还剩26页未读，
继续阅读
2020-2021学年广东省佛山市华英学校九年级上学期期中数学试题（含详细答案）
展开
这是一份2020-2021学年广东省佛山市华英学校九年级上学期期中数学试题（含详细答案），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020－2021学年广东佛山禅城区华英学校初三上学期期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ）．
A. B. C. D.
2. 下列命题正确的是（ ）．
A. 对角线相等的平行四边形是菱形
B. 对角线相等且互相垂直的四边形是正方形
C. 矩形的对角线互相垂直
D. 顺次连接菱形各边中点，所得四边形是矩形
3. 某中学有一块长30米，宽20米矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为x米，则可列方程为（ ）．
A B.
C. D.
4. 如图，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
A. B. C. D.
5. 如图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成两个扇形，同时转动两个转盘，转盘停止后，指针所指区域内的数字之和为偶数的概率是（ ）．
A. B. C. D.
6. 已知C是线段AB的一个黄金分割点，AB＝10，AC＞BC，则AC长为（ ）．
A. B. C. D.
7. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB于点D．则△BCD与△ABC的周长之比为（ ）．
A. 2∶1 B. 1∶2 C. 1∶ D. ∶2
8. 如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是CD边的中点．若AB＝12，OM＝4.5，则线段OB的长为（ ）．
A. 6.5 B. 7 C. 7.5 D. 8
9. 如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E，F分别在边AB，CD上，∠EFD＝60°，若将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上，则BE的长度为（ ）．
A. 1 B. C. D. 2
10. 如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，AE⊥EF，则下列结论：①∠BAE＝30°；②CE2＝AB·CF；③CF＝CD；④△ABE∽△AEF．正确的有（ ）．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）
11. 已知a，b，c是非零实数，且，其中a＋b＋c≠0，则k的值为________．
12. 已知m是关于x的方程x2－2x－3＝0的一个根，则4m－2m2＝________．
13. 如图，在菱形ABCD中，，则菱形ABCD的面积为_________．
14. 两个图形关于原点位似，且一对对应点的坐标分别为（3，－6）、（－6，b），则b＝________．
15. 从1、2、3中任取一个数作为十位上数字，再从余下的数字中任取一个数作为个位上的数字，那么组成的两位数是4的倍数的概率是_____
16. 如图1，长、宽均为高为的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图2是此时的示意图，则图2中水面高度为___________．
17. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，在Rt△MPN中，∠MPN＝90°，点P在AC上，PM交AB于点E，PN交BC于点F，当PE＝2PF时，AP＝________．
三、解答题（一）（共3小题，每小题6分，共18分）
18. 解方程：；．
19. 已知关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．
(1)如果x＝－1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由．
20. 如图，在△ABC中，点O是AC边上的中点，过点O的直线MN//BC，且MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，点P是BC延长线上一点，求证：四边形AECF是矩形．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
21. 学校实施新课程改革以来，学生的学习能力有了很大提高．王老师为进一步了解本班学生自主学习、合作交流的现状，对该班部分学生进行调查，把调查结果分成四类（A：特别好，B：好，C：一般，D：较差）后，再将调查结果绘制成两幅不完整的统计图（如图1,2）．请根据统计图解答下列问题：
（1）本次调查中，王老师一共调查了 名学生；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）为了共同进步，王老师从被调查的A类和D类学生中分别选取一名学生进行“兵教兵”互助学习，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中一名男生和一名女生的概率．
22. 2020年，受新冠肺炎疫情影响．口罩紧缺，某网店以每袋8元（一袋十个）的成本价购进了一批口罩，二月份以一袋14元销售了256袋，三、四月该口罩十份畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，四月份的销售量达到400袋．
（1）求三、四这两个月销售量的月平均增长率；
（2）为回馈客户，该网店决定五月降价促销．经调查发现，在四月份销量的基础上，该口罩每袋降价1元，销售量就增加40袋，当口罩每袋降价多少元时，五月份可获利1920元？
23. “创新实践”小组想利用镜子与皮尺测量大树的高度，因大树底部有障碍物，无法直接测量到大树底部的距离．聪明的小颖借鉴《海岛算经》的测量方法设计出如图所示的测量方案：测量者站在点处，将镜子放在点处时，刚好看到大树的顶端，沿大树方向向前走2．8米，到达点处，将镜子放在点处时，刚好看到在树的顶端（点在同一条直线上），若测得米，米，测量者眼睛到地面的距离为1．6米，求大树的高度．
五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
24 如图，把矩形ABCD沿AC折，使点D与点E重合，AE交BC于点F，过点E作EG//CD交AC于点G，交CF于点H，连接DG．
（1）求证：四边形ECDG是菱形．
（2）连接ED交AC于点O，且DG＝6，AG＝，求CG的值．
（3）在（2）的条件下，求EH的值．
25. 如图，在平面直角坐标系中，O为原点，△OAC是直角三角形，点A坐标是（0，2），∠OCA＝30°，以线段OA、OC为邻边作矩形点ABCO，D是线段AC上的一动点（不与A，C重合），连结BD作DE⊥DB，交x轴于点E，以线段DE，DB为邻边作矩形BDEF．
（1）填空：点B的坐标为 ．
（2）是否存在这样的点D，使得△DEC是等腰三角形？若存在，请求出AD的长度；若不存在，请说明理由．
（3）试判断的值是否为定值？若是定值，请求出的值；若不是定值，请说明理由．
详细参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义逐项排查即可
【详解】解：A选项：中只有一个未知数x，但分母中含有未知数x，故它不一元二次方程；
B选项：x2＋2y＋3＝0中含有两个末知数x和y，故它不是一元二次方程；
C选项：x2＝0中只有一个末知数x，且末知数的最高次数是2，故它是一元二次方程；
D选项：（x＋2）（x－1）＝x2变形后，x2－x＋2x－2＝x2，x－2＝0，故它不是一元二次方程．
故选：C．
【点睛】本题考查一元二次方程的概念问题，判别一元二次方程的标准必须同时满足三个条件：①是整式方程，即等号两边都是整式，方程中如果有分母；未知数不能在分母上；②只含有一个未知数；③未知数项的最高次数是2．
2. 下列命题正确的是（ ）．
A. 对角线相等的平行四边形是菱形
B. 对角线相等且互相垂直的四边形是正方形
C. 矩形的对角线互相垂直
D. 顺次连接菱形各边中点，所得的四边形是矩形
【答案】D
【解析】
【分析】根据菱形、矩形、正方形的性质和判定定理分别进行分析即可．
【详解】A选项：对角线相等的平行四边形是矩形，不是菱形，A说法错误；
B选项：对角线相等且互相垂直的四边形不一定是正方形，如下图所示：
C选项：矩形的对角线不一定互相垂直，只有特殊的矩形（正方形）对角线才是互相垂直的，反例情况如下图．
D选项：如图，取菱形ABCD四边的中点E、F、G、H，
依次连接E、F、G、H，
连接AC，BD，交于M点，
∵E、F分别为AB，CB中点，
∵EF//AC，EF＝AC，
又∵G、H分别为CD、AD中点，
∴HG//AC，HG＝AC，
∴EF//AC//HG，EF＝HG＝AC，
∴四边形EFGH为平行四边形，
同理有EH∥BD//FG，
∵四边形ABCD为菱形，
∴BD⊥AC，
故∠BMA＝90°，
∴另得∠HEF＝90°，
∴平行四边形EFGH为矩形，
故D选项正确．
故选D．
【点睛】此题主要考查了多边形，关键是掌握菱形、矩形、正方形的判定和性质定理．
3. 某中学有一块长30米，宽20米的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为x米，则可列方程为（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据等量关系：空白区域的面积=四分之三的矩形空地的面积可得方程．
【详解】设花带的宽度为xm，
由图可知，可列方程为
，
即．
故选：D．
【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是根据图形得出面积的相等关系．
4. 如图，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】试题解析：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确．
D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
故选C．
点睛：相似三角形的判定：两组角对应相等，两个三角形相似.
