专题05 等腰三角形的轴对称性八年级数学上学期期中考试好题汇编（苏科版）（解析版）

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专题05 等腰三角形的轴对称性

1．（2020·连云港外国语学校八年级期中）等腰三角形的一边长为3，另一边长为7，则它的周长为（ ）
A．13 B．17 C．13或17 D．10
【答案】B
【解析】
解：当等腰三角形的腰长为，则三边分别为：
又＜ 三角形不存在，
当等腰三角形的腰长为，则三边分别为：
此时三角形存在，
所以：
故选：
2．（2019·江苏昆山市·八年级期中）如图，∠AOB=120°，OP平分∠AOB，且OP=2.若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．3个以上
【答案】D
【解析】
试解：如图在OA、OB上截取OE=OF=OP，作∠MPN=60°．

∵OP平分∠AOB，
∴∠EOP=∠POF=60°，
∵OP=OE=OF，
∴△OPE，△OPF是等边三角形，
∴EP=OP，∠EPO=∠OEP=∠PON=∠MPN=60°，
∴∠EPM=∠OPN，
在△PEM和△PON中，
，
∴△PEM≌△PON．
∴PM=PN，∵∠MPN=60°，
∴△PNM是等边三角形，
∴只要∠MPN=60°，△PMN就是等边三角形，
故这样的三角形有无数个．
故选D．
3．（2019·江苏苏州市·苏州中学八年级期中）一个三角形分别符合下列条件：①有一个角等于的三角形；②有一个角等于的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形，其中能判定是等边三角形的序号有（ ）
A．①②③ B．②④ C．③④ D．②③④
【答案】D
【解析】
解：①不可以，只有一个角是，条件不足；
②可以，一个角是的等腰三角形，即三个角都是，是等边三角形；
③可以，三个外角相等，即外角都是，则每个内角都是，是等边三角形；
④可以，腰上的中线也是腰上的高，说明另一个腰和底边相等，三个边都相等，是等边三角形；
②③④可以．
故选：D．
4．（2020·南通市八一中学八年级期中）已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足，则此三角形是（ ）
A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．无法确定
【答案】A
【解析】




是等边三角形，
故选：A．
5．（2021·江苏锡山区·八年级期中）如图，在所给网格中，以格点（网格线的交叉点）A，B的连线为一边构造格点等腰，则符合条件的点C的个数是（　　　）

A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【解析】
如图：根据两条边相等的三角形为等腰三角形可知：

当AB为底时，有C1，C2，C3，C4四个点，
当AB为腰时，有C5，C6，C7，C8四个点，
所以符合条件的点C的个数是8，
故选：C．
考点二、等腰三角形的性质
1．（2020·江苏淮安区·）等腰三角形的顶角为 80°，则它的底角为（ ）
A．100° B．80° C．50° D．50°或 80°
【答案】C
【解析】
解：，
，
；
故选：C．
2．（2020·江苏新沂市·八年级期中）△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，以下结论：（1）AD⊥BC； （2）∠B=∠C；（3）AD平分∠BAC，其中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【解析】
解：如图，为的中点，


平分
故（1）（2）（3）正确．
故选：
3．（2019·南京市宁海中学八年级期中）如图，中，，D是中点，下列结论中不正确的是（ ）

A． B． C．平分 D．
【答案】D
【解析】
解：∵△ABC中，AB=AC，D是BC中点，
∴∠B=∠C，（故A正确）
AD⊥BC，（故B正确）
∠BAD=∠CAD（故C正确）
无法得到AB=2BD，（故D不正确）．
故选：D．
4．（2021·江苏锡山区·八年级期中）如图，在中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，点E、F分别是AD的三等分点，若的面积为12cm2，则图中阴影部分的面积为（ ）cm2．

