高中数学人教版新课标A必修2第二章 点、直线、平面之间的位置关系2.3 直线、平面垂直的判定及其性质随堂练习题

3.3.1　两条直线的交点坐标

3.3.2　两点间的距离公式

A级　基础巩固

一、选择题

1．点M(1，2)关于y轴的对称点N到原点的距离为(　C　)

A．2　　　 B．1　　　

C．　　　　 D．5

[解析]　N(－1，2)，|ON|＝＝.故选C．

2．已知A(2，1)，B(－1，b)，|AB|＝5，则b等于(　C　)

A．－3  B．5

C．－3或5  D．－1或－3

[解析]　由两点间的距离公式知

|AB|＝＝，

由5＝，

解得b＝－3或b＝5．

3．经过两点A(－2，5)，B(1，－4)的直线l与x轴的交点的坐标是(　A　)

A．(－，0)  B．(－3，0)

C．(，0)  D．(3，0)

[解析]　过点A(－2，5)和B(1，－4)的直线方程为3x＋y＋1＝0，故它与x轴的交点的坐标为(－，0)．

4．若三条直线2x＋3y＋8＝0，x－y＝1，和x＋ky＝0相交于一点，则k的值等于(　B　)

A．－2  B．－

C．2  D．

[解析]　由，得交点(－1，－2)

代入x＋ky＝0得k＝－，故选B．

5．一条平行于x轴的线段长是5个单位，它的一个端点是A(2，1)，则它的另一个端点B的坐标为(　A　)

A．(－3，1)或(7，1)  B．(2，－2)或(2，7)

C．(－3，1)或(5，1)  D．(2，－3)或(2，5)

[解析]　∵AB∥x轴，∴设B(a，1)，又|AB|＝5，∴a＝－3或7．

6．设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P(2，－1)，则|AB|等于(　C　)

A．5  B．4

C．2  D．2

[解析]　设A(x，0)，B(0，y)，由中点公式得x＝4，y＝－2，则由两点间的距离公式得|AB|＝＝＝2．

二、填空题

7．已知A(1，－1)，B(a，3)，C(4，5)，且|AB|＝|BC|，则a＝____.

[解析]　＝，

解得a＝．

8．直线(a＋2)x＋(1－a)y－3＝0与直线(a＋2)x＋(2a＋3)y＋2＝0不相交，则实数a＝__－2或－__.

[解析]　由题意，得(a＋2)(2a＋3)－(1－a)(a＋2)＝0，解得a＝－2或－．

9．求平行于直线2x－y＋3＝0，且与两坐标轴围成的直角三角形面积为9的直线方程.

[解析]　设所求的直线方程为2x－y＋c＝0，令y＝0，x＝－；令x＝0，y＝c，所以＝9，解得c＝±6，故所求直线方程为2x－y±6＝0．

解法2：设所求直线方程为＋＝1．

变形得bx＋ay－ab＝0．

由条件知，

由①得b＝－2a代入②得a2＝9，

∴a＝±3．

当a＝3时，b＝－6；当a＝－3时，b＝6．

∴所求直线方程为2x－y±6＝0．

三、解答题

10．已知直线x＋y－3m＝0和2x－y＋2m－1＝0的交点M在第四象限，求实数m的取值范围.

[解析]　由，得．

∴交点M的坐标为(，)．

∵交点M在第四象限，

∴，解得－1<m<．

∴m的取值范围是(－1，)．

B级　素养提升

一、选择题

1．已知点A(2，3)和B(－4，1)，则线段AB的长及中点坐标分别是(　C　)

A．2，(1，2)  B．2，(－1，－2)

C．2，(－1，2)  D．2，(1，－2)

[解析]　|AB|＝＝2，中点坐标为(，)，即(－1，2)，故选C．

2．已知两点P(m，1)和Q(1，2m)之间的距离大于，则实数m的范围是(　B　)

A．－＜m＜2  B．m＜－或m＞2

C．m＜－2或m＞  D．－2＜m＜

[解析]　根据两点间的距离公式

|PQ|＝＝＞，∴5m2－6m－8＞0，∴m＜－或m＞2．

3．在同一平面直角坐标系中，直线l1：ax＋y＋b＝0和直线l2：bx＋y＋a＝0有可能是(　B　)

[解析]　l1：y＝－ax－b，l2：y＝－bx－a，

由图A中l1知，－b>0，与l2中－b<0矛盾，排除A；同理排除D．在图C中，由l1知－b<0，与l2中，－b>0矛盾，排除C．选B．

4．已知直线mx＋4y－2＝0与2x－5y＋n＝0互相垂直，垂足为(1，p)，则m－n＋p为(　B　)

A．24  B．20

C．0  D．－4

[解析]　∵两直线互相垂直，∴k1·k2＝－1，

∴－·＝－1，∴m＝10.又∵垂足为(1，p)，

∴代入直线10x＋4y－2＝0得p＝－2，

将(1，－2)代入直线2x－5y＋n＝0得n＝－12，

∴m－n＋p＝20．

二、填空题

5．已知直线5x＋4y＝2a＋1与直线2x＋3y＝a的交点位于第四象限，则a的取值范围是__－<a<2__.

[解析]　解方程组，得.交点在第四象限，所以，解得－<a<2．

6．已知点A(5，2a－1)，B(a＋1，a－4)，若|AB|取得最小值，则实数a的值是____.

[解析]　由题意得|AB|＝

＝＝，所以当a＝时，|AB|取得最小值．

C级　能力拔高

1．直线l过定点P(0，1)，且与直线l1：x－3y＋10＝0，l2：2x＋y－8＝0分别交于A，B两点．若线段AB的中点为P，求直线l的方程.

[解析]　解法一：设A(x0，y0)，由中点公式，有B(－x0，2－y0)，∵A在l1上，B在l2上，

∴⇒，

∴kAP＝＝－，

故所求直线l的方程为：y＝－x＋1，即x＋4y－4＝0．

解法二：设所求直线l方程为：

y＝kx＋1，l与l1，l2分别交于M，N．

解方程组，得N(，)．

解方程组，得M(，)．

∵M，N的中点为P(0，1)则有：

(＋)＝0，解得∴k＝－．

故所求直线l的方程为x＋4y－4＝0．

2．如下图所示，一个矩形花园里需要铺设两条笔直的小路，已知矩形花园的长AD＝5 m，宽AB＝3 m，其中一条小路定为AC，另一条小路过点D，问是否在BC上存在一点M，使得两条小路AC与DM相互垂直？若存在，则求出小路DM的长.

[解析]　以B为坐标原点，BC，BA所在直线为x，y轴建立如图所示的平面直角坐标系．

因为AD＝5 m，AB＝3 m，

所以C(5，0)，D(5，3)，A(0，3)．

设点M的坐标为(x，0)，因为AC⊥DM，

所以kAC·kDM＝－1，

即·＝－1．

所以x＝3.2，即|BM|＝3.2，

即点M的坐标为(3.2，0)时，两条小路AC与DM相互垂直．

故在BC上存在一点M(3.2，0)满足题意．

由两点间距离公式得|DM|＝＝．