两组边对应成比例及其夹角相等，两个三角形相似.
三组边对应成比例，两个三角形相似.
5. 如图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成两个扇形，同时转动两个转盘，转盘停止后，指针所指区域内的数字之和为偶数的概率是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】列举出所有情况，看和为偶数的情况数占所有情况数的多少即可．
【详解】第一个图中，指针指向1或2的概率是不相等的，
关键是得出的概率不均等即面积不相等，
所以把圆三等分就是2分成两个部分，
这样分成三个区域后，列树状图得：
共有6种情况，和为偶数的情况数有3种，
所以概率为．
故选A．
【点睛】本题考查了用列树状图的方法解决概率问题，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比；注意第一个图形中应包括2个2．
6. 已知C是线段AB的一个黄金分割点，AB＝10，AC＞BC，则AC长为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据黄金分割的概念写出对应线段的比值，代入已知条件即可求出线段长度．
【详解】解：∵点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），
∴
而AB＝10，
∴．
故选：B．
【点睛】题目主要考查黄金分割的概念，熟记黄金分割的概念并根据黄金分割的比值列式是解题关键．
7. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB于点D．则△BCD与△ABC的周长之比为（ ）．
A. 2∶1 B. 1∶2 C. 1∶ D. ∶2
【答案】B
【解析】
【分析】易证得△BCD∽△BAC，得∠BCD=∠A=30°，那么BC=2BD，即△BCD与△BAC的相似比为1：2，根据相似三角形的周长比等于相似比即可得到正确的结论．
【详解】解：∵∠B=∠B，∠BDC=∠BCA=90°，
∴△BCD∽△BAC；①
∴∠BCD=∠A=30°；
Rt△BCD中，∠BCD=30°，则BC=2BD；
由①得：C△BCD：C△BAC=BD：BC=1：2；
故选B．
【点睛】此题主要考查的是直角三角形和相似三角形的性质；相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．
8. 如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是CD边的中点．若AB＝12，OM＝4.5，则线段OB的长为（ ）．
A. 6.5 B. 7 C. 7.5 D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】先说明OM是△ADC的中位线，进而求得AD的长，再根据四边形ABCD是矩形、AB＝12可得∠D＝∠ADC＝90°、CD＝AB＝12，然后运用勾股定理可求得AC，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．
【详解】解：∵O是矩形ABCD对角线AC的中点，M是CD边的中点，
∴OM是△ADC的中位线，
∴AD＝2OM＝9，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝12，
∴∠D＝∠ADC＝90°，CD＝AB＝12，
∴Rt△ACD中，AC＝＝15，
∴Rt△ABC中，BO＝AC＝7.5．
故选C．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、三角形中位线的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识点，掌握并灵活运用矩形的性质成为解答本题的关键．
9. 如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E，F分别在边AB，CD上，∠EFD＝60°，若将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上，则BE的长度为（ ）．
A. 1 B. C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】由正方形的性质得出，由折叠的性质得出，，设，则，，由直角三角形的性质可得：，解方程求出即可得出答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴ABCD，∠A＝90°，
∴∠EFD＝∠BEF＝60°，
∵将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上，
∴，
∴，
又∵∠A＝90°，
∴，
∴，
设BE＝x，则，
∴2（3－x）＝x．
解得：x＝2，
∴BE＝2．
故选：D．
【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，含角的直角三角形的性质等知识点，能综合性运用性质进行推理是解此题的关键．
10. 如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，AE⊥EF，则下列结论：①∠BAE＝30°；②CE2＝AB·CF；③CF＝CD；④△ABE∽△AEF．正确的有（ ）．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】首先利用根据正方形的性质与同角的余角相等证得：，则可证得②正确，①③错误，利用有两边对应成比例且夹角相等三角形相似即可证得，则可证得④正确．
【详解】∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠C＝90°，AB＝BC＝CD，
∵AE⊥EF，
∴∠AEF＝∠B＝90°，
∴∠BAE＋∠AEB＝90°，∠AEB＋∠FEC＝90°，
∴∠BAE＝∠CEF，
∴，
∴，即，
∴，故②正确；
∵E是BC的中点，
∴，
∴，
∴，故①错误；
∴，故③错误；
设CF＝a，则BE＝CE＝2a，AB＝CD＝AD＝4a，DF＝3a，
∴，，AF＝5a，
∴，
，
∴，
∴，故④正确．
∴②与④正确．
∴正确结论的个数有2个．
故选：B．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，以及正方形的性质．题目综合性较强，注意数形结合思想的应用．
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）
11. 已知a，b，c是非零实数，且，其中a＋b＋c≠0，则k的值为________．
【答案】##0.5
【解析】
【分析】先将原式写成整式的形式，然后再求解即可．
【详解】解：，
，
．
当a＋b＋c≠0时，2k=1，即k＝．
故填：．
【点睛】本题主要考查了分式的性质，根据分式的性质对等式进行变形成为解答本题的关键．
12. 已知m是关于x的方程x2－2x－3＝0的一个根，则4m－2m2＝________．
【答案】－6
【解析】
【分析】利用一元二次方程根的定义得到m22m=3，然后利用整体代入法进行解题，即可得到答案．
【详解】解：∵m是关于x的方程x2－2x－3＝0的一个根，
∴m22m=3，
∴4m－2m2＝－2（m2）＝；
故答案为：6．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
13. 如图，在菱形ABCD中，，则菱形ABCD的面积为_________．
【答案】2
【解析】
【分析】
【详解】试题解析：如图，
∵菱形ABCD，
∴AD=AB，OD=OB，OA=OC，
∵∠DAB=60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴BD=AB=2，
∴OD=1，
在Rt△AOD中，根据勾股定理得：AO=，
∴AC=2，
则S菱形ABCD=AC•BD=2，
故答案为2
考点：菱形的性质．
14. 两个图形关于原点位似，且一对对应点的坐标分别为（3，－6）、（－6，b），则b＝________．
【答案】12
【解析】
【分析】利用在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k，进而得出答案．
【详解】∵一对对应点的坐标分别为（3，－6）、（－6，b），
，
则b＝12，
故答案为：12．
【点睛】此题主要考查了位似变换以及坐标与图形的性质，正确记忆坐标变化规律是解题关键．
15. 从1、2、3中任取一个数作为十位上的数字，再从余下的数字中任取一个数作为个位上的数字，那么组成的两位数是4的倍数的概率是_____
【答案】
【解析】
【分析】画出树状图,找出所有可能性,再找到组成的两位数是4的倍数的结果数为2,作比值即可解题.
