华师大版八年级下册19.3 正方形优秀课时作业

这是一份华师大版八年级下册19.3 正方形优秀课时作业，共32页。试卷主要包含了0分），5°，【答案】B，【答案】D，【答案】A等内容，欢迎下载使用。


19.3正方形同步练习华师大版初中数学八年级下册
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
1. 如图，在边长为8的正方形ABCD中，E、F分别是边AB、BC上的动点，且EF=6，M为EF中点，P是边AD上的一个动点，则CP+PM的最小值是(    )
A. 10
B. 85−3
C. 65+3
D. 33+5
2. 如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠ABE为(    )
A. 10°
B. 15°
C. 20°
D. 25°
3. 如图，在正方形ABCD中，AB=3，点E，F分别在边AB，CD上，∠EFD=60°.若将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上，则BE的长度为(    )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 2
4. 如图，正方形ABCD中，点E、F分别在边CD，AD上，BE与CF交于点G.若BC=4，DE=AF=1，则GF的长为(    )
A. 135
B. 125
C. 195
D. 165
5. 如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△CDE，连接AE、BD，线段AE与DD相交于点O，则∠DOE的大小为(    )
A. 55°
B. 60°
C. 67.5°
D. 75°
6. 如图是边长为10cm的正方形纸片，过两个顶点剪掉一个三角形，以下四种剪法中，裁剪线长度所标的数据(单位：cm)不正确的是(    )
A.
B.
C.
D.
7. 如图，小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD中任选两个作为补充条件，使▱ABCD为正方形．现有下列四种选法，你认为其中错误的是(    )
A. ②③ B. ①③ C. ①② D. ③④
8. 如图，在正方形ABCD的外侧作等边三角形ADE，则∠BEC为(    )
A. 10°
B. 15°
C. 20°
D. 30°
9. 如图，正方形ABCD的边长为6，点E、F分别在AB，AD上，若CE=35，且∠ECF=45°，则CF的长为(      )
A. 210
B. 35
C. 5310
D. 1035
10. 如图，正方形ABCD的对角线BD长为22，若直线l满足： ①点D到直线l的距离为3; ②A，C两点到直线l的距离相等，则符合题意的直线l的条数为(    )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
11. 将一个边长为4的正方形ABCD分割成如图所示的9部分，其中△ABE，△BCF，△CDG，△DAH全等，△AEH，△BEF，△CFG，△DGH也全等，中间小正方形EFGH的面积与△ABE面积相等，且△ABE是以AB为底的等腰三角形，则△AEH的面积为(    )
A. 2
B. 169
C. 32
D. 2
12. 如图，在正方形ABCD中，点E，F将对角线AC三等分，且AC=12，点P在正方形的边上，则满足PE+PF=9的点P的个数是(    )
A. 0
B. 4
C. 6
D. 8
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
13. 如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A与D在函数y=kx(x>0)的图象上，AC⊥x轴，垂足为C，点B的坐标为(0,2)，则k的值为______．




14. 如图，正方形ABCD和Rt△AEF，AB=5，AE=AF=4，连接BF，DE.若△AEF绕点A旋转，当∠ABF最大时，S△ADE=______．
15. 如图，在边长为6的正方形ABCD内作∠EAF=45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG.若DF=3，则BE的长为______．


16. 如图，以正方形ABCD的一边CD为边向形外作等边三角形CDE，则∠AEB=________

17. 如图，正方形ABCD的边长为1，点P为边BC上任意一点(可与B点或C点重合)，分别过B，C，D作射线AP的垂线，垂足分别是B′，C′，D′，则BB′+CC′+DD′的最大值为          ，最小值为          . 

