高中数学2.3 直线、平面垂直的判定及其性质一课一练

3.3.3　点到直线的距离

3.3.4　两条平行直线间的距离

A级　基础巩固

一、选择题

1．两直线3x＋4y－2＝0与6x＋8y－5＝0的距离等于(　C　)

A．3  B．7

C．  D．

[解析]　在3x＋4y－2＝0上取一点(0，)，其到6x＋8y－5＝0的距离即为两平行线间的距离，d＝＝．

2．已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(2，6)，B(－4，3)，C(2，－3)，则点A到BC边的距离为(　B　)

A．  B．

C．  D．4

[解析]　BC边所在直线的方程为＝，即x＋y＋1＝0；则d＝＝．

3．若点A(－3，－4)，B(6，3)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值为(　C　)

A．  B．－

C．－或－  D．或

[解析]　由题意及点到直线的距离公式得＝，解得a＝－或－．

4．若点P在直线3x＋y－5＝0上，且点P到直线x－y－1＝0的距离为，则点P的坐标为(　C　)

A．(1，2)  B．(2，1)

C．(1，2)或(2，－1)  D．(2，1)或(－1，2)

[解析]　设点P的坐标为(x0，y0)，则有

，解得或．

5．已知点A(1，3)，B(3，1)，C(－1，0)，则△ABC的面积等于(　C　)

A．3  B．4

C．5  D．6

[解析]　设AB边上的高为h，则S△ABC＝|AB|·h.|AB|＝＝2，AB边上的高h就是点C到直线AB的距离．AB边所在的直线方程为＝，即x＋y－4＝0.点C到直线x＋y－4＝0的距离为＝，因此，S△ABC＝×2×＝5．

6．直线l垂直于直线y＝x＋1，且l在y轴上的截距为，则直线l的方程是(　A　)

A．x＋y－＝0  B．x＋y＋1＝0

C．x＋y－1＝0  D．x＋y＋＝0

[解析]　方法1：因为直线l与直线y＝x＋1垂直，所以设直线l的方程为y＝－x＋b，又l在y轴上截距为，所以所求直线l的方程为y＝－x＋，即x＋y－＝0．

方法2：将直线y＝x＋1化为一般式x－y＋1＝0，因为直线l垂直于直线y＝x＋1，可以设直线l的方程为x＋y＋c＝0，令x＝0，得y＝－c，又直线l在y轴上截距为，所以－c＝，即c＝－，所以直线l的方程为x＋y－＝0．

二、填空题

7．已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与直线l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，则l1与l2间的距离为__或__.

[解析]　∵l1∥l2，

∴，

解得k＝3或k＝5．

当k＝3时，l1：y＝－1，l2：y＝，此时l1与l2间的距离为；

当k＝5时，l1：2x－y＋1＝0，l2：4x－2y＋3＝0，此时l1与l2间的距离为＝．

8．过点A(－3，1)的所有直线中，与原点距离最远的直线方程是__3x－y＋10＝0__.

[解析]　当原点与点A的连线与过点A的直线垂直时，距离最大．∵kOA＝－，∴所求直线的方程为y－1＝3(x＋3)，即3x－y＋10＝0．

三、解答题

9．已知正方形的中心为直线2x－y＋2＝0和x＋y＋1＝0的交点，其一边所在直线的方程为x＋3y－5＝0，求其它三边的方程.

[解析]　由，解得．

即该正方形的中心为(－1，0)．

所求正方形相邻两边方程3x－y＋p＝0和x＋3y＋q＝0．

∵中心(－1，0)到四边距离相等，

∴＝，＝，

解得p1＝－3，p2＝9和q1＝－5，q2＝7，

∴所求方程为3x－y－3＝0，3x－y＋9＝0，x＋3y＋7＝0．

10．已知三条直线l1：4x＋y－4＝0，l2：mx＋y＝0，l3：2x－3my－4＝0.求m的值，使它分别满足以下条件：(1)l1，l2，l3交于同一点；(2)l1，l2，l3不能围成三角形.

