河北省石家庄市元氏县第四中学2020-2021学年高二下学期期中考试数学试题Word版含答案

这是一份河北省石家庄市元氏县第四中学2020-2021学年高二下学期期中考试数学试题Word版含答案，共16页。试卷主要包含了已知，若函数f等内容，欢迎下载使用。

1．已知i为虚数单位，a，b为实数，若＝1+2i，则|a+bi|＝（ ）
A． B．6 C． D．2
2．已知（1﹣x）5+（1+x）7＝a0﹣a1x+a2x2﹣a3x3+a4x4﹣a5x5+a6x6﹣a7x7，则a1+a3+a5+a7的值为（ ）
A．24 B．﹣48 C．﹣32 D．72
3．已知的展开式中各项的二项式系数的和为512，则展开式中第（ ）项是常数项．
A．4 B．3 C．5 D．6
4．将甲、乙、丙、丁四位辅导老师分配到A、B、C、D四个班级，每个班级一位老师，且甲不能分配到A班，丁不能分配到B班，则共有分配方案的种数为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．24
5．（x+y）（2x﹣y）5的展开式中的x3y3系数为 （ ）
A．﹣80 B．40 C．-40 D．80
6．2020年1月，教育部出台《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》（简称“强基计划”），明确从2020年起强基计划取代原有的高校自主招生方式．如果甲、乙、丙三人通过强基计划的概率分别为，，，那么三人中恰有两人通过的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．若函数f（x）＝x3+ax2+bx+1在x＝1处取极值0，则a﹣b＝（ ）
A．0 B．2 C．﹣2 D．1
8．若函数f（x）＝ax3+3x2+x+b（a＞0，b∈R）恰好有三个不同的单调区间，则实数a的取值范围是（ ）
A．（0，3）∪（3，+∞） B．[3，+∞） C．（0，3] D．（0，3）
二．多项选择题（共4小题，每小题5分，满分20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）
9．在（﹣x）6的展开式中，下列说法正确的是（ ）
A．常数项为160 B．第4项的二项式系数最大
C．第3项的系数最大 D．所有项的系数和为64
10．某设备的使用年限x（年）和所支出的维修费用y（万元）有如表的统计资料：
已知根据表中原始数据得回归直线方程为＝1.23x+0.08．某位工作人员在查阅资料时发现表中有个数据模糊不清了，下列说法正确的是（ ）
所支出的维修费用与使用年限正相关
B. 估计使用10年维修费用是12.38万元
C．根据回归方程可推断出模糊不清的数据的值为5
D．点（4，5）一定在回归直线＝1.23x+0.08上
11．已知复数为z的共轭复数，下列命题正确的是（ ）
A．z＝|z|2 B．
C．若z＝，则z为实数 D．和z在复平面内对应的点关于虚轴对称
12．已知函数f（x）＝x3﹣3lnx﹣1，则（ ）
A．f（x）的极大值为0 B．曲线y＝f（x）在（1，f（1））处的切线为x轴
C．f（x）的最小值为0 D．f（x）在定义域内单调
三．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知随机变量ξ的分布列如表：
且E（ξ）＝，则实数a＝ ；若随机变量η＝ξ﹣3，则D（η）＝ ．（本题第一空2分，第二空3分）
14．已知随机变量X～N（1.5，0.42），若P（X≤1.75）＝0.6，则P（1.25≤X≤1.75）＝ ．
15．已知函数f（x）＝ax2﹣21nx在点（1，f（1））处的切线方程为y＝1，则a的值为 ．
16．函数f（x）＝lnx﹣2x2的单调减区间为 ．
四．解答题（共6小题，共70分）
17．（10分）求下列函数的导数．
（1）y＝（2x2+3）（3x﹣1）； （2）f（x）＝； （3）y＝ln．
18．（12分）一年一度的剁手狂欢节﹣﹣“双十一”，使千万女性朋友们非常纠结.2020年双十一，淘宝点燃火炬瓜分2.5个亿，淘宝、京东、天猫等各大电商平台从10月20号就开始预订，进行了强大的销售攻势．天猫某知名服装经营店，在10月21号到10月27号一周内，每天销售预定服装的件数x（百件）与获得的纯利润y（单位：百元）之间的一组数据关系如表：
（1）若y与x具有线性相关关系，判断y与x是正相关还是负相关；
（2）试求y与x的线性回归方程；
（3）该服装经营店打算11月2号结束双十一预定活动，预计在结束活动之前，每天销售服装的件数x（百件）与获得的纯利润y（单位：百元）之间的关系仍然服从（1）中的线性关系，若结束当天能销售服装14百件，估计这一天获得的纯利润与前一周的平均利润相差多少百元？（有关计算精确到小数点后两位）
参考公式与数据：＝x+，＝，＝﹣，＝3487．
19．（12分）某校高二年级组织“知识竞答”活动，每位参赛者第一关需回答三个问题，第一个问题回答正确得10分，回答错误得0分；第二个问题回答正确得20分，回答错误得﹣10分；第三个问题回答正确得30分，回答错误得﹣20分．规定：每位参赛者回答这三个问题的总得分不低于30分就算闯关成功．若某参赛者回答前两个问题正确的概率都是，回答第三个问题正确的概率是，且各题回答正确与否相互之间没有影响，求：