三、解答题（本大题共6小题，共48.0分）
18. 如图，四边形ABCD为正方形，E为AD上一点，连接BE，∠AEB=60°，M为BE的中点，过点M的直线交AB、CD于P、Q．

(1)如图1，当PQ⊥BE时，求证：BP=2AP；
(2)如图2，若∠APQ为锐角，且PQ=BE，延长BE、CD交于点N，请你猜想QM与QN的数量关系，并说明理由；







19. 如图，有两个边长为a的正方形ABCD与EFGH，正方形EFGH的顶点E为正方形ABCD两条对角线的交点．

(1)试判断AF与BH的大小关系，当正方形EFGH绕点E旋转变化时，这种关系是否保持不变?
(2)如果正方形EFGH的边长为b(b>a)，(1)中的结论是否仍然成立?请作出判断并给予证明．







20. 在边长为5的正方形ABCD中，点E在边CD所在直线上，连接BE，以BE为边，在BE的下方作正方形BEFG，并连接AG．
(1)如图1，当点E与点D重合时，BG=______；AG=______；
(2)如图2，当点E在线段CD上时，DE=2，求AG的长；
(3)若AG=5172，请直接写出此时DE的长______．








21. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D，E分别为AB，AC的中点，延长DE到F，使得EF=DE，连接AF，CF．

   (1)求证：四边形ADCF是菱形；
   (2)请给△ABC添加一个条件，使得四边形ADCF是正方形，则添加的条件为___________________.   







22. (1)【发现证明】
如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是BC，CD边上的动点，且∠EAF=45°，求证：EF=DF+BE．
小明发现，当把△ABE绕点A顺时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合时能够证明，请你给出证明过程．
(2)【类比引申】①如图2，在正方形ABCD中，如果点E，F分别是CB，DC延长线上的动点，且∠EAF=45°，则(1)中的结论还成立吗？请写出证明过程．
②如图3，如果点E，F分别是BC，CD延长线上的动点，且∠EAF=45°，则EF，BE，DF之间的数量关系是______(不要求证明)
(3)【联想拓展】如图1，若正方形ABCD的边长为6，AE=35，求AF的长．








23. △ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点(点D不与B，C重合)，以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF，
(1)观察猜想
如图1，当点D在线段BC上时，
①BC与CF的位置关系为：_____．
②BC，CD，CF之间的数量关系为：_____；(将结论直接写在横线上)
(2)数学思考
如图2，当点D在线段CB的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．
(3)拓展延伸
如图3，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GE，若已知AB=22，CD=14BC，请求出GE的长．








答案和解析
1.【答案】B

【解析】解：延长CD到C′，使C′D=CD，
CP+PM=C′P+PM，
当C′，P，M三点共线时，C′P+PM的值最小，
根据题意，点M的轨迹是以B为圆心，3为半径的圆弧上，
圆外一点C′到圆上一点M距离的最小值C′M=C′B−3，
∵BC=CD=8，
∴CC′=16，
∴C′B=CC′2+BC2 =162+82=85．
∴CP+PM的最小值是85−3．
故选：B．
延长CD到C′，使C′D=CD，CP+PM=C′P+PM，当C′，P，N三点共线时，C′P+PM的值最小，根据题意，点M的轨迹是以B为圆心，3为半径的圆弧上，圆外一点C′到圆上一点M距离的最小值C′M=C′B−3，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了轴对称−最短路线问题，正方形的性质，勾股定理，正确的找到P点的位置是解题的关键．

2.【答案】B

【解析】解：∵四边形ABCD为正方形，△ADE为等边三角形，
∴AB=BC=CD=AD=AE=DE，∠BAD=90°，∠DAE=60°，
∴∠BAE=∠BAD+∠DAE=150°，
又∵AB=AE，
∴∠ABE=12(180°−150°)=15°．
故选：B．
由四边形ABCD为正方形，三角形ADE为等比三角形，可得出正方形的四条边相等，三角形的三边相等，进而得到AB=AE，且得到∠BAD为直角，∠DAE为60°，由∠BAD+∠DAE求出∠BAE的度数，进而利用等腰三角形的性质及三角形的内角和定理即可求出∠ABE的度数．
此题考查了正方形的性质以及等边三角形的性质，熟练掌握正方形以及等边三角形的性质是解本题的关键．等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．