[解析]　(1)由4x＋y－4＝0得y＝－4x＋4代入l2，l3的方程中分别得x1＝，x2＝，

由＝，解得m＝－1或，经检验都符合题意．

(2)首先由(1)知，当m＝－1或时，不能围成三角形；

又k＝－4，k＝－m，k＝，

若l1∥l2，则m＝4；若l1∥l3，则m＝－；

由于k与k异号，显然l2与l3不平行．

综上知，m＝－1，－，或4．

B级　素养提升

一、选择题

1．P，Q分别为3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋6＝0上任一点，则|PQ|的最小值为(　C　)

A．  B．

C．3  D．6

[解析]　|PQ|的最小值是这两条平行线间的距离．在直线3x＋4y－12＝0上取点(4，0)，然后利用点到直线的距离公式得|PQ|的最小值为3．

2．与直线l：3x－4y－1＝0平行且到直线l的距离为2的直线方程是(　A　)

A．3x－4y－11＝0或3x－4y＋9＝0

B．3x－4y－11＝0

C．3x－4y＋11＝0或3x－4y－9＝0

D．3x－4y＋9＝0

[解析]　设所求直线方程为3x－4y＋m＝0，由题意得＝2，

解得m＝9或－11．

3．到两条直线l1：3x－4y＋5＝0与l2：5x－12y＋13＝0的距离相等的点P(x，y)必定满足方程(　D　)

A．x－4y＋4＝0

B．7x＋4y＝0

C．x－4y＋4＝0或4x－8y＋9＝0

D．7x＋4y＝0或32x－56y＋65＝0

[解析]　结合图形可知，这样的直线应该有两条，恰好是两条相交直线所成角的平分线．由公式可得＝，即＝±，化简得7x＋4y＝0或32x－56y＋65＝0．

4．两直线3x＋y－3＝0与6x＋my＋1＝0平行，则它们之间的距离为(　D　)

A．4  B．

C．  D．

[解析]　∵直线3x＋y－3＝0与6x＋my＋1＝0平行，

∴＝≠，解得m＝2．

因此，两条直线分别为3x＋y－3＝0与6x＋2y＋1＝0，

即6x＋2y－6＝0与6x＋2y＋1＝0．

∴两条直线之间的距离为d＝＝＝．

二、填空题

5．点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，则x2＋y2的最小值是__8__.

[解析]　x2＋y2表示直线上的点P(x，y)到原点距离的平方，

∵原点到直线x＋y－4＝0的距离为＝2，

∴x2＋y2最小值为8．

6．已知点A(1，1)，B(2，2)，点P在直线y＝x上，则当|PA|2＋|PB|2取得最小值时点P的坐标为__(，)__.

[解析]　设P(2t，t)，则|PA|2＋|PB|2＝(2t－1)2＋(t－1)2＋(2t－2)2＋(t－2)2＝10t2－18t＋10＝10(t2－t＋1)＝10(t－)2＋，当t＝时，|PA|2＋|PB2|取得最小值，即P(，)．

C级　能力拔高

1．已知△ABC三边所在直线方程：lAB：3x－2y＋6＝0，lAC：2x＋3y－22＝0，lBC：3x＋4y－m＝0(m∈R，m≠30).

(1)判断△ABC的形状；

(2)当BC边上的高为1时，求m的值．

[解析]　(1)直线AB的斜率为kAB＝，直线AC的斜率为kAC＝－，

所以kAB·kAC＝－1，

所以直线AB与AC互相垂直，

因此，△ABC为直角三角形．

(2)解方程组，得，即A(2，6)．

由点到直线的距离公式得d＝＝，

当d＝1时，＝1，即|30－m|＝5，

解得m＝25或m＝35．

2．已知直线l经过点A(2，4)，且被平行直线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y－1＝0所截得的线段的中点M在直线x＋y－3＝0上．求直线l的方程.

[解析]　解法一：∵点M在直线x＋y－3＝0上，

∴设点M坐标为(t，3－t)，则点M到l1，l2的距离相等，

即＝，

解得t＝，∴M．

又l过点A(2，4)，

由两点式得＝，

即5x－y－6＝0，

故直线l的方程为5x－y－6＝0．

解法二：设与l1，l2平行且距离相等的直线l3：x－y＋c＝0，由两平行直线间的距离公式得＝，解得c＝0，即l3：x－y＝0.由题意得中点M在l3上，又点M在x＋y－3＝0上．

解方程组，得．

∴M.又l过点A(2，4)，

故由两点式得直线l的方程为5x－y－6＝0．

解法三：由题意知直线l的斜率必存在，

设l：y－4＝k(x－2)，

由，得．

∴直线l与l1，l2的交点分别为，．

∵M为中点，∴M．

又点M在直线x＋y－3＝0上，

∴＋－3＝0，解得k＝5．

故所求直线l的方程为y－4＝5(x－2)，

即5x－y－6＝0．