．
遗憾之处：图解法不能表示方程的负根．