（1）这位参赛者仅回答正确两个问题的概率；
（2）这位参赛者闯关成功的概率．
20．（12分）2021年1月1日新中国成立以来第一部以“法典”命名的法律《中华人民共和国民法典》颁布施行，我国将正式迈入“民法典”时代．为深入了解《民法典》，大力营造学法守法用法的良好氛围，高三年级从文科班和理科班的学生中随机抽取了100名同学参加学校举办的“民法典与你同行”知识竞赛，将他们的比赛成绩分为6组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求a的值；
（2）估计这100名学生比赛成绩的中位数（同﹣组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（3）在抽取的100名学生中，规定：比赛成绩不低于80分为“优秀”，比赛成绩低于80分为“非优秀”，请将下面的2×2列联表补充完整，并判断是否有95%的把握认为“比赛成绩是否优秀与文理科别有关”？
参考公式及数据：K2＝，n＝a+b+c+d．
21．（12分）每年的4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”，又称“世界图书和版权日”．为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了500名高一学生进行在线调查，得到了这500名学生的日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成[0，2]，（2，4]，（4，6]，（6，8]，（8，10]，（10，12]，（12，14]，（14，16]，（16，18]九组，绘制成如图所示的频率分布直方图．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）为进一步了解这500名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在（12，14]，（14，16]，（16，18]三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记日平均阅读时间在（14，16]内的学生人数为X，求X的分布列；
（Ⅲ）以调查结果的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取20名学生，用“P20（k）”表示这20名学生中恰有k名学生日平均阅读时间在（10，12]（单位：小时）内的概率，其中k＝0，1，2，…，20．当P20（k）最大时，写出k的值．（只需写出结论）
22．（12分）已知函数f（x）＝ex﹣a（x+2）．
（1）当a＝1时，讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．
答案
一．选择题（共8小题）
1．【解答】解：∵＝1+2i，
∴a+3i＝（1+2i）（b﹣i）＝b+2bi﹣i+2＝（b+2）+（2b﹣1）i，
∴，解得：，
∴|a+bi|＝|4+2i|＝＝2，
故选：D．
【点评】本题主要复数的运算、复数相等及复数的求模公式的应用，属于基础题．
2．【解答】解：令x＝1，可得27＝a0﹣a1+a2﹣a3+…﹣a7…①
令x＝﹣1，则25＝a0+a1+a2+…+a7…②
所以②﹣①可得：2（a1+a3+a5+a7）＝25﹣27＝﹣96，
所以a1+a3+a5+a7＝﹣48，
故选：B．
【点评】本题考查了二项式定理，涉及到赋值法的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．
3．【解答】解：由题设可得：2n＝512，解得：n＝9，
∴的展开式的通项公式为Tr+1＝•x•（﹣2）rx﹣r＝•（﹣2）r•x，r＝0，1，…，9，
令＝0，解得：r＝3，
∴T4为常数项，
故选：A．
【点评】本题主要考查利用二项式定理求二项展开式中的常数项，属于基础题．
4．【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：
①若甲分配到B班，剩下三人全排列即可，有A33＝6种情况，
②若甲不分配到B班，甲的分配方法有2种，丁不能分配到B班，其分配方法有2种，剩下2人安排到剩下的2个班级，有2种分配方法，
此时有2×2×2＝8种分配方法，
则一共有6+8＝14种不同的分配方法，
故选：C．
【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分类、分步计数原理的应用，属于基础题．
5．【解答】解：（2x﹣y）5的展开式的通项公式：Tr+1＝（2x）5﹣r（﹣y）r＝25﹣r（﹣1）rx5﹣ryr．
令5﹣r＝2，r＝3，解得r＝3．
令5﹣r＝3，r＝2，解得r＝2．
∴（x+y）（2x﹣y）5的展开式中的x3y3系数＝22×（﹣1）3+23×＝40．
故选：B．
【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
6．【解答】解：甲、乙、丙三人通过强基计划的概率分别为，，，