A．4 B．4.5 C．5 D．6
【答案】D
【解析】
解：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，
∴，，
∴（同底等高的三角形面积相等），
∴图中阴影部分的面积（cm2）．
故选：D．
5．（2020·江苏南京市·八年级期中）若等腰三角形的一个内角为，则其底角为________．
【答案】40
【解析】
解：由题意100°＞90°
∴100°为三角形的顶角，
∴底角为：（180°-100°）÷2=40°．
故答案为：40．
6．（2020·江苏新沂市·八年级期中）已知等腰三角形的一个底角等于40°，则它的顶角是________°．
【答案】100
【解析】
等腰三角形顶角=底角=
故答案为：100．
7．（2019·江苏清江浦区·淮安六中八年级期中）如图，在△ABC中，∠C=70°，将△ABC沿DE翻折后，点A落在BC边上的点A'处，且A'C=A'E，则∠A'ED=____°．

【答案】55°
【解析】
解：∵A'C=A'E
∴∠A'EC=∠C=70°
由翻折的性质可知：∠A'ED=∠AED=（180°－∠A'EC）=55°.
8．（2019·江苏南京市·八年级期中）等腰三角形的底角是顶角的2倍，则顶角的度数是__________．
【答案】36°
【解析】
解：设顶角为x°，则底角为2x°
根据题意可知2x＋2x＋x=180
解得：x=36
故答案为：36°
9．（2020·江苏新沂市·八年级期中）在△ABC中，AB=AC，∠B＝60°，BC=2cm，则AC=________cm．
【答案】2
【解析】
解：∵在△ABC中，AB=AC，∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC=2cm．
故答案为：2．
10．（2020·南通市八一中学八年级期中）如图，以等边△ABC的边AC为腰作等腰△CAD,使AC=AD,连接BD,若∠DBC=41°，∠CAD=________°.

【答案】82°
【解析】
解：∵△ABC是等边三角形
∴AB=AC，∠ABC=∠BAC=60°
∵AC=AD，∠DBC=41°
∴AB= AD，∠ABD=∠ABC－∠DBC=19°
∴∠ADB=∠ABD=19°
∴∠BAD=180°－∠ADB－∠ABD=142°
∴∠CAD=∠BAD－∠BAC=82°
故答案为82°.
11．（2020·南京外国语学校八年级期中）如图，五边形中有一等边三角形．若，，，则的度数是__．

【答案】125
【解析】
解：△是等边三角形，
，，
在与中
，
，
，，，
，
，
故答案为：125
12．（2019·江苏崇川区·南通田家炳中学八年级期中）一个等腰三角形的三边长分别为2x﹣1、x+1、3x﹣2，该等腰三角形的周长是_____．
【答案】10或7．
【解析】
①当2x﹣1＝x+1时，解x＝2，此时3，3，4，能构成三角形，周长为10．
②当2x﹣1＝3x﹣2时，解x＝1，此时1，2，1不能构成三角形，
③当x+1＝3x﹣2，解得x＝1.5，此时2，2.5，2.5能构成三角形，周长为7．
故该等腰三角形的周长是10或7．
故答案为：10或7．
13．（2019·苏州市苏州高新区第一中学八年级期中）如图，一艘海轮位于灯塔A的南偏东65°方向的C处，它以每小时30海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔A的北偏东50°的B处，则B处与灯塔A的距离为_____海里．

【答案】60．
【解析】
根据方向角的意义和平行的性质，可得：∠B=50°，∠C=65°，
∴∠BAC=180°-50°-65°=65°，
∴AB=BC=30×2=60（海里），
故答案为：60．
14．（2020·江苏镇江市·八年级期中）如图，在△ABC中，ED//BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G、F，若BE＝5，DC＝7，DE＝16，则FG＝_____．

【答案】4
【解析】
解：∵ED∥BC，
∴∠EGB＝∠GBC，∠DFC＝∠FCB，
∵∠GBC＝∠GBE，∠FCB＝∠FCD，
∴∠EGB＝∠EBG，∠DCF＝∠DFC，
∴BE＝EG，CD＝DF，
∵BE＝5，DC＝7，DE＝16，
∴FG＝DE﹣EG﹣DF＝DE﹣BE﹣CD＝16﹣5﹣7＝4，
故答案为：4．
15．（2020·江苏东台市·）如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、F在同一直线上，CD=CE，DF=DG，则∠F=_________°．

