高中数学4 事件的独立性课时训练

这是一份高中数学4 事件的独立性课时训练，共6页。
[练基础]
1．甲、乙两人独立地破译1个密码，他们能译出密码的概率分别为eq \f(1,3)和eq \f(1,4)，则两人合作译出密码的概率为( )
A.eq \f(1,12) B.eq \f(5,12)
C.eq \f(7,12) D.eq \f(1,2)
2．已知A，B是相互独立事件，若P(A)＝0.2，P(AB＋eq \(A,\s\up6(－))B＋Aeq \(B,\s\up6(－)))＝0.44，则P(B)等于( )
A．0.3 B．0.4
C．0.5 D．0.6
3．同时转动如图所示的两个转盘，记转盘甲得到的数为x，转盘乙得到的数为y，x，y构成数对(x，y)，则所有数对(x，y)中满足xy＝4的概率为( )
A.eq \f(1,16) B.eq \f(1,8)
C.eq \f(3,16) D.eq \f(1,4)
4．某市派出甲、乙两支球队参加全省青年组、少年组足球赛，两队夺冠的概率分别为eq \f(3,5)和eq \f(2,5)，则该市足球队取得冠军的概率为________．
5．现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次命中的概率为eq \f(3,4)，向乙靶射击二次，每次命中的概率为eq \f(2,3)，该射手每次射击的结果相互独立．该射手完成以上三次射击，恰好命中一次的概率为________．
6．某示范性高中的校长推荐甲、乙、丙三名学生参加某大学自主招生考核测试，在本次考核中只有合格和优秀两个等级．若考核为合格，则给予10分降分资格；若考核为优秀，则给予20分降分资格．假设甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为eq \f(2,3)，eq \f(2,3)，eq \f(1,2)，他们考核所得的等级相互独立．
求在这次考核中，甲、乙、丙三名学生至少有一名考核为优秀的概率．
[提能力]
7．[多选题]从甲袋中摸出一个红球的概率是eq \f(1,3)，从乙袋中摸出一个红球的概率是eq \f(1,2)，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是( )
A．2个球都是红球的概率为eq \f(1,6)
B．2个球不都是红球的概率为eq \f(1,3)
C．至少有1个红球的概率为eq \f(2,3)
D．2个球中恰有1个红球的概率为eq \f(1,2)
8．某工厂在试验阶段生产出了一种零件，该零件有A、B两项技术指标需要检测，设各项技术指标达标与否互不影响．若有且仅有一项技术指标达标的概率为eq \f(5,12)，至少一项技术指标达标的概率为eq \f(11,12).按质量检验规定，两项技术指标都达标的零件为合格品，则一个零件经过检测为合格品的概率是________．
9．某大学开设甲、乙、丙三门选修课，学生选修哪门课互不影响．已知学生小张只选甲的概率为0.08，只选甲和乙的概率为0.12，至少选一门课的概率为0.88，用ξ表示小张选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积．
(1)求学生小张选修甲的概率；
(2)记“函数f(x)＝x2＋ξx为R上的偶函数”为事件A，求事件A的概率．
[战疑难]
10．某公司为了了解用户对其产品的满意度，从A，B两个地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：
A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76
78 86 95 66 97 78 88 82 76 89
B地区： 73 83 62 51 91 46 53 73 64 82
93 48 65 81 74 56 54 76 65 79
(1)根据两组数据完成两个地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两个地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)；
(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：
记事件C表示“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”．假设两个地区用户的评价结果相互独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率．
课时作业(四十五) 事件的独立性
1．解析：设甲独立破译密码的事件为A，乙独立破译密码的事件为B，则P(A)＝eq \f(1,3)，P(B)＝eq \f(1,4)，所以P(eq \x\t(A))＝eq \f(2,3)，P(eq \x\t(B))＝eq \f(3,4)，所以甲、乙两人合作译出密码的概率为1－P(eq \x\t(A))P(eq \x\t(B))＝1－eq \f(2,3)×eq \f(3,4)＝eq \f(1,2).
答案：D
2．解析：∵A，B是相互独立事件，
∴eq \x\t(A)，B和A，eq \x\t(B)均相互独立．
∵P(A)＝0.2，P(AB＋eq \x\t(A)B＋Aeq \(B,\s\up10(－)))＝0.44，
∴P(A)P(B)＋P(eq \x\t(A))P(B)＋P(A)P(eq \x\t(B))＝0.44，
∴0.2P(B)＋0.8P(B)＋0.2[1－P(B)]＝0.44，
解得P(B)＝0.3.
答案：A
3．解析：满足xy＝4的所有可能如下：
x＝1，y＝4；x＝2，y＝2；x＝4，y＝1.
∴所求事件的概率
P＝P(x＝1，y＝4)＋P(x＝2，y＝2)＋P(x＝4，y＝1)
＝eq \f(1,4)×eq \f(1,4)＋eq \f(1,4)×eq \f(1,4)＋eq \f(1,4)×eq \f(1,4)＝eq \f(3,16).
答案：C
4．解析：因为甲、乙两支球队夺冠相互不影响，是相互独立事件，所以该市取得冠军的概率P＝eq \f(3,5)×eq \f(2,5)＋eq \f(3,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,5)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(3,5)))×eq \f(2,5)＝eq \f(19,25).
答案：eq \f(19,25)
5．解析：记“该射手恰好命中一次”为事件A，“该射手射击甲靶命中”为事件B，“该射手第一次射击乙靶命中”为事件C，“该射手第二次射击乙靶命中”为事件D.