则三人中恰有两人通过的概率为：
P＝++（1﹣）×＝．
故选：C．
【点评】本题考查概率的运算，考查相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．
7．【解答】解：f(x）＝x3+ax2+bx+1,
则f′(x)＝3x2+2ax+b,
若f(x)在x＝1处取极值0，
则,解得：,
故a﹣b＝0,
故选：A．
【点评】本题考查了导数的应用以及极值问题，考查转化思想，是基础题．
8．【解答】解：由题意得f'（x）＝3ax2+6x+1（a＞0），
∵函数f（x）恰好有三个不同的单调区间，
∴f'（x）有两个不同的零点，
所以，，解得0＜a＜3．
因此，实数a的取值范围是（0，3）．
故选：D．
【点评】本题利用函数的单调区间个数求参数，解题的关键就是结合题意确定函数的极值点的个数，结合二次函数的基本性质解题，是中档题．
二．多选题（共4小题）
9．【解答】解：在（﹣x）6的展开式中，通项公式为 Tr+1＝•26﹣r•（﹣1）r•x2r﹣6，
令2r﹣6＝0，求得r＝3，可得展开式的常数项为﹣160，故A错误；
显然，当r＝3时，二项式系数最大，即第4项的二项式系数最大，故B正确；
由于第r+1项的系数为 •26﹣r•（﹣1）r，要使该项系数最大，需r为偶数，
检验可得，当r＝2时，该项的系数最大为240，故C正确；
令x＝1，可得各项系数和为 1，故D错误，
故选：BC．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题．
10．【解答】解：由线性回归方程为＝1.23x+0.08，
回归系数为＞0，所支出的维修费用与使用年限正相关，选项A正确；
x＝10时，＝1.23×10+0.08＝12.38，所以估计使用10年维修费用是12.38万元，选项B正确；
某设看不清的数字为a，
计算＝×（2+3+4+5+6）＝4，
＝×（2.2+3.8+a+6.5+7.0）＝，
代入回归直线方程＝1.23x+0.08中，得＝1.23×4+0.08，
解得a＝5.5，所以根据回归方程可推断出模糊不清的数据值为5.5，选项C错误；
样本中心点（4，5）在线性回归方程＝1.23x+0.08上，所以选项D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查了线性回归方程过样本中心点的应用问题，也考查了运算求解与推理能力，是中档题．
11．【解答】解：因为，故选项A正确；
共轭复数的模相等，故选项B正确；
因为a+bi＝a﹣bi，所以b＝0，故z∈R，故选项C正确．
因为和z在复平面内对应的点关于实轴对称，故选项D错误．
故选：ABC．
【点评】本题考查了复数与共轭复数概念的理解，考查了逻辑推理能力，属于基础题．
12．【解答】解：f′（x）＝3x2﹣＝＝，
当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
当0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
对于A：f（x）极小值＝f（1）＝0，故A错误；
对于B：k切＝f′（1）＝0，f（1）＝0，
所以曲线y＝f（x）在（1，f（1））处的切线为y﹣0＝0（x﹣1），即y＝0，故B正确；
对于C：f（x）min＝f（x）极小值＝f（1）＝0，故C正确；
对于D：f（x）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，故D错误．
故选：BC．
【点评】本题考查导数的综合应用，属于基础题．
三．填空题（共4小题）
13．【解答】解：E（ξ）＝2a+3×（﹣a）+4×＝，a＝，
E（η）＝E（ξ）﹣3＝＝，
所以D（η）＝（﹣1﹣）2×+（0﹣）2×+（1﹣）2×
＝．
故答案为：；．
【点评】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，是中档题．
14．【解答】解：因为随机变量X～N（1.5，0.42），故μ＝1.5，结合P（X≤1.75）＝0.6，
故P（1.25≤X≤1.75）＝2[P（X≤1.75）﹣P（X≤1.5）]＝2（0.6﹣0.5）＝0.2．
故答案为：0.2．
【点评】本题考查正态分布的性质和概率计算方法，属于基础题．
15．【解答】解：由f（x）＝ax2﹣21nx，得f′（x）＝2ax﹣，
∵函数f（x）＝ax2﹣21nx在点（1，f（1））处的切线方程为y＝1，
∴f′（1）＝2a﹣2＝0，
即a＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查导数的几何意义及应用，是基础题．
16．【解答】解：∵f（x）＝lnx﹣2x2的定义域为（0，+∞），
∴f′（x）＝﹣4x，由f′（x）≤0，得x2≥，
∴x≥，
∴函数f（x）＝lnx﹣2x2的单调减区间为：[，+∞）．
故答案为：[，+∞）．
【点评】本题考查了导数和函数的单调性的关系，属于基础题．
四．解答题（共6小题）
17．【解答】解：（1）函数y＝（2x2+3）（3x﹣1），所以y'＝（2x2+3）′（3x﹣1）+（2x2+3）（3x﹣1）′＝4x•（3x﹣1）+3（2x2+3）＝18x2﹣4x+9；