【答案】15
【解析】
解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∵CD=CE，DF=DG，
∴∠EDC=∠ECD，∠F=∠DGF，
∴∠ACB=2∠EDC，∠EDC=2∠F，
∴∠ACB=4∠F，
∴∠F=15°；
故答案为15．
考点三、直角三角形的性质
1．（2021·江苏滨湖区·八年级期中）直角三角形斜边上的中线长为5cm，则斜边长为____cm．
【答案】10
【解析】
解：∵直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，直角三角形斜边上的中线长为5cm，
∴斜边长＝2×5＝10（cm）．
故答案为：10
考点四、综合练习题
1．（2019·江苏海安市·八年级期中）如图，△ABC是等边三角形，△ABD是等腰直角三角形，∠BAD＝90°，AE⊥BD与点E，连CD分别交AE、AB于点F、G，过点A作AH⊥CD交BD于点H，则下列结论：①∠ADC＝15°；②AF＝AG；③△ADF≌△BAH；④ DF＝2EH，其中正确结论的个数为（ ）

A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【解析】
∵△ABC为等边三角形，△ABD为等腰直角三角形，
∴∠BAC＝60°、∠BAD＝90°、AC＝AB＝AD，∠ADB＝∠ABD＝45°，
∴△CAD是等腰三角形，且顶角∠CAD＝150°，
∴∠ADC＝15°，故①正确；
∵AE⊥BD，即∠AED＝90°，
∴∠DAE＝45°，
∴∠AFG＝∠ADC＋∠DAE＝60°，∠FAG＝45°，
∴∠AGF＝75°，
由∠AFG≠∠AGF知AF≠AG，故②错误；
记AH与CD的交点为P，

由AH⊥CD且∠AFG＝60°知∠FAP＝30°，
则∠BAH＝∠ADC＝15°，
在△ADF和△BAH中，
∵，
∴△ADF≌△BAH（ASA），
∴DF＝AH，故③④正确；
∵∠ABE＝∠EAB＝45°，∠ADF＝∠BAH＝15°，
∴∠EAH＝∠EAB−∠BAH＝45°−15°＝30°，
∴AH＝2EH，
∴DF＝2EH．
故⑤正确．
故选：B．
2．（2020·江苏兴化市·昭阳湖初中八年级期中）如图，已知点、在的边上，，．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．

【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】
（1）证明：如图，过点作于．

，，
，，
，
．
（2），
是等边三角形，
，
，
，
，
．
答：的度数为：．
3．（2020·沭阳县修远中学八年级期中）如图①，和是等腰三角形，且，，，，以为顶点作一个角，角的两边分别交边，于点、，连接．

（1）探究、、之间的关系，并说明理由；
（2）若点、分别在、CA延长线上，其他条件不变，如图②所示，则、、之间存在什么样的关系？并说明理由．
【答案】（1）EF=BE+FC；（2）EF=FC-BE．
【解析】
（1）和是等腰三角形，







延长AB至G，使得BG=CF，连接DG


在和中，
BG=CF，
，





在和中，
DE=DE，
，

（2）在CA上截取CG=BE,连接DG

是等腰三角形，





在和中，
CG=BE，


在和中，
FD=FD，


4．（2019·江苏苏州市·八年级期中）如图，△ABC是等边三角形，D是BC边的中点，点E在AC的延长线上，且∠CDE＝30°．若AD＝5，求DE的长．

【答案】DE的长为5．
【解析】
∵△ABC是等边三角形，D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，∠BAD=∠DAC=30°，
∵点E在AC的延长线上，且∠CDE=30°，∠E+∠CDE=60°，
∴∠CDE=∠E=30°，
∴AD=DE，
∵AD=5，
∴DE的长为5．
故答案为：5.
5．（2019·江苏昆山市·八年级期中）如图，在中，点为边的中点，过点作射线，过点作 于点，过点作于点，连接并延长，交于点.