3.【答案】D

【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB//CD，∠A=90°，
∴∠EFD=∠BEF=60°，
∵将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上，
∴∠BEF=∠FEB′=60°，BE=B′E，
∴∠AEB′=180°−∠BEF−∠FEB′=60°，
∴B′E=2AE，
设BE=x，则B′E=x，AE=3−x，
∴2(3−x)=x，
解得x=2．
故选：D．
由正方形的性质得出∠EFD=∠BEF=60°，由折叠的性质得出∠BEF=∠FEB′=60°，BE=B′E，设BE=x，则B′E=x，AE=3−x，由直角三角形的性质可得：2(3−x)=x，解方程求出x即可得出答案．
本题考查了正方形的性质，折叠的性质，含30°角的直角三角形的性质等知识点，能综合性运用性质进行推理是解此题的关键．

4.【答案】A

【解析】
【分析】
本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质及勾股定理等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
先由正方形的性质及BC=4，得出∠CDF=∠BCE=90°，AD=DC=BC，再结合DE=AF=1，得出CE=DF=3，从而可判定△CDF≌△BCE(SAS)，然后证得∠BGC=90°，由面积法及勾股定理求得BE、CG的长，最后用CF的长的长减去CG的长即可得出答案．
【解答】
解：∵四边形ABCD为正方形，BC=4，
∴∠CDF=∠BCE=90°，AD=DC=BC=4，
又∵DE=AF=1，
∴CE=DF=3，
在△BCE和△CDF中，
BC=CD∠BCE=∠CDFCE=DF，
∴△BCE≌△CDF(SAS)，
∴∠CBE=∠DCF，
∵∠DCF+∠BCF=90°，
∴∠CBE+∠BCF=90°，
∴∠BGC=90°，
∵在Rt△BCE中，BC=4，CE=3，
∴BE=5，
∴BE⋅CG=BC⋅CE，
∴CG=BC⋅CEBE=4×35=125，
∵△CDF≌△BCE(SAS)，
∴CF=BE=5，
∴GF=CF−CG=5−125=135，
故选A．  
5.【答案】B

【解析】解：∵正方形ABCD，
∴AD=DC，∠ADO=45°，∠ADC=90°
∵等边三角形DCE，
∴DC=DE，∠CDE=60°
∴AD=DE，
∴∠ADE=90°+60°=150°，
∴∠DAE=∠DEA=15°，
∴∠DOE=∠DAE+∠ADO=15°+45°=60°，
故选：B．
根据正方形的性质和等边三角形的性质得出△ADE是等腰三角形，进而得出∠DAE的度数，利用三角形的外角解答即可．
此题考查正方形的性质，关键是根据正方形的性质和等边三角形的性质得出△ADE是等腰三角形，进而得出∠DAE的度数．

6.【答案】D

【解析】解：选项D不正确．理由：
∵正方形的边长为10，
∴对角线=102≈14，
∵16>14，
∴这个图形不可能存在．
故选：D．
利用勾股定理求出正方形的对角线为102≈14，由此即可判定D不正确．
本题考查正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是利用勾股定理求出正方形的对角线的长．

7.【答案】A

【解析】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当②∠ABC=90°时，平行四边形ABCD是矩形，
当AC=BD时，这是矩形的性质，无法得出四边形ABCD是正方形，故此选项错误，符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
当①AB=BC时，平行四边形ABCD是菱形，
当③AC=BD时，菱形ABCD是正方形，故此选项正确，不合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
当①AB=BC时，平行四边形ABCD是菱形，
当②∠ABC=90°时，菱形ABCD是正方形，故此选项正确，不合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当③AC=BD时，平行四边形ABCD是矩形，
当④AC⊥BD时，矩形ABCD是正方形，故此选项正确，不合题意．
故选：A．
利用矩形、菱形、正方形之间的关系与区别，结合正方形的判定方法分别判断得出即可．
此题主要考查了正方形的判定以及矩形、菱形的判定方法，正确掌握正方形的判定方法是解题关键．