【详解】画树状图为：
共有6种等可能的结果数，其中组成的两位数是4的倍数的结果数为2，
所以组成的两位数是4的倍数的概率＝＝．
故答案为．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
16. 如图1，长、宽均为高为的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图2是此时的示意图，则图2中水面高度为___________．
【答案】
【解析】
【分析】过点C作CF⊥BG于点F，设DE=x，根据水的体积不变，列出方程，求出x的值，进而求出CD的值，由∆DEC~∆BFC，得，进而即可求解．
【详解】过点C作CF⊥BG于点F，
设DE=x，则AD=8-x，
根据题意得：(8-x+8)×3×3=3×3×6，解得：x=4，
∴DE=4，
∵∠E=90°，
∴CD=，
∵∠BCE=∠DCF=90°，
∴∠DCE=∠BCF，
∵∠DEC=∠BFC=90°，
∴∆DEC~∆BFC，
∴，即：，
∴CF=．
故答是：．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质定理，勾股定理，掌握相似三角形对应边成比例，是解题的关键．
17. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，在Rt△MPN中，∠MPN＝90°，点P在AC上，PM交AB于点E，PN交BC于点F，当PE＝2PF时，AP＝________．
【答案】3
【解析】
【分析】如图作PQ⊥AB于Q，PR⊥BC于R．由△QPE∽△RPF，可得PQ=2PR=2BQ，由PQ∥BC，可得AQ：QP：AP=AB：BC：AC=3：4：5，设PQ=4x，则AQ=3x，AP=5x，BQ=2x，可得2x+3x=3，求出x即可解决问题．
【详解】解：如图作PQ⊥AB于点Q，PR⊥BC于点R．
∵∠PQB＝∠QBR＝∠BRP＝90°，
∴四边形PQBR是矩形，
∴∠QPR＝90°＝∠MPN，
∴∠QPE＝∠RPF，
∴，
，
，
∵PQ//BC，
设PQ＝4x，则AQ＝3x，AP＝5x，BQ＝2x，
∴2x＋3x＝3
∴，
∴AP＝5x＝3．
故答案为3．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、勾股定理、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
三、解答题（一）（共3小题，每小题6分，共18分）
18. 解方程：；．
【答案】，； ，．
【解析】
【分析】(1)运用配方法解方程；(2)运用因式分解法解方程.
【详解】
解得：，；
，
解得：，．
【点睛】根据方程的特点，选择合适的解放方程方法是关键.
19. 已知关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．
(1)如果x＝－1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由．
【答案】（1）△ABC是等腰三角形，理由见解析；（2）△ABC是直角三角形.理由见解析.
【解析】
【详解】试题分析：（1）由方程解的定义把x=﹣1代入方程得到a﹣b=0，即a=b，于是由等腰三角形的判定即可得到△ABC是等腰三角形；
（2）由判别式的意义得到△=0，整理得，然后由勾股定理的逆定理得到△ABC是直角三角形．
试题解析：解：（1）△ABC是等腰三角形．理由如下：
∵x=﹣1是方程的根，∴（a+c）×1﹣2b+（a﹣c）=0，∴a+c﹣2b+a﹣c=0，∴a﹣b=0，∴a=b，∴△ABC是等腰三角形；
（2）△ABC直角三角形．理由如下：
∵方程有两个相等的实数根，∴△=，∴，∴，∴△ABC是直角三角形．
考点：1．根的判别式；2．等腰三角形的判定；3．勾股定理的逆定理．
20. 如图，在△ABC中，点O是AC边上的中点，过点O的直线MN//BC，且MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，点P是BC延长线上一点，求证：四边形AECF是矩形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据角平分线和平行线的性质可得出：AO＝CO，EO＝FO，可证明四边形AECF为平行四边形，再根据内角平分线和外角平分线的性质可得：∠ECF＝90°，依据矩形的判定定理（有一个角是90°的平行四边形是矩形）即可证明．
【详解】∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE＝∠BCE，
∵MN//BC，
∴∠OEC＝∠ECB，
∴∠OEC＝∠OCE，
∴OE＝OC，
同理，OC＝OF，
∴OE＝OF，
∵AO＝CO，EO＝ FO，
∴四边形AECF为平行四边形，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE＝∠ACB，
同理，∠ACF＝∠ACP，
∴∠ECF＝∠ACE＋∠ACF＝（∠ACB＋∠ACP）＝×180°＝90°，
∴四边形AECF是矩形．
【点睛】题目主要考查矩形的判定定理，涉及到角平分线、平行线的性质，熟练掌握判定定理，综合运用这些知识点是解题关键．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
21. 学校实施新课程改革以来，学生的学习能力有了很大提高．王老师为进一步了解本班学生自主学习、合作交流的现状，对该班部分学生进行调查，把调查结果分成四类（A：特别好，B：好，C：一般，D：较差）后，再将调查结果绘制成两幅不完整的统计图（如图1,2）．请根据统计图解答下列问题：
（1）本次调查中，王老师一共调查了 名学生；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）为了共同进步，王老师从被调查的A类和D类学生中分别选取一名学生进行“兵教兵”互助学习，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中一名男生和一名女生的概率．
【答案】（1）20；（2）作图见试题解析；（3）．
【解析】
【分析】（1）由A类的学生数以及所占的百分比即可求得答案；
（2）先求出C类的女生数、D类的男生数，继而可补全条形统计图；
（3）首先根据题意列出表格，再利用表格求得所有等可能的结果与恰好选中一名男生和一名女生的情况，继而求得答案．
【详解】（1）根据题意得：王老师一共调查学生：（2+1）÷15%=20（名）；
故答案为20；
（2）∵C类女生：20×25%﹣2=3（名）；
D类男生：20×（1﹣15%﹣50%﹣25%）﹣1=1（名）；
如图：
（3）列表如下：A类中的两名男生分别记为A1和A2，
男A1
男A2
女A
男D
男A1男D
男A2男D
女A男D
女D
男A1女D
男A2女D
女A女D
共有6种等可能的结果，其中，一男一女的有3种，所以所选两位同学恰好是一位男生和一位女生的概率为：．