(1)求证:；
(2)若，求证: 为等边三角形.
【答案】(1)见解析；(2)见解析.
【解析】
（1）∵CF⊥AE，BG⊥AE，
∴∠BGF=∠CFG=90°，
∴∠1+∠GMB=∠2+∠CME，
∵∠GMB=∠CME，
∴∠1=∠2，
∵点D为边BC的中点，
∴DB=CD，
在△BHD和△CED中，

∴△BHD≌△CED（ASA），
∴DF=DH；

（2）∵∠CFD=120°，∠CFG=90°，
∴∠GFH=30°，
∵∠BGM=90°，
∴∠GHD=60°，
∵△HGF是直角三角形，HD=DF，
∴DG=HF=DH，
∴△DHG为等边三角形．
6．（2020·盐城市初级中学八年级期中）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，E是AB的中点，连接ED并延长，交BC的延长线于点F，连接AF．
求证：（1）EF⊥AB；
（2）△ACF为等腰三角形．

【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【解析】
证明：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝36°，
∴∠ABC＝∠ABC ＝72°．
又∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝36°．
∴∠BAD＝∠ABD．
∴AD＝BD．
又∵E是AB的中点，
∴DE⊥AB，即EF⊥AB．
（2）∵EF⊥AB，AE＝BE，
∴EF垂直平分AB．
∴AF＝BF．
∴∠BAF＝∠ABF．
又∵∠ABD＝∠BAD，
∴∠FAD＝∠FBD＝36°．
又∵∠ACB＝72°，
∴∠AFC＝∠ACB−∠CAF＝36°．
∴∠CAF＝∠AFC＝36°．
∴AC＝CF，即△ACF为等腰三角形．
7．（2019·江苏东台市·八年级期中）如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．

（1）△BDO是等腰三角形吗？请说明理由．
（2）若AB=10，AC=6，求△ADE的周长．
【答案】（1）△BDO是等腰三角形，理由见解析；（2）16.
【解析】
(1) △BDO是等腰三角形，理由如下：
∵∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，
∴∠DBO=∠CBO，
∵DE∥BC，
∴∠DOB=∠OBC，
∴∠DBO=∠DOB，
∴△BDO为等腰三角形；
（2）同理可得△EOC为等腰三角形，
∴BD=DO，EC=EO，
则△ADE的周长为AD+DO+OE+EA即AB+AC=16，
所以△ADE的周长为16.
8．（2020·江苏南京市·八年级期中）证明：有两个角相等的三角形是等腰三角形．

已知：如图，在中，_______________，
求证：_____________________．
证明：
【答案】，；证明见解析．
【解析】
解：，，
证明：过点作，垂足为，
，
∴．
在与中，
，
∴，
．


1．（2019·江苏苏州市·苏州中学八年级期中）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90º，∠A＝30º，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的P点有（ ）

A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
【答案】B
【解析】
试题解析：如图，第1个点在CA延长线上，取一点P，使BA=AP；

第2个点在CB延长线上，取一点P，使AB=PB；
第3个点在AC延长线上，取一点P，使AB=PB；
第4个点在BC延长线上，取一点P，使AB=PA；
第5个点在BC延长线上，取一点P，使AB=PB；
第6个点在AC上，取一点P，使∠PBA=∠PAB；
∴符合条件的点P有6个点．
故选B．
2．（2020·连云港外国语学校八年级期中）如图，中，，的平分线与的垂直平分线交于点，将沿（在上，在上）折叠，点与点恰好重合．若，则的大小为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
连结BO、CO，

