初中数学湘教版九年级上册2.2 一元二次方程的解法课后练习题

这是一份初中数学湘教版九年级上册2.2 一元二次方程的解法课后练习题，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1.解方程(x＋3)(x－2)＝0的最佳方法应选择( )
A．因式分解法 B．直接开平方法 C．配方法 D．公式法
2.将方程x2－5x－6＝0的左边化为两个一次因式的乘积的形式为( )
A．(x－2)(x－3)＝0 B．(x－2)(x＋3)＝0 C．(x－1)(x＋6)＝0 D．(x＋1)(x－6)＝0
3.【2021·南宁期末改编】方程x2＝2x的解为( )
A．x1＝x2＝2 B．x1＝x2＝－2 C．x1＝0，x2＝2 D．x1＝0，x2＝－2
4.方程x(x－2)＋x－2＝0的两个根为( )
A．x1＝x2＝－1 B．x1＝x2＝－2 C．x1＝1，x2＝－2 D．x1＝－1，x2＝2
5.【2020·张家界】已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程x2－6x＋8＝0的两根，则该等腰三角形的底边长为( )
A．2 B．4 C．8 D．2或4
6.下列过程正确的是( )
A．由(2x－3)(3x－4)＝0得2x－3＝0或3x－4＝0
B．由(x＋3)(x－1)＝1得x＋3＝0或x－1＝1
C．由(x－2)(x－3)＝2×3得x－2＝2或x－3＝3
D．由x(x＋2)＝0得x＋2＝0
7.若关于x的一元二次方程x2＋mx＋n＝0的两个实根分别为10，－6，则二次三项式x2＋mx＋n可分解为( )
A．(x＋10)(x－6) B．(x－10)(x＋6) C．(x＋10)(x＋6) D．(x－10)(x－6)
8.【2020·黔东南州】若菱形ABCD的一条对角线长为8，边CD的长是方程x2－10x＋24＝0的一个根，则该菱形ABCD的周长为( )
A．16 B．24 C．16或24 D．48
9.若将二次三项式2x2＋px＋q因式分解的结果是2(x＋3)(x－4)，则一元二次方程2x2＋px＋q＝0的两个根为( )
A．x1＝－3，x2＝－4 B．x1＝3，x2＝4
C．x1＝－3，x2＝4 D．x1＝3，x2＝－4
10.我们解一元二次方程3x2－6x＝0时，可以运用因式分解法，将此方程化为3x(x－2)＝0，从而得到两个一元一次方程3x＝0或x－2＝0，进而得到原方程的解为x1＝0，x2＝2.这种解法体现的数学思想是( )
A．转化思想 B．函数思想 C．数形结合思想 D．建模思想
11.已知某三角形的两条边长分别为4和5,第三条边的长是方程x2－13x＋30＝0的一个根,则该三角形是( )
A.直角三角形或钝角三角形 B.锐角三角形
C.直角三角形 D.钝角三角形
12.对于实数a,b,定义一种新运算“★”如下:a★b＝a2b＋a (a≥b),ab2＋b (aA.－4.5B.4 C.4或－4.5D.4或－4.5或8.5
二、填空题
13.利用________来解一元二次方程的方法叫作因式分解法．
14.因式分解法解一元二次方程的依据：若ab＝0，则a＝________或b＝________．
15.【中考·十堰】对于实数a，b，定义运算“◎”如下：a◎b＝(a＋b)2－(a－b)2.若(m＋2)◎(m－3)＝24，则m＝____________．
16.已知一组数据a,4,2,5,3的中位数为b,且a是方程x2-7x+10=0的根,则b的值是 .
17.若关于x的方程x2＋2x－3＝0与2x＋3＝1x-a有一个解相同,则a的值为 .
18.已知关于x的方程ax2＋bx－c－8＝0的解与(x－1)(x－3)＝0的解相同,则a＋b－c的值为 .
三、解答题
19.用因式分解法解下列方程．
(1)x2＋6x＝0；
(2)【2020·南京】x2－2x－3＝0；
(3)5x2－10x＝－5；
(4)【2021·黔南州惠水二中期末】x(x＋4)＝－3(x＋4)．
(5)2(x－3)2＝9－x2；
(6)(2x＋3)2＝8x＋12；
(7)x2－(eq \r(3)＋eq \r(2))x＋eq \r(6)＝0.
