考向08 函数的奇偶性与周期性（重点）-备战2022年高考数学一轮复习考点微专题学案（新高考地区专用）

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考向08 函数的奇偶性
与周期性

1．（2021·全国高考真题（理））设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
通过是奇函数和是偶函数条件，可以确定出函数解析式，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案．
【详解】
因为是奇函数，所以①；
因为是偶函数，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因为，所以，
令，由①得：，所以．
思路一：从定义入手．



所以．
思路二：从周期性入手
由两个对称性可知，函数的周期．
所以．
故选：D．
【点睛】
在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计算的效果．
2．（2021·全国高考真题（理））设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可.
【详解】
由题意可得，
对于A，不是奇函数；
对于B，是奇函数；
对于C，，定义域不关于原点对称，不是奇函数；
对于D，，定义域不关于原点对称，不是奇函数.
故选：B
【点睛】
本题主要考查奇函数定义，考查学生对概念的理解，是一道容易题.

1.判断函数奇偶性的常用方法
(1)定义法：
确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称．若对称，再化简解析式后验证f(－x)＝±f(x)或其等价形式f(－x)±f(x)＝0是否成立．
(2)图象法：
f(x)的图像关于原点对称，f(x)为奇函数；f(x)的图像关于y轴对称，f(x)为偶函数。
(3)性质法：
设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
2.与函数奇偶性有关的问题及解题策略
(1)求函数的值：利用奇偶性将待求值转化为已知区间上的函数值求解．
(2)求函数解析式：先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式．
(3)求解析式中的参数值：在定义域关于原点对称的前提下，利用f(x)为奇函数⇔f(－x)＝－f(x)，f(x)为偶函数⇔f(x)＝f(－x)，列式求解，也可利用特殊值法求解．对于在x＝0处有定义的奇函数f(x)，可考虑列等式f(0)＝0求解．
4．求解与函数的周期性有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期．
5．周期函数的图象具有周期性，如果发现一个函数的图象具有两个对称性(注意：对称中心在平行于x轴的直线上，对称轴平行于y轴)，那么这个函数一定具有周期性．
6．函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略
(1)函数单调性与奇偶性的综合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性。
(2)周期性与奇偶性的综合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解。
(3)单调性、奇偶性与周期性的综合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解。
（4）应用奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y轴对称。

1.函数的奇偶性
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数
关于y轴对称
奇函数
一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数
关于原点对称
2.周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，非零常数T为这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
【知识拓展】
1.(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.
(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|).
2.奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.
3.函数周期性常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0).
(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0).
(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0).
4.对称性的三个常用结论
(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.
(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.
(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称.
5.两个奇偶函数四则运算的性质
两个奇函数的和仍为奇函数；
两个偶函数的和仍为偶函数；
两个奇函数的积是偶函数；
两个偶函数的积是偶函数；
一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数。


1．（2021·北京高三其他模拟）下列函数中，既是奇函数，又满足值域为的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·黑龙江佳木斯市·佳木斯一中高三三模（理））已知为奇函数且对任意，，若当时，，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
3．（2021·安徽高三其他模拟（文））偶函数满足，且在时，，则（ ）
A． B．1 C． D．
4．（2021·沈阳市·辽宁实验中学高三二模）已知函数的定义域为，且满足，且，，则（ ）．
A．2021 B．1 C．0 D．

1．（2021·天水市第一中学高三其他模拟（文））关于函数有下列四个结论：
①在定义域上是偶函数；②在上是减函数；
③在上的最小值是；④在上有两个零点．
其中结论正确的编号是（ ）．
A．①② B．②④ C．②③ D．③④
2．（2021·辽宁高三其他模拟）设函数，则函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2021·安徽池州市·池州一中高三其他模拟（理））若定义在上的奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2021·珠海市第二中学高三其他模拟）设是奇函数，若函数图象与函数图象关于直线对称，则的值域为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2021·重庆一中高三其他模拟）已知是定义在上的偶函数，那么的最大值是（ ）
A．1 B． C． D．
6．（2021·山东高三其他模拟）已知函数是定义在上的偶函数，满足，当时，，则函数的零点个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中高三其他模拟（理））设是定义在上的偶函数，且，当时，，若在区间内关于的方程（且）有且只有5个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2021·湖南高三其他模拟）（多选题）已知定义域为的函数满足是奇函数，为偶函数，当时，，则（ ）
A．函数不是偶函数
B．函数的最小正周期为4
C．函数在上有3个零点
D．
9．（2019·吉林高三其他模拟（文））已知奇函数f(x)满足∀x∈R，f（1+x）＝f（1﹣x）恒成立，若f（1）＝2，则f（2019）＝_____．
10．（2021·全国高三其他模拟）若定义在上的非零函数，对任意实数，存在常数，使得恒成立，则称是一个“函数”，试写出一个“函数”：__________．
11．（2021·山东烟台市·高三其他模拟）已知函数的定义域为，且满足，，则的最小正周期为___________，的一个解析式可以为___________.
12．（2021·上海高三二模）设函数的反函数为．
（1）解方程：；
（2）设是定义在上且以为周期的奇函数．当时，，试求的值．

1．（2021·全国高考真题（文））设是定义域为R的奇函数，且.若，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2020·全国高考真题（理））设函数，则f(x)（ ）
A．是偶函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减
C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减
3．（2019·北京高考真题（文））设函数f（x）=cosx+bsinx（b为常数），则“b=0”是“f（x）为偶函数”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2019·全国高考真题（文））设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)=，则当x