初中数学湘教版八年级上册第2章 三角形2.4 线段的垂直平分线优秀课时作业

2021-2022学年湘教版八年级数学上册《2.4线段的垂直平分线》优生辅导训练（附答案）

1．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，E是BC的中点，过点E作BC的垂线交BD于点F，连接CF，若∠DFC＝60°，∠ACF＝40°，则∠A的度数为（　　）

A．45° B．50° C．55° D．60°

2．如图，△ABC中，∠C＝90°，ED垂直平分AB，若AC＝12，EC＝5，且△ACE的周长为30，则BE的长为（　　）

A．5 B．10 C．12 D．13

3．如图△ABC中，AC＝12，DE为AB的垂直平分线，△BCE的周长为20，则BC的长为（　　）

A．6 B．8 C．10 D．12

4．已知：如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交BC、AB于点G、D，若△AGC的周长为31cm，AB＝20cm，则△ABC的周长为（　　）

A．31cm B．41cm C．51cm D．61cm

5．如图，线段AB，DE的垂直平分线交于点C，且∠ABC＝∠EDC＝72°，∠AEB＝92°，则∠EBD的度数为（　　）

A．168° B．158° C．128° D．118°

6．如图所示，在△ABC中，内角∠BAC与外角∠CBE的平分线相交于点P，BE＝BC，PB与CE交于点H，PG∥AD交BC于F，交AB于G，连接CP．下列结论：①∠ACB＝2∠APB；②S△PAC：S△PAB＝AC：AB；③BP垂直平分CE；④∠PCF＝∠CPF．其中，正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

7．如图，△ABC中，EF是AB的垂直平分线，与AB交于点D，BF＝10，CF＝2，则AC＝　   　．

8．如图，在△ABC中，∠B＝55°，∠C＝28°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为　    　．

9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分线交BC于D，DE是AB的垂直平分线，垂足为E，若BC＝3，则DE的长为　 　．

10．如图在△ABC中MP，NQ分别垂直平分AB、AC，若BC的长度为9，则△APQ的周长是　 　．

11．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线且分别交BC，AC于点D和E，∠B＝60°，∠C＝25°，则∠BAD的度数为　    　．

12．如图，在△ABC中，已知点O是边AB、AC垂直平分线的交点，点E是∠ABC、∠ACB角平分线的交点，若∠O+∠E＝180°，则∠A＝　   　度．

13．如图，DE是AB的垂直平分线．

（1）已知AC＝5cm，△ADC的周长为17cm，则BC的长　     　

（2）若AD平分∠BAC，AD＝AC，则∠C＝　     　

14．如图，△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，∠BAC＝128°，∠EAG＝　   　°．

15．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的中垂线交AB于点D，交BC的延长线于点E，交AC于点F，若∠A＝50°，AB+BC＝6，则△BCF的周长＝　 　，∠EFC＝　 　度．

16．在△ABC中，DE垂直平分线段AB，交AB于E，交AC于D，已知AC＝16，△BCD的周长为25，则BC＝　 　．

17．如图，△ABC中，AD⊥BC，点E在AC的垂直平分线上，且BD＝DE．

（1）如果∠BAE＝40°，那么∠B＝　   　°，∠C＝　   　°；

（2）如果△ABC的周长为13cm，AC＝6cm，那么△ABE的周长＝　   　cm；

（3）你发现线段AB与BD的和等于图中哪条线段的长，并证明你的结论．

18．如图，在△ABC中，DE，FG分别是AB，AC的垂直平分线，连接AE，AF，已知∠BAC＝80°，请运用所学知识，确定∠EAF的度数．

19．如图，△ABC中，∠BAC＝110°，E、G分别为AB、AC中点，DE⊥AB，FG⊥AC，

求∠DAF．

20．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，M，N，P，Q分别是AD，BC，BD，AC的中点．

求证：MN与PQ互相垂直平分．

参考答案

1．解：∵E是BC的中点，过点E作BC的垂线交BD于点F，

∴FE垂直平分BC，

∴BF＝CF，

∴∠FBC＝∠FCB，

∵∠CFD＝∠FBC+∠FCB＝60°，

∴∠FBC＝∠FCB＝30°，

∵∠ACF＝40°，

∴∠ACB＝∠ACF+∠BCF＝70°，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABC＝2∠FBC＝60°，

∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝50°，

故选：B．

2．解：∵ED垂直平分AB，

∴BE＝AE，

∵AC＝12，EC＝5，且△ACE的周长为30，

∴12+5+AE＝30，

∴AE＝13，

∴BE＝AE＝13，

故选：D．

3．解：∵DE为AB的垂直平分线，

∴AE＝BE，

∵△BCE的周长为20，

∴BC+BE+CE＝BC+AE+CE＝BC+AC＝20cm，

∵AC＝12，

∴BC＝8．

故选：B．

4．解：∵DG是AB的垂直平分线，

∴GA＝GB，

∵△AGC的周长为31cm，

∴AG+GC+AC＝BC+AC＝31cm，又AB＝20cm，

∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝51cm，

故选：C．

5．解：如图，连接CE，

∵线段AB，DE的垂直平分线交于点C，

∴CA＝CB，CE＝CD，

∵∠ABC＝∠EDC＝72°＝∠DEC，

∴∠ACB＝∠ECD＝36°，

∴∠ACE＝∠BCD，

在△ACE和△BCD中，

，

∴△ACE≌△BCD（SAS），

∴∠AEC＝∠BDC，

设∠AEC＝∠BDC＝α，则∠BDE＝72°﹣α，∠CEB＝92°﹣α，

∴∠BED＝∠DEC﹣∠CEB＝72°﹣（92°﹣α）＝α﹣20°，

∴△BDE中，∠EBD＝180°﹣（72°﹣α）﹣（α﹣20°）＝128°，

故选：C．

6．解：∵PA平分∠CAB，PB平分∠CBE，

∴∠PAB＝∠CAB，∠PBE＝∠CBE，

∵∠CBE＝∠CAB+∠ACB，

∠PBE＝∠PAB+∠APB，

∴∠ACB＝2∠APB；故①正确；

过P作PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，PS⊥BC于S，

∴PM＝PN＝PS，

∴PC平分∠BCD，

∵S△PAC：S△PAB＝（AC•PN）：（AB•PM）＝AC：AB；故②正确；

∵BE＝BC，BP平分∠CBE

∴BP垂直平分CE（三线合一），故③正确；

∵PG∥AD，

∴∠FPC＝∠DCP

∵PC平分∠DCB，

∴∠DCP＝∠PCF，

∴∠PCF＝∠CPF，故④正确．

故选：D．

7．解：∵EF是AB的垂直平分线，

∴FA＝BF＝10，

∴AC＝AF+FC＝12．

故答案为：12．

8．解：∵△ABC中，∠B＝55°，∠C＝28°，

∴∠BAC＝180°﹣55°﹣28°＝97°．

∵直线MN是线段AC的垂直平分线，

∴∠C＝∠CAD＝28°，

∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝97°﹣28°＝69°．

故答案为：69°．

9．解：∵DE是AB的垂直平分线，

∴DA＝DB，

∴∠B＝∠DAB，

∵AD是∠CAB的平分线，

∴∠DAC＝∠DAB，

∴∠B＝30°，

∴DE＝BD，

∵AD是∠CAB的平分线，∠C＝90°，DE⊥AB，

∴DE＝DC，

∴DC＝BD，

∴DC＝1，即DE＝1，

故答案为：1．

10．解：∵在△ABC中，MP，NO分别垂直平分AB、AC，

∴AP＝BP，AQ＝CQ，

∵BC＝9，

∴△APQ的周长是AP+PQ+AQ＝BP+PQ+CQ＝BC＝9，

故答案为：9．

11．解：∵DE是AC的垂直平分线且分别交BC，AC于点D和E，

∴AD＝CD，

∴∠C＝∠DAC，

∵∠C＝25°，

∴∠DAC＝25°，

∵在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝25°，

∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝95°，

∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝95°﹣25°＝70°，

故答案为：70°．

12．解：如图，连接OA．

∵点O是AB，AC的垂直平分线的交点，

∴OA＝OB＝OC，

∴∠OAB＝∠OBA，∠OAC＝∠OCA，

∵∠BOC＝∠ABO+∠OCA+∠BAC＝2∠OAB+2∠OAC＝2∠BAC，

∵点E是∠ABC、∠ACB角平分线的交点，

∴∠E＝90°+∠BAC，

∵∠BOC+∠E＝180°，

∴2∠BAC+90°+∠BAC＝180°，

∴∠BAC＝36°，

故答案为36．

13．解：（1）∵DE垂直平分线线段AB，

∴DA＝DB，

∵AD+CD+AC＝17，AC＝5，

∴BD+CD+AC＝17，

∴BC+AC＝17，

∴BC＝17﹣5＝12cm，

故答案为12cm．

（2）设∠DAB＝∠DAC＝x，

∵DA＝DB，

∴∠DBA＝∠DAB＝x，

∴∠ADC＝∠B+∠DAB＝2x，

∵AD＝AC，

∴∠C＝∠ADC＝2x，

∴5x＝180°，

∴x＝36°，

∴∠C＝72°，

故答案为72°．

14．解：∵∠BAC＝128°，

∴∠A+∠B＝180°﹣128°＝52°，

∵DE是AB的垂直平分线，

∴EA＝EB，

∴∠EAB＝∠B，

同理∠GAC＝∠C，

∴∠EAB+∠GAC＝∠A+∠B＝52°，

∴∠EAG＝128°﹣52°＝76°，

故答案为：76．

15．解：如图：已知DF垂直且平分AB⇒AF＝BF，AD＝BD，∠A＝∠ABF＝50°，∠ADF＝90°

∠EFC＝180°﹣∠A﹣∠ADF＝40°（对角相等）

因为AB+BC＝6，AB＝AC＝BF+FC

故周长△BCF＝FC+BF+BC＝6．

故填6；40°．

16．解：∵DE垂直平分线段AB，

∴AD＝BD，

∵△BCD的周长为25，

∴BD+CD+BC＝AD+CD+BC＝AC+BC＝25，

∵AC＝16，

∴BC＝9．

故答案为：9．

17．（1）解：∵点E在AC的垂直平分线上，

∴AE＝EC．

∵BD＝DE，AD⊥BC，

∴AB＝AE．

∴∠ABE＝∠AEB＝2∠C＝（180°﹣40°）÷2＝140°÷2＝70°，∠C＝35°．

故答案为：70，35；

（2）解：∵△ABC的周长为13cm，AC＝6cm，

∴AB+BC＝13﹣6＝7，

∴△ABE的周长＝AB+BC＝7cm．

故答案为：7；

（3）AB+BD＝DC．

证明：∵AD⊥BC，BD＝DE，

∴AB＝AE，BD＝DE，

∵点E在AC的垂直平分线上，

∴AE＝CE，

∴AB+BD＝AE+DE＝DC．

18．解：在△ABC中，∠BAC＝80°，

∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝100°，

∵DE是AB的垂直平分线，

∴EB＝EA，

∴∠BAE＝∠B，

同理可得∠CAF＝∠C，

∴∠EAF＝∠BAE+∠CAF﹣∠BAC＝∠B+∠C﹣∠BAC＝20°．

19．解：∵∠BAC＝110°，

∴∠B+∠C＝180°﹣110°＝70°，

∵E、G分别为AB、AC中点，DE⊥AB，FG⊥AC，

∴AD＝BD，AF＝CF，

∴∠BAD＝∠B，∠CAF＝∠C，

∴∠DAF＝∠BAC﹣（∠BAD+∠CAF）＝∠BAC﹣（∠B+∠C）＝110°﹣70°＝40°．

20．证明：连接MP，PN，NQ，QM，

∵AM＝MD，BP＝PD，

∴PM＝AB，

∴PM是△ABD的中位线，

∴PM∥AB；

同理NQ＝AB，NQ∥AB，MQ＝DC，

∴PM＝NQ，且PM∥NQ．

∴四边形MPNQ是平行四边形．

又∵AB＝DC，∴PM＝MQ，

∴平行四边形MPNQ是菱形．

∴MN与PQ互相垂直平分．