∵AO是的平分线，AB=AC，
∴AO是BC的垂直平分线，
∵OD是AB的垂直平分线，
∴AO=BO=CO，
∴∠OAB=∠ABO，∠OAC=∠OCA，∠OBC=∠OCB，
∵，
由折叠OE=CE，∠OEF=∠CEF=，
由EF为对称轴，
∴OC⊥EF，
∴∠OCE=90º-∠CEF=90º-68º=22º，
∴∠OBC=∠OCB=22º，
∴∠BAC=∠BAO+∠CAO=∠ABO+∠ACO，
∠BAO+∠CAO+∠ABO+∠ACO=180º-2∠OBC=136º，
2∠BAO+2∠CAO=136º，
∴∠BAO+∠CAO=68º，
∴∠BAC=∠BAO+∠CAO=68º．
故选择：D．
3．（2021·南京外国语学校八年级期中）如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝70°，点P是∠BAC的平分线AP和∠CBD的平分线BP的交点，射线CP交AB的延长线于点D，则∠D的度数为（　　）

A．15° B．17.5° C．20° D．22.5°
【答案】A
【解析】
解：如图，AP与BC相交于点O，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝70°，
∴∠CAB＝40°，
∵点P是△ABC内角和外角角平分线的交点，
∴∠APB＝∠ACB＝35°，
∵AB＝AC，AP是∠BAC的平分线，
∴AP⊥BC，OB＝OC，
∴CP＝BP，
∴∠APC＝∠APB＝35°，
∴∠BPC＝70°，
∵BP是△ABC的外角的平分线，
∴∠PBD＝∠CBD＝55°，
∴∠D＝∠BPC﹣∠PBD＝70°﹣55°＝15°．
故选：A．

4．（2020·南通市新桥中学八年级期中）如图，已知和都是等边三角形，且、、三点共线．与交于点，与交于点，与交于点，连结．以下六个结论：①；②；③；④；⑤；⑥．其中正确结论的有（ ）个

A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解析】
解：①∵△ABC和△CDE为等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠BCA=∠DCB=60°，
∴∠ACD=∠BCE，
∴△ACD≌△BCE，
∴AD=BE，故①正确；
由（1）得∠CBE=∠DAC，
又∵CA=CB，∠ACP=∠BCQ=60°，
∴△CQB≌△CPA，
∴AP=BQ，故③正确；
又∵∠PCQ=60°可知△PCQ为等边三角形，
∴∠PQC=∠DCE=60°，
∴PQ∥AE，故⑤正确，
∵∠QCP=60°，∠DPC=∠BCA+∠PAC＞60°，
∴PD≠CD，
∴DE≠DP，故④错误；
∵BC∥DE，
∴∠CBE=∠BED，
∵∠CBE=∠DAE，
∴∠AOB=∠OAE+∠AEO=60°，故②正确；
作CM⊥AD，CN⊥BE，连接OC，

∵△ACD≌△BCE，
∴CM=CN，
∴OC平分∠AOE，故⑥正确，
故正确的有①②③⑤⑥共5个，
故选：C．
5．（2020·宿迁市钟吾初级中学八年级期中）如图，等边△ABC中，AB=2，D为△ABC内一点，且DA=DB，E为△ABC外一点，BE=AB，且∠EBD=∠CBD，连接DE，CE，则下列结论：①∠DAC=∠DBC；②BE⊥AC；③∠DEB=30°；④若EC∥AD，则S△EBC=1，其中正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】
连接，DE，

是等边三角形，
，，
，，
在与中，
，
，
，∠DAC=∠DBC，
，
，
，，
在与中，
，
，
．
故①③正确．
，
，
，，
，
∴∠EBC=2∠ACE，
，
，
，
在中三角和为，即∠EBC+∠BCE+∠BEC=180°，

，
，这时是边上的中垂线，故结论②错误．
边上的高，
，故结论④是正确的．
故选C．
6．（2020·江苏金坛区·）如图，已知，M、N分别是AC、BD的中点若，，则______．