(8)(x＋2)2－8(x＋2)＋16＝0.
20.阅读下面的例题:
解方程:x2－|x|－2＝0.
解:①当x≥0时,原方程化为x2－x－2＝0,解得x1＝2,x2＝－1(不合题意,舍去);
②当x<0时,原方程化为x2＋x－2＝0,解得x1＝1(不合题意,舍去),x2＝－2,
∴原方程的根是x1＝2,x2＝－2.
请参照例题解方程:x2－|x－3|－3＝0.
21.【中考·玉林】已知关于x的一元二次方程x2－2x－k－2＝0有两个不相等的实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)给k取一个负整数值，解这个方程．
22.【2020·广元】先化简，再求值：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1－a,a)－a＋1))÷eq \f(1－a,a2＋a)，其中a是关于x的方程x2－2x－3＝0的根．
23.由多项式乘法得(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)．
示例：分解因式：x2＋5x＋6＝x2＋(2＋3)x＋2×3＝(x＋2)(x＋3)．
(1)尝试：分解因式：x2＋6x＋8＝(x＋____)(x＋____)；
(2)应用：请用上述方法解方程：x2－3x－4＝0.
(3)拓展：用因式分解法解方程x2－kx－16＝0时，得到的两根均为整数，则k的值可以为________________．
24.阅读下列材料，然后找规律答题：
①方程x2－3x＋2＝0的解为x1＝1，x2＝2；
②方程x2－4x＋3＝0的解为x1＝1，x2＝3；
③方程x2－5x＋4＝0的解为x1＝1，x2＝4; …
(1)根据以上方程和解的特征，请猜想：
①方程x2－10x＋9＝0的解为________________；
②关于x的方程x2－(n＋1)x＋n＝0的解为____________________．并说明理由；
(2)请写出一个关于x的一元二次方程，且方程中二次项系数为1，使得它的解为x1＝1，x2＝12.
参考答案
一、选择题
1.解方程(x＋3)(x－2)＝0的最佳方法应选择( A )
A．因式分解法 B．直接开平方法 C．配方法 D．公式法
2.将方程x2－5x－6＝0的左边化为两个一次因式的乘积的形式为( D )
A．(x－2)(x－3)＝0 B．(x－2)(x＋3)＝0 C．(x－1)(x＋6)＝0 D．(x＋1)(x－6)＝0
3.【2021·南宁期末改编】方程x2＝2x的解为( C )
A．x1＝x2＝2 B．x1＝x2＝－2 C．x1＝0，x2＝2 D．x1＝0，x2＝－2
4.方程x(x－2)＋x－2＝0的两个根为( D )
A．x1＝x2＝－1 B．x1＝x2＝－2 C．x1＝1，x2＝－2 D．x1＝－1，x2＝2
【点拨】因式分解得(x－2)(x＋1)＝0，∴x－2＝0或x＋1＝0，解得x1＝2，x2＝－1.
5.【2020·张家界】已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程x2－6x＋8＝0的两根，则该等腰三角形的底边长为( A )
A．2 B．4 C．8 D．2或4
【点拨】解方程x2－6x＋8＝0，得x＝4或x＝2.
当等腰三角形的三边长为2，2，4时，不符合三角形三边关系定理，此时不能围成三角形；
当等腰三角形的三边长为2，4，4时，符合三角形三边关系定理，此时能围成三角形，此时三角形的底边长为2.
6.下列过程正确的是( A )
A．由(2x－3)(3x－4)＝0得2x－3＝0或3x－4＝0
B．由(x＋3)(x－1)＝1得x＋3＝0或x－1＝1
C．由(x－2)(x－3)＝2×3得x－2＝2或x－3＝3
D．由x(x＋2)＝0得x＋2＝0
7.若关于x的一元二次方程x2＋mx＋n＝0的两个实根分别为10，－6，则二次三项式x2＋mx＋n可分解为( B )
A．(x＋10)(x－6) B．(x－10)(x＋6) C．(x＋10)(x＋6) D．(x－10)(x－6)
8.【2020·黔东南州】若菱形ABCD的一条对角线长为8，边CD的长是方程x2－10x＋24＝0的一个根，则该菱形ABCD的周长为( B )
A．16 B．24 C．16或24 D．48
【点拨】如图所示．假设BD＝8.
∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD.
解方程x2－10x＋24＝0，得x＝4或x＝6.
分两种情况：
(1)当AB＝AD＝4时，4＋4＝8，不能构成三角形；
(2)当AB＝AD＝6时，6＋6>8，
∴菱形ABCD的周长为4AB＝24.
【答案】B
9.若将二次三项式2x2＋px＋q因式分解的结果是2(x＋3)(x－4)，则一元二次方程2x2＋px＋q＝0的两个根为( C )
A．x1＝－3，x2＝－4 B．x1＝3，x2＝4
C．x1＝－3，x2＝4 D．x1＝3，x2＝－4
10.我们解一元二次方程3x2－6x＝0时，可以运用因式分解法，将此方程化为3x(x－2)＝0，从而得到两个一元一次方程3x＝0或x－2＝0，进而得到原方程的解为x1＝0，x2＝2.这种解法体现的数学思想是( A )
A．转化思想 B．函数思想 C．数形结合思想 D．建模思想
11.已知某三角形的两条边长分别为4和5,第三条边的长是方程x2－13x＋30＝0的一个根,则该三角形是( C )
A.直角三角形或钝角三角形 B.锐角三角形
C.直角三角形 D.钝角三角形
12.对于实数a,b,定义一种新运算“★”如下:a★b＝a2b＋a (a≥b),ab2＋b (aA.－4.5B.4 C.4或－4.5D.4或－4.5或8.5
二、填空题
13.利用________来解一元二次方程的方法叫作因式分解法．
【答案】因式分解
14.因式分解法解一元二次方程的依据：若ab＝0，则a＝________或b＝________．
【答案】0；0
15.【中考·十堰】对于实数a，b，定义运算“◎”如下：a◎b＝(a＋b)2－(a－b)2.若(m＋2)◎(m－3)＝24，则m＝____________．
【点拨】根据题意得[(m＋2)＋(m－3)]2－[(m＋2)－(m－3)]2＝24，∴(2m－1)2－49＝0，∴(2m－1＋7)(2m－1－7)＝0，∴2m－1＋7＝0或2m－1－7＝0，∴m1＝－3，m2＝4.
【答案】－3或4
16.已知一组数据a,4,2,5,3的中位数为b,且a是方程x2-7x+10=0的根,则b的值是 .
【答案】3或4
17.若关于x的方程x2＋2x－3＝0与2x＋3＝1x-a有一个解相同,则a的值为 .
【答案】－1
18.已知关于x的方程ax2＋bx－c－8＝0的解与(x－1)(x－3)＝0的解相同,则a＋b－c的值为 .
【答案】8
三、解答题
19.用因式分解法解下列方程．
(1)x2＋6x＝0；
解：原方程可变形为x(x＋6)＝0，∴x＝0或x＋6＝0.
∴x1＝0，x2＝－6.
(2)【2020·南京】x2－2x－3＝0；
解：因式分解，得(x－3)(x＋1)＝0.
∴x－3＝0或x＋1＝0，
∴x1＝3，x2＝－1.
(3)5x2－10x＝－5；
原方程可变形为x2－2x＋1＝0，∴(x－1)2＝0.
∴x1＝x2＝1.
(4)【2021·黔南州惠水二中期末】x(x＋4)＝－3(x＋4)．
解：原方程可变形为(x＋4)(x＋3)＝0，
∴x＋4＝0或x＋3＝0，
∴x1＝－4，x2＝－3.
(5)2(x－3)2＝9－x2；
解：原方程可变形为2(x－3)2＋x2－9＝0，
(x－3)(2x－6＋x＋3)＝0，即(x－3)(3x－3)＝0.
∴x－3＝0或3x－3＝0.
∴x1＝3，x2＝1.
(6)(2x＋3)2＝8x＋12；
解：原方程可化为(2x＋3)2＝4(2x＋3)，
∴(2x＋3)2－4(2x＋3)＝0，
因式分解，得(2x＋3)(2x＋3－4)＝0，
∴2x＋3＝0或2x＋3－4＝0，
∴x1＝－eq \f(3,2)，x2＝eq \f(1,2).