22. 2020年，受新冠肺炎疫情影响．口罩紧缺，某网店以每袋8元（一袋十个）的成本价购进了一批口罩，二月份以一袋14元销售了256袋，三、四月该口罩十份畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，四月份的销售量达到400袋．
（1）求三、四这两个月销售量的月平均增长率；
（2）为回馈客户，该网店决定五月降价促销．经调查发现，在四月份销量的基础上，该口罩每袋降价1元，销售量就增加40袋，当口罩每袋降价多少元时，五月份可获利1920元？
【答案】（1）三、四这两个月销售量的月平均增长率为25%．（2）当口罩每袋降价2元时，五月份可获利1920元．
【解析】
【分析】(1)设三、四这两个月销售量的月平均增长率为，根据题目已知条件列出方程即可求解；
(2)设口罩每袋降价元，则五月份的销售量为袋，根据题目已知条件得出，解方程即可得出结果．
【详解】解：(1)设三、四这两个月销售量的月平均增长率为，
依题意，得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：三、四这两个月销售量的月平均增长率为25%．
(2)设口罩每袋降价元，则五月份的销售量为袋，
依题意，得：，
化简，得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：当口罩每袋降价2元时，五月份可获利1920元．
【点睛】本题主要考查的是一元二次方程的实际应用，根据题目意思正确的列出方程是解题的关键．
23. “创新实践”小组想利用镜子与皮尺测量大树的高度，因大树底部有障碍物，无法直接测量到大树底部的距离．聪明的小颖借鉴《海岛算经》的测量方法设计出如图所示的测量方案：测量者站在点处，将镜子放在点处时，刚好看到大树的顶端，沿大树方向向前走2．8米，到达点处，将镜子放在点处时，刚好看到在树的顶端（点在同一条直线上），若测得米，米，测量者眼睛到地面的距离为1．6米，求大树的高度．
【答案】9.6米
【解析】
【分析】设的长为米，根据相似三角形的性质得到及，再根据得到，进而列出方程，解方程即可得到结论．
【详解】解：设的长为米，则米，
由题意，得，
∴，
∴，
同理，，
∴，
∵，
∴，即，
解得：，
∵，
∴，
解得，
答：大树的高度为9.6米．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，利用相似三角形对应边成比例是解决问题的关键．
五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
24. 如图，把矩形ABCD沿AC折，使点D与点E重合，AE交BC于点F，过点E作EG//CD交AC于点G，交CF于点H，连接DG．
（1）求证：四边形ECDG是菱形．
（2）连接ED交AC于点O，且DG＝6，AG＝，求CG的值．
（3）在（2）的条件下，求EH的值．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【解析】
【分析】（1）根据折叠的性质，邻边相等的平行四边形为菱形证得结论；
（2）如图，连接ED交AC于点O，构造相似三角形△DCO∽△ACD，由该相似三角形的对应边成比例求得DC2=OC•AC，可求GC的长，
(3)通过证明△ADC∽△CHG可得GH的长，即可求EH的值．
详解】（1）由折叠可知DC＝EC，∠DCG＝∠ECG，
∵EG//CD，
∴∠DCG＝∠EGC（两直线平行，内错角相等），
而∠DCG＝∠ECG，
∴可知∠EGC＝∠ECG，
∴EG＝EC，
∴EG=CD，
∴四边形ECDG是平行四边形，
又∵DC＝EC，
∴平行四边形ECDG是菱形．
（2）∵四边形ECDG是菱形，
∴，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝∠DOC＝90°，∠DCO＝∠ACO，
，
设OC＝x，则CG＝2x，AC＝2x＋，
∴有，
解得（不合题意，舍去），
．
（3），
，
，
，
且，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，菱形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键．
25. 如图，在平面直角坐标系中，O为原点，△OAC是直角三角形，点A坐标是（0，2），∠OCA＝30°，以线段OA、OC为邻边作矩形点ABCO，D是线段AC上的一动点（不与A，C重合），连结BD作DE⊥DB，交x轴于点E，以线段DE，DB为邻边作矩形BDEF．
（1）填空：点B的坐标为 ．
（2）是否存在这样的点D，使得△DEC是等腰三角形？若存在，请求出AD的长度；若不存在，请说明理由．
（3）试判断的值是否为定值？若是定值，请求出的值；若不是定值，请说明理由．
【答案】（1）（，2）；（2）存在，AD的值为2或；（3）为定值，．
【解析】
【分析】（1）先求出OA=2,再根据矩形的性质可得OC＝AB、 OC//AB、∠ABC＝90°、 BC ＝OA=2，进一步可得AC=4，然后再运用勾股定理可以求得AB的长，即可确定B的坐标；
（2）先说明∠ACB＝60°，然后分当E在线段CO上和E在OC的延长线上两种情况解答即可；
（3）过点D作MN⊥AB交AB于点M，交OC于点N，再运用待定系数法求得直线AC的解析式，设D坐标为，则，；然后再说明，最后运用相似三角形的性质列方程解答即可.
【详解】解：（1）∵点A坐标是（0，2）
∴OA=2
∵四边形AOCB为矩形，
∴OC＝AB， OC//AB，∠ABC＝90°， BC ＝OA=2，
∵∠OCA＝30°，
∴∠BAC＝30°，
∴Rt△ACB中，AC＝2BC，
∴BC＝OA＝2，则AC＝4，
．
．
（2）存在，理由如下：
∵四边形AOCB为矩形，
∴AB//OC，
∴∠ACO＝∠CAB＝30°，
∴∠ACB＝60°，
①如图（1）中，当E在线段CO上时，△DEC为等腰三角形，观察图象可知，只有ED＝EC，
∴∠DCE＝∠EDC＝30°，
∴∠DBC＝∠BCD＝60°，
∴△DBC为等边三角形．
∴DC＝BC＝2，
在Rt△AOC中，
∵∠ACO＝30°，OA＝2，
∴AD＝AC－CD＝4－2＝2.
②如图（2）中，当E在OC的延长线上时，△DCE为等腰三角形，只有CD＝CE，
∠DBC＝∠DEC＝∠CDE＝15°，
∴∠ABD＝∠ADB＝75°，
AB＝AD＝．
综上，满足条件的AD的值为2或．
（3）为定值．理由如下：
如图（3），过点D作MN⊥AB交AB于点M，交OC于点N，
∵A（0，2）和C（，0）
设直线AC的表达式为y＝kx＋b，代入A、C坐标后得
解得，
∴直线AC的表达式为，
设D坐标为，
，，
∵∠BDE＝90°，
∴∠BDM＋∠NDE＝90°，
∠BDM＋∠DBM＝90°，
∴∠DBM＝∠NDE，
∵∠BMD＝∠DNE＝90°，
∴．
=.
【点睛】本题主要考查相似三角形判定和性质、勾股定理、矩形的性质等知识的综合运用，灵活运用相关知识成为解答本题的关键.