【答案】10
【解析】
解：连接BM、DM，
∵∠ABC=∠ADC=90°，M是AC的中点，
∴BM=DM=AC，
∴△BDM是等腰三角形
∵N是BD的中点，
∴MN⊥BD，
∴BN＝BD＝4，
∵
由勾股定理得：BM===5，
∴AC＝2BM＝10

故答案为：10
7．（2020·江苏南京市·南京一中八年级期中）等腰三角形两腰上的高所在直线的夹角是70°，则它的顶角的度数是_____．
【答案】110°或70°
【解析】
解：①如图，当∠BAC是钝角时，
由题意：AB＝AC，∠AEH＝∠ADH＝90°，∠EHD＝70°，
∴∠BAC＝∠EAD
＝360°﹣90°﹣90°﹣70°
＝110°．

②如图，当∠A是锐角时，
由题意：AB＝AC，∠CDA＝∠BEA＝90°，∠CHE＝70°，
∴∠DHE＝110°，
∴∠A＝360°﹣90°﹣90°﹣110°＝70°，
故答案为：110°或70°．

8．（2020·连云港外国语学校八年级期中）如图，已知：，点、、、…在射线上，点、、…在射线上，、、…均为等边三角形，若，则的边长为__________．

【答案】
【解析】
解：∵是等边三角形，
∴，
∵∠MON=30°，
∴，，
∴，
∴，
∴，
同理，，…，
记各等边三角形的边长依次为：
∴



…，

的边长为
故答案为：
9．（2020·江苏南京市·八年级期中）如图，在中，点、在边上，，，垂足为，，垂足为，与交于点，且．

（1）求证：；
（2）连接，并延长交于点，求证：过点、的直线垂直平分线段．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】
（1），，
，
，
，即，
在和中，，
，
，
；
（2）如图，延长交于点，
由（1）已证：，
，
，
又，
，即，
在和中，，
，
，即平分，
，（等腰三角形的三线合一），
即过点、的直线垂直平分．

10．（2020·江苏宿迁市·南师附中宿迁分校八年级期中）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC，且AD＝AB．
（1）如图1，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F求证AE+AF=AD．
（2）如图2，如果∠EDF=60°，且∠EDF两边分别交边AB，AC于点E，F，那么线段AE，AF，AD之间有怎样的数量关系？并给出证明．

【答案】（1）见解析；（2）AE＋AF＝AD
【解析】
（1）证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠DAC＝∠BAC，
∵∠BAC＝120°，
∴∠BAD＝∠DAC＝×120°＝60°，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠ADE＝∠ADF＝90°−60°＝30°，
∴AE＝AD，AF＝AD，
∴AE＋AF＝AD＋AD＝AD；
（2）线段AE，AF，AD之间的数量关系为：AE＋AF＝AD，理由如下：
连接BD，如图所示：

∵∠BAD＝60°，AB＝AD，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD＝AD，∠ABD＝∠ADB＝60°，
∵∠DAC＝60°，
∴∠ABD＝∠DAC，
∵∠EDB＋∠EDA＝∠EDA＋∠ADF＝60°，
∴∠EDB＝∠ADF，
在△BDE与△ADF中，
∴△BDE≌△ADF（ASA），
∴BE＝AF，
∵AE＋BE＝AD，
∴AE＋AF＝AD．
11．（2020·盐城市初级中学八年级期中）从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，若分得的两个小三角形中一个三角形为等腰三角形，另一个三角形的三个内角与原来三角形的三个内角分别相等，则称这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”．例如，等腰直角三角形斜边上的高就是这个等腰直角三角形的一条“等角分割线”．
（1）如图1，在△ABC中，D是边BC上一点，若∠B＝30°，∠BAD＝∠C＝40°，求证：AD为△ABC的“等角分割线”；
（2）如图2，△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°；
①利用直尺和圆规，作出△ABC的“等角分割线”；
②若BC＝6，求出①中画出的“等角分割线”的长度．
（3）在△ABC中，∠A＝42°，若△ABC存在“等角分割线”CD，求出所有符合要求的∠ACB的度数．