(7)x2－(eq \r(3)＋eq \r(2))x＋eq \r(6)＝0.
解：原方程因式分解，得(x－eq \r(2))×(x－eq \r(3))＝0.
∴x－eq \r(2)＝0或x－eq \r(3)＝0.
∴x1＝eq \r(2)，x2＝eq \r(3).
(8)(x＋2)2－8(x＋2)＋16＝0.
解：将x＋2看作一个整体，
因式分解，得
[(x＋2)－4]2＝0，
即(x－2)2＝0.
解得x1＝x2＝2.
20.阅读下面的例题:
解方程:x2－|x|－2＝0.
解:①当x≥0时,原方程化为x2－x－2＝0,解得x1＝2,x2＝－1(不合题意,舍去);
②当x<0时,原方程化为x2＋x－2＝0,解得x1＝1(不合题意,舍去),x2＝－2,
∴原方程的根是x1＝2,x2＝－2.
请参照例题解方程:x2－|x－3|－3＝0.
解:①当x≥3时,原方程化为x2－(x－3)－3＝0,即x2－x＝0,解得x1＝0(不合题意,舍去),x2＝1(不合题意,舍去);
②当x<3时,原方程化为x2＋x－3－3＝0,即x2＋x－6＝0,解得x1＝－3,x2＝2,
∴原方程的根是x1＝－3,x2＝2.
21.【中考·玉林】已知关于x的一元二次方程x2－2x－k－2＝0有两个不相等的实数根．
(1)求k的取值范围；
解：根据题意，得Δ＝(－2)2－4(－k－2)＞0，解得k＞－3.
(2)给k取一个负整数值，解这个方程．
(答案不唯一)取k＝－2，则方程为x2－2x＝0.
因式分解，得x(x－2)＝0，解得x1＝0,x2＝2.
22.【2020·广元】先化简，再求值：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1－a,a)－a＋1))÷eq \f(1－a,a2＋a)，其中a是关于x的方程x2－2x－3＝0的根．
解：原式＝[eq \f(1－a,a)－eq \f(a（a－1）,a)]×eq \f(a（a＋1）,1－a)
＝eq \f(（1＋a）（1－a）,a)×eq \f(a（a＋1）,1－a)
＝(a＋1)2.
∵a是关于x的方程x2－2x－3＝0的根，
∴a2－2a－3＝0，
∴a＝3或a＝－1，
由题意得a≠0且a≠±1，
∴a＝3，
∴原式＝(3＋1)2＝16.
23.由多项式乘法得(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)．
示例：分解因式：x2＋5x＋6＝x2＋(2＋3)x＋2×3＝(x＋2)(x＋3)．
(1)尝试：分解因式：x2＋6x＋8＝(x＋____)(x＋____)；
【答案】2 4
(2)应用：请用上述方法解方程：x2－3x－4＝0.
解：∵x2－3x－4＝0，
∴(x＋1)(x－4)＝0，
则x＋1＝0或x－4＝0，
∴x1＝－1，x2＝4.
(3)拓展：用因式分解法解方程x2－kx－16＝0时，得到的两根均为整数，则k的值可以为________________．
【答案】0，±6，±15
【点拨】阅读材料，用类比法确定a，b的值，从而用因式分解法解方程．
24.阅读下列材料，然后找规律答题：
①方程x2－3x＋2＝0的解为x1＝1，x2＝2；
②方程x2－4x＋3＝0的解为x1＝1，x2＝3；
③方程x2－5x＋4＝0的解为x1＝1，x2＝4; …
(1)根据以上方程和解的特征，请猜想：
①方程x2－10x＋9＝0的解为________________；
【答案】x1＝1，x2＝9
②关于x的方程x2－(n＋1)x＋n＝0的解为____________________．并说明理由；
【答案】x1＝1，x2＝n
理由：将方程x2－(n＋1)x＋n＝0左边因式分解得：(x－1)(x－n)＝0.
∴x－1＝0或x－n＝0.
∴x1＝1，x2＝n.
(2)请写出一个关于x的一元二次方程，且方程中二次项系数为1，使得它的解为x1＝1，x2＝12.
解：以x1＝1，x2＝12为解的方程为x2－13x＋12＝0.