2020－2021学年广东佛山禅城区华英学校初三上学期期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ）．
A. B. C. D.
2. 下列命题正确的是（ ）．
A. 对角线相等的平行四边形是菱形
B. 对角线相等且互相垂直的四边形是正方形
C. 矩形的对角线互相垂直
D. 顺次连接菱形各边中点，所得四边形是矩形
3. 某中学有一块长30米，宽20米矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为x米，则可列方程为（ ）．
A B.
C. D.
4. 如图，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
A. B. C. D.
5. 如图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成两个扇形，同时转动两个转盘，转盘停止后，指针所指区域内的数字之和为偶数的概率是（ ）．
A. B. C. D.
6. 已知C是线段AB的一个黄金分割点，AB＝10，AC＞BC，则AC长为（ ）．
A. B. C. D.
7. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB于点D．则△BCD与△ABC的周长之比为（ ）．
A. 2∶1 B. 1∶2 C. 1∶ D. ∶2
8. 如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是CD边的中点．若AB＝12，OM＝4.5，则线段OB的长为（ ）．
A. 6.5 B. 7 C. 7.5 D. 8
9. 如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E，F分别在边AB，CD上，∠EFD＝60°，若将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上，则BE的长度为（ ）．
A. 1 B. C. D. 2
10. 如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，AE⊥EF，则下列结论：①∠BAE＝30°；②CE2＝AB·CF；③CF＝CD；④△ABE∽△AEF．正确的有（ ）．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）
11. 已知a，b，c是非零实数，且，其中a＋b＋c≠0，则k的值为________．
12. 已知m是关于x的方程x2－2x－3＝0的一个根，则4m－2m2＝________．
13. 如图，在菱形ABCD中，，则菱形ABCD的面积为_________．
14. 两个图形关于原点位似，且一对对应点的坐标分别为（3，－6）、（－6，b），则b＝________．
15. 从1、2、3中任取一个数作为十位上数字，再从余下的数字中任取一个数作为个位上的数字，那么组成的两位数是4的倍数的概率是_____
16. 如图1，长、宽均为高为的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图2是此时的示意图，则图2中水面高度为___________．
17. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，在Rt△MPN中，∠MPN＝90°，点P在AC上，PM交AB于点E，PN交BC于点F，当PE＝2PF时，AP＝________．
三、解答题（一）（共3小题，每小题6分，共18分）
18. 解方程：；．
19. 已知关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．
(1)如果x＝－1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由．
20. 如图，在△ABC中，点O是AC边上的中点，过点O的直线MN//BC，且MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，点P是BC延长线上一点，求证：四边形AECF是矩形．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
21. 学校实施新课程改革以来，学生的学习能力有了很大提高．王老师为进一步了解本班学生自主学习、合作交流的现状，对该班部分学生进行调查，把调查结果分成四类（A：特别好，B：好，C：一般，D：较差）后，再将调查结果绘制成两幅不完整的统计图（如图1,2）．请根据统计图解答下列问题：
（1）本次调查中，王老师一共调查了 名学生；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）为了共同进步，王老师从被调查的A类和D类学生中分别选取一名学生进行“兵教兵”互助学习，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中一名男生和一名女生的概率．
22. 2020年，受新冠肺炎疫情影响．口罩紧缺，某网店以每袋8元（一袋十个）的成本价购进了一批口罩，二月份以一袋14元销售了256袋，三、四月该口罩十份畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，四月份的销售量达到400袋．
（1）求三、四这两个月销售量的月平均增长率；
（2）为回馈客户，该网店决定五月降价促销．经调查发现，在四月份销量的基础上，该口罩每袋降价1元，销售量就增加40袋，当口罩每袋降价多少元时，五月份可获利1920元？
23. “创新实践”小组想利用镜子与皮尺测量大树的高度，因大树底部有障碍物，无法直接测量到大树底部的距离．聪明的小颖借鉴《海岛算经》的测量方法设计出如图所示的测量方案：测量者站在点处，将镜子放在点处时，刚好看到大树的顶端，沿大树方向向前走2．8米，到达点处，将镜子放在点处时，刚好看到在树的顶端（点在同一条直线上），若测得米，米，测量者眼睛到地面的距离为1．6米，求大树的高度．
五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
24 如图，把矩形ABCD沿AC折，使点D与点E重合，AE交BC于点F，过点E作EG//CD交AC于点G，交CF于点H，连接DG．
（1）求证：四边形ECDG是菱形．
（2）连接ED交AC于点O，且DG＝6，AG＝，求CG的值．
（3）在（2）的条件下，求EH的值．
25. 如图，在平面直角坐标系中，O为原点，△OAC是直角三角形，点A坐标是（0，2），∠OCA＝30°，以线段OA、OC为邻边作矩形点ABCO，D是线段AC上的一动点（不与A，C重合），连结BD作DE⊥DB，交x轴于点E，以线段DE，DB为邻边作矩形BDEF．
（1）填空：点B的坐标为 ．
（2）是否存在这样的点D，使得△DEC是等腰三角形？若存在，请求出AD的长度；若不存在，请说明理由．
（3）试判断的值是否为定值？若是定值，请求出的值；若不是定值，请说明理由．
详细参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义逐项排查即可
【详解】解：A选项：中只有一个未知数x，但分母中含有未知数x，故它不一元二次方程；
B选项：x2＋2y＋3＝0中含有两个末知数x和y，故它不是一元二次方程；
C选项：x2＝0中只有一个末知数x，且末知数的最高次数是2，故它是一元二次方程；
D选项：（x＋2）（x－1）＝x2变形后，x2－x＋2x－2＝x2，x－2＝0，故它不是一元二次方程．
故选：C．
【点睛】本题考查一元二次方程的概念问题，判别一元二次方程的标准必须同时满足三个条件：①是整式方程，即等号两边都是整式，方程中如果有分母；未知数不能在分母上；②只含有一个未知数；③未知数项的最高次数是2．
2. 下列命题正确的是（ ）．
A. 对角线相等的平行四边形是菱形
B. 对角线相等且互相垂直的四边形是正方形
C. 矩形的对角线互相垂直
D. 顺次连接菱形各边中点，所得的四边形是矩形
【答案】D
【解析】
【分析】根据菱形、矩形、正方形的性质和判定定理分别进行分析即可．
【详解】A选项：对角线相等的平行四边形是矩形，不是菱形，A说法错误；
B选项：对角线相等且互相垂直的四边形不一定是正方形，如下图所示：
C选项：矩形的对角线不一定互相垂直，只有特殊的矩形（正方形）对角线才是互相垂直的，反例情况如下图．
D选项：如图，取菱形ABCD四边的中点E、F、G、H，
依次连接E、F、G、H，
连接AC，BD，交于M点，
∵E、F分别为AB，CB中点，
∵EF//AC，EF＝AC，
又∵G、H分别为CD、AD中点，
∴HG//AC，HG＝AC，
∴EF//AC//HG，EF＝HG＝AC，
∴四边形EFGH为平行四边形，
同理有EH∥BD//FG，
∵四边形ABCD为菱形，
∴BD⊥AC，
故∠BMA＝90°，
∴另得∠HEF＝90°，
∴平行四边形EFGH为矩形，
故D选项正确．
故选D．
【点睛】此题主要考查了多边形，关键是掌握菱形、矩形、正方形的判定和性质定理．
3. 某中学有一块长30米，宽20米的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为x米，则可列方程为（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据等量关系：空白区域的面积=四分之三的矩形空地的面积可得方程．
【详解】设花带的宽度为xm，
由图可知，可列方程为
，
即．
故选：D．
【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是根据图形得出面积的相等关系．
4. 如图，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】试题解析：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确．
D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
故选C．
点睛：相似三角形的判定：两组角对应相等，两个三角形相似.