由题意知P(B)＝eq \f(3,4)，P(C)＝P(D)＝eq \f(2,3)，A＝Beq \(C,\s\up10(－))eq \(D,\s\up10(－))＋eq \(B,\s\up10(－))Ceq \(D,\s\up10(－))＋eq \(B,\s\up10(－))eq \(C,\s\up10(－))D，
根据事件的独立性和互斥性得
P(A)＝P(Beq \(C,\s\up10(－))eq \(D,\s\up10(－))＋eq \(B,\s\up10(－))Ceq \(D,\s\up10(－))＋eq \(B,\s\up10(－))eq \(C,\s\up10(－))D)
＝P(Beq \(C,\s\up10(－))eq \(D,\s\up10(－)))＋P(eq \(B,\s\up10(－))Ceq \(D,\s\up10(－)))＋P(eq \(B,\s\up10(－))eq \(C,\s\up10(－))D)
＝P(B)P(eq \(C,\s\up10(－)))P(eq \(D,\s\up10(－)))＋P(eq \(B,\s\up10(－)))P(C)P(eq \(D,\s\up10(－)))＋P(eq \(B,\s\up10(－)))P(eq \(C,\s\up10(－)))P(D)
＝eq \f(3,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,3)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,3)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(3,4)))×eq \f(2,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,3)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(3,4)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,3)))×eq \f(2,3)＝eq \f(7,36).
答案：eq \f(7,36)
6．解析：记“甲考核为优秀”为事件A，“乙考核为优秀”为事件B，“丙考核为优秀”为事件C，“甲、乙、丙至少有一名考核为优秀”为事件E.
则事件A，B，C是相互独立事件，事件eq \x\t(A) eq \x\t(B) eq \x\t(C) 与事件E是对立事件，于是
P(E)＝1－P(eq \x\t(A) eq \x\t(B) eq \x\t(C))＝1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,3)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,3)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)))＝eq \f(17,18).
7．解析：设“从甲袋中摸出一个红球”为事件A1，“从乙袋中摸出一个红球”为事件A2，则P(A1)＝eq \f(1,3)，P(A2)＝eq \f(1,2)，且A1，A2相互独立．在A中，2个球都是红球为A1A2，其概率为eq \f(1,3)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,6)，A正确；在B中，“2个球不都是红球”是“2个球都是红球”的对立事件，其概率为eq \f(5,6)，B错误；在C中，2个球中至少有1个红球的概率为1－P(eq \(A,\s\up10(－)))P(eq \(B,\s\up10(－)))＝1－eq \f(2,3)×eq \f(1,2)＝eq \f(2,3)，C正确；2个球中恰有1个红球的概率为eq \f(1,3)×eq \f(1,2)＋eq \f(2,3)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,2)，D正确．故选ACD.
答案：ACD
8．解析：设AB两项技术指标达标的概率分别为P1，P2，一个零件经过检测为合格品的概率为P.
由题意得，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(P11－P2＋P21－P1＝\f(5,12)，,1－1－P11－P2＝\f(11,12)，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(P1＝\f(3,4)，,P2＝\f(2,3)))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(P1＝\f(2,3)，,P2＝\f(3,4)，))
则P＝P1P2＝eq \f(1,2).
答案：eq \f(1,2)
9．解析：(1)设学生小张选修甲、乙、丙的概率分别为x，y，z，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1－y1－z＝0.08，,xy1－z＝0.12，,1－x1－y1－z＝0.12，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝0.4，,y＝0.6，,z＝0.5.))
所以学生小张选修甲的概率为0.4.
(2)若函数f(x)＝x2＋ξx为R上的偶函数，则ξ＝0.
当ξ＝0时，表示小张选修三门课或三门课都不选，
所以P(A)＝P(ξ＝0)＝xyz＋(1－x)(1－y)(1－z)＝0.4×0.6×0.5＋(1－0.4)(1－0.6)(1－0.5)＝0.24，即事件A的概率为0.24.
10．解析：(1)两个地区用户的满意度评分的茎叶图如图．
通过茎叶图可以看出，A地区用户满意度评分的平均值高于B地区用户满意度评分的平均值；A地区用户满意度评分比较集中，B地区用户满意度评分比较分散．
(2)记CA1表示事件“A地区用户的满意度等级为满意或非常满意”，CA2表示事件“A地区用户的满意度等级为非常满意”，CB1表示事件“B地区用户的满意度等级为不满意”，CB2表示事件“B地区用户的满意度等级为满意”，则CA1与CB1独立，CA2与CB2独立，CB1与CB2互斥，C＝CB1CA1∪CB2CA2.
P(C)＝P(CB1CA1∪CB2CA2)＝P(CB1CA1)＋P(CB2CA2)＝P(CB1)P(CA1)＋P(CB2)P(CA2)．
由所给数据，得CA1，CA2，CB1，CB2发生的频率分别为eq \f(16,20)，eq \f(4,20)，eq \f(10,20)，eq \f(8,20)，故P(CA1)＝eq \f(16,20)，P(CA2)＝eq \f(4,20)，P(CB1)＝eq \f(10,20)，P(CB2)＝eq \f(8,20)，P(C)＝eq \f(10,20)×eq \f(16,20)＋eq \f(8,20)×eq \f(4,20)＝0.48.
满意度评分
低于70分
70分到89分
不低于90分
满意度等级
不满意
满意
非常满意