（2）函数f（x）＝，所以；
（3）函数y＝ln，所以．
【点评】本题考查了导数的运算，主要考查了常见函数的导数，和、差、积、商的求导公式以及复合函数的求导公式的应用，解题的关键是熟练掌握公式，属于基础题．
18．【解答】解：（1）由题中数据表格可以看出，y随x的增大而最大，则y与x正相关；
（2）由题设知，，
，
，
，则≈51.36．
∴y关于x的线性回归方程为；
（3）由（1）知，当x＝14时，（百元），
∴11月2号这天估计可获得的纯利润大约为117.86百元；
由（1）知，前一周的平均利润为≈79.86（百元），
故结束当天获得的纯利润比前一周的平均利润多38.00百元．
【点评】本题考查线性回归方程的求法，考查运算求解能力，是中档题．
19．【解答】解：（1）这位参赛者仅回答正确两个问题的概率为：
P＝++＝．
（2）这位参赛者闯关成功的情况分为3种：
①三个问题均回答正确，概率为：＝，
②第一题回答正确，第二题回答错误，第三题回答正确，概率为：＝，
③第一题回答错误，第二题回答正确，第三题回答正确，概率为：＝，
∴这位参赛者闯关成功的概率为P＝＝．
【点评】本题考查概率的运算，考查相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．
20．【解答】解：（1）由题意可知：（0.005+0.010+0.020+0.040+a+0.010）×10＝1，
解得：a＝0.015．
（2）∵（0.005+0.010+0.020）×10＝0.35＜0.5，（0.005+0.010+0.020+0.040）×10＝0.75＞0.5，
∴中位数在[70，80）之间，设为m，
∴0.35+（m﹣70）×0.04＝0.5，
解得：m＝73.75，
∴这100名学生比赛成绩的中位数估计值为73.75．
（3）抽取的100名学生中，“优秀”的人数为100×（0.015+0.010）×10＝25人，“非优秀”的人数为100﹣25＝75人，
2×2列联表如下图：
∴K2＝≈3.03＜3.841，
∴没有95%的把握认为“比赛成绩是否优秀与文理科别有关”．
【点评】本题主要考查了频率分布直方图的实际应用，考查了独立性检验的实际应用，是基础题．
21．【解答】解：（Ⅰ）由频率分布直方图得：
2（0.02+0.03+0.05+0.05+0.15+a+0.05+0.04+0.01）＝1，
解得a＝0.10．
（Ⅱ）由频率分布直方图得：
这500名学生中日平均阅读时间在（12，14]，（14，16]，（16，18]三组内的学生人数分别为：
500×0.10＝50人，500×0.08＝40人，500×0.02＝10人，
若采用分层抽样的方法抽取了10人，
则从日平均阅读时间在（14，16]内的学生中抽取：＝4人，
现从这10人中随机抽取3人，则X的可能取值为0，1，2，3，
P（X＝0）＝＝＝，
P（X＝1）＝＝＝，
P（X＝2）＝＝＝，
P（X＝3）＝＝＝，
∴X的分布列为：
（Ⅲ）当P20（k）最大时，k＝4．
【点评】本题考查频率、离散型随机变量的分布列、实数值的运算，考查频率分布直方图、超几何分布、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
22．【解答】解：由题意，f（x）的定义域为（﹣∞，+∞），且f′（x）＝ex﹣a．
（1）当a＝1时，f′（x）＝ex﹣1，令f′（x）＝0，解得x＝0．
∴当x∈（﹣∞，0）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．
∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增；
（2）当a≤0时，f′（x）＝ex﹣a＞0恒成立，f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，不合题意；
当a＞0时，令f′（x）＝0，解得x＝lna，
当x∈（﹣∞，lna）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当x∈（lna，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．
∴f（x）的极小值也是最小值为f（lna）＝a﹣a（lna+2）＝﹣a（1+lna）．
又当x→﹣∞时，f（x）→+∞，当x→+∞时，f（x）→+∞．
∴要使f（x）有两个零点，只要f（lna）＜0即可，
则1+lna＞0，可得a＞．
综上，若f（x）有两个零点，则a的取值范围是（，+∞）．
x
2
3
4
5
6
y
2.2
3.8
6.5
7.0
ξ
2
3
4
P
a
﹣a
x
3
4
5
6
7
8
9
y
66
69
73
81
89
90
91
优秀
非优秀
合计
文科生
30
理科生
55
合计
100
P（K2≥k0）
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
优秀
非优秀
合计
文科生
15
30
45
理科生
10
45
55
合计
25
75
100
X
0
1
2
3
P