两组边对应成比例及其夹角相等，两个三角形相似.
三组边对应成比例，两个三角形相似.
5. 如图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成两个扇形，同时转动两个转盘，转盘停止后，指针所指区域内的数字之和为偶数的概率是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】列举出所有情况，看和为偶数的情况数占所有情况数的多少即可．
【详解】第一个图中，指针指向1或2的概率是不相等的，
关键是得出的概率不均等即面积不相等，
所以把圆三等分就是2分成两个部分，
这样分成三个区域后，列树状图得：
共有6种情况，和为偶数的情况数有3种，
所以概率为．
故选A．
【点睛】本题考查了用列树状图的方法解决概率问题，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比；注意第一个图形中应包括2个2．
6. 已知C是线段AB的一个黄金分割点，AB＝10，AC＞BC，则AC长为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据黄金分割的概念写出对应线段的比值，代入已知条件即可求出线段长度．
【详解】解：∵点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），
∴
而AB＝10，
∴．
故选：B．
【点睛】题目主要考查黄金分割的概念，熟记黄金分割的概念并根据黄金分割的比值列式是解题关键．
7. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB于点D．则△BCD与△ABC的周长之比为（ ）．
A. 2∶1 B. 1∶2 C. 1∶ D. ∶2
【答案】B
【解析】
【分析】易证得△BCD∽△BAC，得∠BCD=∠A=30°，那么BC=2BD，即△BCD与△BAC的相似比为1：2，根据相似三角形的周长比等于相似比即可得到正确的结论．
【详解】解：∵∠B=∠B，∠BDC=∠BCA=90°，
∴△BCD∽△BAC；①
∴∠BCD=∠A=30°；
Rt△BCD中，∠BCD=30°，则BC=2BD；
由①得：C△BCD：C△BAC=BD：BC=1：2；
故选B．
【点睛】此题主要考查的是直角三角形和相似三角形的性质；相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．
8. 如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是CD边的中点．若AB＝12，OM＝4.5，则线段OB的长为（ ）．
A. 6.5 B. 7 C. 7.5 D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】先说明OM是△ADC的中位线，进而求得AD的长，再根据四边形ABCD是矩形、AB＝12可得∠D＝∠ADC＝90°、CD＝AB＝12，然后运用勾股定理可求得AC，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．
【详解】解：∵O是矩形ABCD对角线AC的中点，M是CD边的中点，
∴OM是△ADC的中位线，
∴AD＝2OM＝9，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝12，
∴∠D＝∠ADC＝90°，CD＝AB＝12，
∴Rt△ACD中，AC＝＝15，
∴Rt△ABC中，BO＝AC＝7.5．
故选C．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、三角形中位线的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识点，掌握并灵活运用矩形的性质成为解答本题的关键．
9. 如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E，F分别在边AB，CD上，∠EFD＝60°，若将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上，则BE的长度为（ ）．
A. 1 B. C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】由正方形的性质得出，由折叠的性质得出，，设，则，，由直角三角形的性质可得：，解方程求出即可得出答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴ABCD，∠A＝90°，
∴∠EFD＝∠BEF＝60°，
∵将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上，
∴，
∴，
又∵∠A＝90°，
∴，
∴，
设BE＝x，则，
∴2（3－x）＝x．
解得：x＝2，
∴BE＝2．
故选：D．
【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，含角的直角三角形的性质等知识点，能综合性运用性质进行推理是解此题的关键．
10. 如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，AE⊥EF，则下列结论：①∠BAE＝30°；②CE2＝AB·CF；③CF＝CD；④△ABE∽△AEF．正确的有（ ）．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】首先利用根据正方形的性质与同角的余角相等证得：，则可证得②正确，①③错误，利用有两边对应成比例且夹角相等三角形相似即可证得，则可证得④正确．
【详解】∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠C＝90°，AB＝BC＝CD，
∵AE⊥EF，
∴∠AEF＝∠B＝90°，
∴∠BAE＋∠AEB＝90°，∠AEB＋∠FEC＝90°，
∴∠BAE＝∠CEF，
∴，
∴，即，
∴，故②正确；
∵E是BC的中点，
∴，
∴，
∴，故①错误；
∴，故③错误；
设CF＝a，则BE＝CE＝2a，AB＝CD＝AD＝4a，DF＝3a，
∴，，AF＝5a，
∴，
，
∴，
∴，故④正确．
∴②与④正确．
∴正确结论的个数有2个．
故选：B．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，以及正方形的性质．题目综合性较强，注意数形结合思想的应用．
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）
11. 已知a，b，c是非零实数，且，其中a＋b＋c≠0，则k的值为________．
【答案】##0.5
【解析】
【分析】先将原式写成整式的形式，然后再求解即可．
【详解】解：，
，
．
当a＋b＋c≠0时，2k=1，即k＝．
故填：．
【点睛】本题主要考查了分式的性质，根据分式的性质对等式进行变形成为解答本题的关键．
12. 已知m是关于x的方程x2－2x－3＝0的一个根，则4m－2m2＝________．
【答案】－6
【解析】
【分析】利用一元二次方程根的定义得到m22m=3，然后利用整体代入法进行解题，即可得到答案．
【详解】解：∵m是关于x的方程x2－2x－3＝0的一个根，
∴m22m=3，
∴4m－2m2＝－2（m2）＝；
故答案为：6．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
13. 如图，在菱形ABCD中，，则菱形ABCD的面积为_________．
【答案】2
【解析】
【分析】
【详解】试题解析：如图，
∵菱形ABCD，
∴AD=AB，OD=OB，OA=OC，
∵∠DAB=60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴BD=AB=2，
∴OD=1，
在Rt△AOD中，根据勾股定理得：AO=，
∴AC=2，
则S菱形ABCD=AC•BD=2，
故答案为2
考点：菱形的性质．
14. 两个图形关于原点位似，且一对对应点的坐标分别为（3，－6）、（－6，b），则b＝________．
【答案】12
【解析】
【分析】利用在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k，进而得出答案．
【详解】∵一对对应点的坐标分别为（3，－6）、（－6，b），
，
则b＝12，
故答案为：12．
【点睛】此题主要考查了位似变换以及坐标与图形的性质，正确记忆坐标变化规律是解题关键．
15. 从1、2、3中任取一个数作为十位上的数字，再从余下的数字中任取一个数作为个位上的数字，那么组成的两位数是4的倍数的概率是_____
【答案】
【解析】
【分析】画出树状图,找出所有可能性,再找到组成的两位数是4的倍数的结果数为2,作比值即可解题.
