高中数学北师大版必修52.1一元二次不等式的做法测试题

2.1一元二次不等式的解法

一元二次不等式的解集

练习

1．已知集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|x2＋3x<0}，则A∩B等于(　　)

A．(0,2)   B．(－1,0)

C．(－3,2)   D．(－1,3)

答案　B

解析　A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|－3<x<0}，∴A∩B＝(－1,0)．故选B.

2．已知函数f (x)＝(ax－1)(x＋b)，如果不等式f (x)>0的解集为(－1,3)，那么不等式f (－2x)<0的解集为(　　)

A.∪

B.

C.∪

D.

答案　A

解析　由f (x)＝(ax－1)(x＋b)>0的解集是(－1,3)，则a<0，故＝－1，－b＝3，即a＝－1，b＝－3.

∴f (x)＝－x2＋2x＋3，

∴f (－2x)＝－4x2－4x＋3，

由－4x2－4x＋3<0，解得x>或x<－，

故不等式f (－2x)<0的解集是

∪.故选A.

3． “不等式x2－x＋m>0在R上恒成立”的充要条件是(　　)

A．m>   B．m<

C．m<1   D．m>1

答案　A

解析　∵不等式x2－x＋m>0在R上恒成立，

∴Δ＝(－1)2－4m<0，解得m>，

又∵m>，∴Δ＝1－4m<0，

∴“m>”是“不等式x2－x＋m>0在R上恒成立”的充要条件．故选A.

4．若不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是[－4,3]的子集，则a的取值范围是(　　)

A．[－4,1]   B．[－4,3]

C．[1,3]   D．[－1,3]

答案　B

解析　原不等式为(x－a)(x－1)≤0，当a<1时，不等式的解集为[a,1]，此时只要a≥－4即可，即－4≤a<1；当a＝1时，不等式的解为x＝1，此时符合要求；当a>1时，不等式的解集为[1，a]，此时只要a≤3即可，即1<a≤3，综上可得－4≤a≤3.

5．若不等式x2＋ax－2>0在区间[1,5]上有解，则a的取值范围是(　　)

A.   B.

C．(1，＋∞)   D.

答案　A

解析　由Δ＝a2＋8>0知方程恒有两个不等实根，又因为x1x2＝－2<0，所以方程必有一正根，一负根，对应二次函数图象的示意图如图．所以不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f (5)>0，解得a>－，故选A.

6．在关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0的解集中至多包含1个整数，则a的取值范围是(　　)

A．(－3,5)   B．(－2,4)

C．[－1,3]   D．[－2,4]

答案　C

解析　 因为关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0可化为(x－1)(x－a)<0，

当a>1时，不等式的解集为{x|1<x<a}，

当a<1时，不等式的解集为{x|a<x<1}，

当a＝1时，不等式的解集为∅，

要使得解集中至多包含1个整数，则a＝1或1<a≤3或－1≤a<1，

所以实数a的取值范围是a∈[－1,3]，故选C.

7．已知集合A＝{－5，－1,2,4,5}，请写出一个一元二次不等式，使得该不等式的解集与集合A有且只有一个公共元素，这个不等式可以是______________．

答案　(x＋4)(x－6)>0(答案不唯一)

解析　因为不等式(x＋4)(x－6)>0解集为{x|x>6或x<－4}，解集中只有－5在集合A中．

8．满足关于x的不等式(ax－b)(x－2)>0的解集为，则满足条件的一组有序实数对(a，b)的值可以是________．

答案　(－2，－1)(答案不唯一)

解析　不等式(ax－b)(x－2)>0的解集为，

∴方程(ax－b)(x－2)＝0的实数根为和2，

且即a＝2b<0，

则满足条件的一组有序实数对(a，b)的值可以是(－2，－1)．

9．在R上定义运算⊗：x⊗y＝x(1－y)，若不等式(x－a)⊗(x＋a)<1对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为________．

答案　

解析　由题意，可知不等式(x－a)⊗(x＋a)<1对任意实数x都成立，

又由(x－a)⊗(x＋a)＝(x－a)(1－x－a)，

即x2－x－a2＋a＋1>0对任意实数x都成立，

所以Δ＝1－4(－a2＋a＋1)<0，即4a2－4a－3<0，

解得－<a<.

10.已知定义域为R的奇函数f (x)，当x>0时， f (x)＝－(x－1)2＋1.

①当x∈[－1,0]时， f (x)的取值范围是________；

②当函数f (x)的图象在直线y＝x的下方时， x的取值范围是________．

答案　[－1,0]　(－1,0)∪(1，＋∞)

解析　因为f (x)为奇函数，故可以求函数在[0,1]上的值域，当x>0时， f (x)＝－(x－1)2＋1在[0,1]上的值域为[0,1]，故在x∈[－1,0]上的值域为x∈[－1,0]；如图所示，当函数f (x)的图象在直线y＝x的下方时，得x的取值范围是(－1,0)∪(1，＋∞)．

11．已知关于x的不等式－x2＋ax＋b>0.

(1)若该不等式的解集为(－4,2)，求a，b的值；

(2)若b＝a＋1，求此不等式的解集．

解　(1)根据题意得

解得a＝－2，b＝8.

(2)当b＝a＋1时，－x2＋ax＋b>0⇔x2－ax－(a＋1)<0，

即[x－(a＋1)](x＋1)<0.

当a＋1＝－1，即a＝－2时，原不等式的解集为∅；

当a＋1<－1，即a<－2时，原不等式的解集为(a＋1，－1)；

当a＋1>－1，即a>－2时，原不等式的解集为(－1，a＋1)．

综上，当a<－2时，不等式的解集为(a＋1，－1)；当a＝－2时，不等式的解集为∅；当a>－2时， 不等式的解集为(－1，a＋1)．

12．甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10)，每小时可获得的利润是100元．

(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，求x的取值范围；

(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，则甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润．

解　(1)根据题意，得200≥3 000，

整理得5x－14－≥0，即5x2－14x－3≥0，

又1≤x≤10，可解得3≤x≤10.

故要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，x的取值范围是[3,10]．

(2)设利润为y元，则y＝·100

＝9×104

＝9×104，

故当x＝6时，ymax＝457 500.

故甲厂以6千克/小时的生产速度生产900千克该产品时获得的利润最大，最大利润为457 500元．