【答案】（1）见解析（2）①图见解析②2；（3）111°或84°或106°或92°．
【解析】
（1）证明：∵∠B＝30°，∠BAD＝∠C＝40°，
∴∠ADB＝∠BAC＝180°−40°−30°＝110°，
又∵∠B＝∠B，
∴△ABD的三个内角与△ABC的三个内角的度数分别相等，
∵∠B＝30°，∠BAD＝40°，
∴∠ADC＝∠B＋∠BAD＝70°，
又∵∠C＝40°，
∴∠DAC＝∠BAC−∠BAD＝70°＝∠ADC，
∴AC＝DC，
∴△ACD是等腰三角形，
∴AD为△ABC的“等角分割线”；
（2）解：①画∠BAC的角平分线，交BC于点D，线段AD即为所求；如图所示：

理由如下：
∵∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠BAC＝90°−30°＝60°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC＝∠DAB＝30°＝∠B，
∴∠ADC＝60°＝∠BAC，
又∵∠C＝∠C，
∴△ADC的三个内角与△ABC的三个内角分别相等，
∵∠BAD＝∠B，
∴AD＝BD，
∴△ABD是等腰三角形，
∴AD为△ABC的“等角分割线”；
②设CD＝x，
∵△ADC中，∠C＝90°，∠DAC＝30°，
∴AD＝2CD＝2x，
∴BD＝AD＝2x，
∵BC＝3，
∴x＋2x＝3，
∴x＝1，
∴AD＝2x＝2；
（3）当△ACD是等腰三角形，如图2，DA＝DC时，∠ACD＝∠A＝42°，
∴∠ACB＝∠BDC＝42°＋42°＝84°，

当△ACD是等腰三角形，如图3，DA＝AC时，∠ACD＝∠ADC＝69°，
∠BCD＝∠A＝42°，
∴∠ACB＝69°＋42°＝111°，

当△ACD是等腰三角形，CD＝AC的情况不存在，
当△BCD是等腰三角形，如图4，DC＝BD时，∠ACD＝∠BCD＝∠B＝46°，
∴∠ACB＝92°，

当△BCD是等腰三角形，如图5，DB＝BC时，∠BDC＝∠BCD，

设∠BDC＝∠BCD＝x，
则∠B＝180°−2x，
则∠ACD＝∠B＝180°−2x，
由题意得，180°−2x＋42°＝x，
解得，x＝74°，
∴∠ACD＝180°−2x＝32°，
∴∠ACB＝106°，
当△BCD是等腰三角形，CD＝CB的情况不存在，
∴∠ACB的度数为111°或84°或106°或92°．
12．（2020·南通市新桥中学八年级期中）如图，在等边△ABC中，线段AM为BC边上的中线．动点D在直线AM上时，以CD为一边在CD的下方作等边△CDE，连结BE．
（1）求∠CAM的度数；
（2）若点D在线段AM上时，求证：△ADC≌△BEC；
（3）当动D在直线AM上时，设直线BE与直线AM的交点为O，试判断∠AOB是否为定值？并说明理由．

【答案】（1）30°；（2）见解析；（3）是定值，理由见解析
【解析】
解：（1）是等边三角形，
．
线段为边上的中线，
，
．
故答案为：30°；
（2）与都是等边三角形，
，，，
，
．
在和中，
，
；
（3）是定值，，
理由如下：
①当点在线段上时，如图1，

由（2）可知，则，
又，
，
是等边三角形，线段为边上的中线，
平分，即，
．
②当点在线段的延长线上时，如图2，

与都是等边三角形，
，，，
，
，
在和中，
，
，
，
同理可得：，
．
③当点在线段的延长线上时，如图3，

与都是等边三角形，
，，，
，
，
在和中，
，
，
，
同理可得：，
，
，，
．
综上，当动点在直线上时，是定值，．