【详解】画树状图为：
共有6种等可能的结果数，其中组成的两位数是4的倍数的结果数为2，
所以组成的两位数是4的倍数的概率＝＝．
故答案为．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
16. 如图1，长、宽均为高为的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图2是此时的示意图，则图2中水面高度为___________．
【答案】
【解析】
【分析】过点C作CF⊥BG于点F，设DE=x，根据水的体积不变，列出方程，求出x的值，进而求出CD的值，由∆DEC~∆BFC，得，进而即可求解．
【详解】过点C作CF⊥BG于点F，
设DE=x，则AD=8-x，
根据题意得：(8-x+8)×3×3=3×3×6，解得：x=4，
∴DE=4，
∵∠E=90°，
∴CD=，
∵∠BCE=∠DCF=90°，
∴∠DCE=∠BCF，
∵∠DEC=∠BFC=90°，
∴∆DEC~∆BFC，
∴，即：，
∴CF=．
故答是：．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质定理，勾股定理，掌握相似三角形对应边成比例，是解题的关键．
17. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，在Rt△MPN中，∠MPN＝90°，点P在AC上，PM交AB于点E，PN交BC于点F，当PE＝2PF时，AP＝________．
【答案】3
【解析】
【分析】如图作PQ⊥AB于Q，PR⊥BC于R．由△QPE∽△RPF，可得PQ=2PR=2BQ，由PQ∥BC，可得AQ：QP：AP=AB：BC：AC=3：4：5，设PQ=4x，则AQ=3x，AP=5x，BQ=2x，可得2x+3x=3，求出x即可解决问题．
【详解】解：如图作PQ⊥AB于点Q，PR⊥BC于点R．
∵∠PQB＝∠QBR＝∠BRP＝90°，
∴四边形PQBR是矩形，
∴∠QPR＝90°＝∠MPN，
∴∠QPE＝∠RPF，
∴，
，
，
∵PQ//BC，
设PQ＝4x，则AQ＝3x，AP＝5x，BQ＝2x，
∴2x＋3x＝3
∴，
∴AP＝5x＝3．
故答案为3．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、勾股定理、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
三、解答题（一）（共3小题，每小题6分，共18分）
18. 解方程：；．
【答案】，； ，．
【解析】
【分析】(1)运用配方法解方程；(2)运用因式分解法解方程.
【详解】
解得：，；
，
解得：，．
【点睛】根据方程的特点，选择合适的解放方程方法是关键.
19. 已知关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．
(1)如果x＝－1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由．
【答案】（1）△ABC是等腰三角形，理由见解析；（2）△ABC是直角三角形.理由见解析.
【解析】
【详解】试题分析：（1）由方程解的定义把x=﹣1代入方程得到a﹣b=0，即a=b，于是由等腰三角形的判定即可得到△ABC是等腰三角形；
（2）由判别式的意义得到△=0，整理得，然后由勾股定理的逆定理得到△ABC是直角三角形．
试题解析：解：（1）△ABC是等腰三角形．理由如下：
∵x=﹣1是方程的根，∴（a+c）×1﹣2b+（a﹣c）=0，∴a+c﹣2b+a﹣c=0，∴a﹣b=0，∴a=b，∴△ABC是等腰三角形；
（2）△ABC直角三角形．理由如下：
∵方程有两个相等的实数根，∴△=，∴，∴，∴△ABC是直角三角形．
考点：1．根的判别式；2．等腰三角形的判定；3．勾股定理的逆定理．
20. 如图，在△ABC中，点O是AC边上的中点，过点O的直线MN//BC，且MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，点P是BC延长线上一点，求证：四边形AECF是矩形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据角平分线和平行线的性质可得出：AO＝CO，EO＝FO，可证明四边形AECF为平行四边形，再根据内角平分线和外角平分线的性质可得：∠ECF＝90°，依据矩形的判定定理（有一个角是90°的平行四边形是矩形）即可证明．
【详解】∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE＝∠BCE，
∵MN//BC，
∴∠OEC＝∠ECB，
∴∠OEC＝∠OCE，
∴OE＝OC，
同理，OC＝OF，
∴OE＝OF，
∵AO＝CO，EO＝ FO，
∴四边形AECF为平行四边形，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE＝∠ACB，
同理，∠ACF＝∠ACP，
∴∠ECF＝∠ACE＋∠ACF＝（∠ACB＋∠ACP）＝×180°＝90°，
∴四边形AECF是矩形．
【点睛】题目主要考查矩形的判定定理，涉及到角平分线、平行线的性质，熟练掌握判定定理，综合运用这些知识点是解题关键．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
21. 学校实施新课程改革以来，学生的学习能力有了很大提高．王老师为进一步了解本班学生自主学习、合作交流的现状，对该班部分学生进行调查，把调查结果分成四类（A：特别好，B：好，C：一般，D：较差）后，再将调查结果绘制成两幅不完整的统计图（如图1,2）．请根据统计图解答下列问题：
（1）本次调查中，王老师一共调查了 名学生；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）为了共同进步，王老师从被调查的A类和D类学生中分别选取一名学生进行“兵教兵”互助学习，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中一名男生和一名女生的概率．
【答案】（1）20；（2）作图见试题解析；（3）．
【解析】
【分析】（1）由A类的学生数以及所占的百分比即可求得答案；
（2）先求出C类的女生数、D类的男生数，继而可补全条形统计图；
（3）首先根据题意列出表格，再利用表格求得所有等可能的结果与恰好选中一名男生和一名女生的情况，继而求得答案．
【详解】（1）根据题意得：王老师一共调查学生：（2+1）÷15%=20（名）；
故答案为20；
（2）∵C类女生：20×25%﹣2=3（名）；
D类男生：20×（1﹣15%﹣50%﹣25%）﹣1=1（名）；
如图：
（3）列表如下：A类中的两名男生分别记为A1和A2，
男A1
男A2
女A
男D
男A1男D
男A2男D
女A男D
女D
男A1女D
男A2女D
女A女D
共有6种等可能的结果，其中，一男一女的有3种，所以所选两位同学恰好是一位男生和一位女生的概率为：．
22. 2020年，受新冠肺炎疫情影响．口罩紧缺，某网店以每袋8元（一袋十个）的成本价购进了一批口罩，二月份以一袋14元销售了256袋，三、四月该口罩十份畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，四月份的销售量达到400袋．
（1）求三、四这两个月销售量的月平均增长率；
（2）为回馈客户，该网店决定五月降价促销．经调查发现，在四月份销量的基础上，该口罩每袋降价1元，销售量就增加40袋，当口罩每袋降价多少元时，五月份可获利1920元？
【答案】（1）三、四这两个月销售量的月平均增长率为25%．（2）当口罩每袋降价2元时，五月份可获利1920元．
【解析】
【分析】(1)设三、四这两个月销售量的月平均增长率为，根据题目已知条件列出方程即可求解；
(2)设口罩每袋降价元，则五月份的销售量为袋，根据题目已知条件得出，解方程即可得出结果．
【详解】解：(1)设三、四这两个月销售量的月平均增长率为，
依题意，得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：三、四这两个月销售量的月平均增长率为25%．
(2)设口罩每袋降价元，则五月份的销售量为袋，
依题意，得：，
化简，得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：当口罩每袋降价2元时，五月份可获利1920元．
【点睛】本题主要考查的是一元二次方程的实际应用，根据题目意思正确的列出方程是解题的关键．
23. “创新实践”小组想利用镜子与皮尺测量大树的高度，因大树底部有障碍物，无法直接测量到大树底部的距离．聪明的小颖借鉴《海岛算经》的测量方法设计出如图所示的测量方案：测量者站在点处，将镜子放在点处时，刚好看到大树的顶端，沿大树方向向前走2．8米，到达点处，将镜子放在点处时，刚好看到在树的顶端（点在同一条直线上），若测得米，米，测量者眼睛到地面的距离为1．6米，求大树的高度．
【答案】9.6米
【解析】
【分析】设的长为米，根据相似三角形的性质得到及，再根据得到，进而列出方程，解方程即可得到结论．
【详解】解：设的长为米，则米，
由题意，得，
∴，
∴，
同理，，
∴，
∵，
∴，即，
解得：，
∵，
∴，
解得，
答：大树的高度为9.6米．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，利用相似三角形对应边成比例是解决问题的关键．
五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
24. 如图，把矩形ABCD沿AC折，使点D与点E重合，AE交BC于点F，过点E作EG//CD交AC于点G，交CF于点H，连接DG．
（1）求证：四边形ECDG是菱形．
（2）连接ED交AC于点O，且DG＝6，AG＝，求CG的值．
（3）在（2）的条件下，求EH的值．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【解析】
【分析】（1）根据折叠的性质，邻边相等的平行四边形为菱形证得结论；
（2）如图，连接ED交AC于点O，构造相似三角形△DCO∽△ACD，由该相似三角形的对应边成比例求得DC2=OC•AC，可求GC的长，
(3)通过证明△ADC∽△CHG可得GH的长，即可求EH的值．
详解】（1）由折叠可知DC＝EC，∠DCG＝∠ECG，
∵EG//CD，
∴∠DCG＝∠EGC（两直线平行，内错角相等），
而∠DCG＝∠ECG，
∴可知∠EGC＝∠ECG，
∴EG＝EC，
∴EG=CD，
∴四边形ECDG是平行四边形，
又∵DC＝EC，
∴平行四边形ECDG是菱形．
（2）∵四边形ECDG是菱形，
∴，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝∠DOC＝90°，∠DCO＝∠ACO，
，
设OC＝x，则CG＝2x，AC＝2x＋，
∴有，
解得（不合题意，舍去），
．
（3），
，
，
，
且，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，菱形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键．
25. 如图，在平面直角坐标系中，O为原点，△OAC是直角三角形，点A坐标是（0，2），∠OCA＝30°，以线段OA、OC为邻边作矩形点ABCO，D是线段AC上的一动点（不与A，C重合），连结BD作DE⊥DB，交x轴于点E，以线段DE，DB为邻边作矩形BDEF．
（1）填空：点B的坐标为 ．
（2）是否存在这样的点D，使得△DEC是等腰三角形？若存在，请求出AD的长度；若不存在，请说明理由．
（3）试判断的值是否为定值？若是定值，请求出的值；若不是定值，请说明理由．
【答案】（1）（，2）；（2）存在，AD的值为2或；（3）为定值，．
【解析】
【分析】（1）先求出OA=2,再根据矩形的性质可得OC＝AB、 OC//AB、∠ABC＝90°、 BC ＝OA=2，进一步可得AC=4，然后再运用勾股定理可以求得AB的长，即可确定B的坐标；
（2）先说明∠ACB＝60°，然后分当E在线段CO上和E在OC的延长线上两种情况解答即可；
（3）过点D作MN⊥AB交AB于点M，交OC于点N，再运用待定系数法求得直线AC的解析式，设D坐标为，则，；然后再说明，最后运用相似三角形的性质列方程解答即可.
【详解】解：（1）∵点A坐标是（0，2）
∴OA=2
∵四边形AOCB为矩形，
∴OC＝AB， OC//AB，∠ABC＝90°， BC ＝OA=2，
∵∠OCA＝30°，
∴∠BAC＝30°，
∴Rt△ACB中，AC＝2BC，
∴BC＝OA＝2，则AC＝4，
．
．
（2）存在，理由如下：
∵四边形AOCB为矩形，
∴AB//OC，
∴∠ACO＝∠CAB＝30°，
∴∠ACB＝60°，
①如图（1）中，当E在线段CO上时，△DEC为等腰三角形，观察图象可知，只有ED＝EC，
∴∠DCE＝∠EDC＝30°，
∴∠DBC＝∠BCD＝60°，
∴△DBC为等边三角形．
∴DC＝BC＝2，
在Rt△AOC中，
∵∠ACO＝30°，OA＝2，
∴AD＝AC－CD＝4－2＝2.
②如图（2）中，当E在OC的延长线上时，△DCE为等腰三角形，只有CD＝CE，
∠DBC＝∠DEC＝∠CDE＝15°，
∴∠ABD＝∠ADB＝75°，
AB＝AD＝．
综上，满足条件的AD的值为2或．
（3）为定值．理由如下：
如图（3），过点D作MN⊥AB交AB于点M，交OC于点N，
∵A（0，2）和C（，0）
设直线AC的表达式为y＝kx＋b，代入A、C坐标后得
解得，
∴直线AC的表达式为，
设D坐标为，
，，
∵∠BDE＝90°，
∴∠BDM＋∠NDE＝90°，
∠BDM＋∠DBM＝90°，
∴∠DBM＝∠NDE，
∵∠BMD＝∠DNE＝90°，
∴．
=.
【点睛】本题主要考查相似三角形判定和性质、勾股定理、矩形的性质等知识的综合运用，灵活运用相关知识成为解答本题的关键.
相关试卷
广东省佛山市禅城区佛山市华英学校2023—2024学年九年级上学期期中数学试题： 这是一份广东省佛山市禅城区佛山市华英学校2023—2024学年九年级上学期期中数学试题，共6页。
2022-2023学年广东省佛山市禅城区华英学校八年级（下）期中数学试卷（含解析）： 这是一份2022-2023学年广东省佛山市禅城区华英学校八年级（下）期中数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年广东省佛山市禅城区华英学校八年级（下）期中数学试卷（含解析）： 这是一份2022-2023学年广东省佛山市禅城区华英学校八年级（下）期中数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