8.【答案】D

【解析】
【分析】
本题主要考查等边三角形的性质以及正方形的性质．
分别求出∠AEB和∠DEC，即可求解．
【解答】
解：
在正方形ABCD中，AB=AD=CD，∠BAD=∠CDA=90°，
在等边三角形ADE中，AD=AE=DE，∠ADE=∠AED=∠DAE=60°，
∴AB=AE，CD=DE，∠BAE=∠CDE=90°+60°=150°，
∴∠AEB=∠DEC=15°，
∴∠BEC=60°−15°−15°=30°，
故选D．  
9.【答案】A

【解析】
【分析】
本题考查的是全等三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理有关知识，首先延长FD到G，使DG=BE，利用正方形的性质得∠B=∠CDF=∠CDG=90°，CB=CD；利用SAS定理得△BCE≌△DCG，易得∠GCF=45∘，利用全等三角形的判定易得△GCF≌△ECF，利用勾股定理可得BE=3，进而AE=3，设AF=x，利用GF=EF，解得x，利用勾股定理可得CF．
【解答】
解：如图，延长FD到G，使DG=BE，连接CG、EF

∵四边形ABCD为正方形，
 ∴CB=CD，∠CDG=∠CBE=90°，
在△BCE与△DCG中，

∴△BCE≌△DCG(SAS)，
∴CG=CE，GD=BE，∠DCG=∠BCE，
∵∠ECF=45°，
∴∠DCF+∠BCE=45°，
∴∠DCF+∠DCG=45°，
∴∠GCF=45∘，
在△GCF与△ECF中，
GC=EC∠GCF=∠ECFCF=CF
∴△GCF≌△ECF(SAS)，
∴GF=EF，
∵CE=35，CB=6，
∴BE=CE2−BC2=3
∴AE=3，
设AF=x，则DF=6−x，GF=3+(6−x)=9−x，
∴EF=AE2+x2=9+x2，
∴(9−x)2=9+x2，
∴x=4，即AF=4，
∴DF=2，
∴CF=CD2+DF2=62+22=210，
故选：A．  
10.【答案】B

【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，主要利用了正方形的对角线互相垂直平分，点D到O的距离小于3是本题的关键．
连接AC与BD相交于O，根据正方形的性质求出OD=2，然后根据点到直线的距离和平行线间的距离相等解答．
【解答】
解：连接AC交BD于O点，则OD=OB=2．
在直线BD上找一点E，使得DE=3，
过点E作AC的平行线即可，可知满足条件的直线有两条，
故选B．
  
11.【答案】C

【解析】解：连接EG，向两端延长分别交AB、CD于点M、N，如图，
∵△ABE，△BCF，△CDG，△DAH全等，△ABE是以AB为底的等腰三角形，
∴AE=BE=CG=DG，
∴EG是AB、CD的垂直平分线，
∴MN⊥AB，
∴EM=GN(全等三角形的对应高相等)，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=∠ADC=90°，
∴四边形AMND是矩形，
∴MN=AD=4，
设ME=x，则EG=4−2x，
∵中间小正方形EFGH的面积与△ABE面积相等，
∴12(4−2x)2=12×4x，
解得，x=1或x=4(舍)，
∵△ABE，△BCF，△CDG，△DAH全等，△AEH，△BEF，△CFG，△DGH也全等，
∴△AEH的面积=S正方形ABCD−5S△ABE4=42−5×12×4×14=32，

故选：C．
连接EG，向两端延长分别交AB、CD于点M、N，证明MN是AB与CD的垂直平分线，由中间小正方形EFGH的面积与△ABE面积相等，得出ME与EG的关系，进而由正方形ABCD的边长，求得ME，最后结合图形求得结果．
本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质，关键是求出等腰△ABE底边上的高．

12.【答案】D

【解析】
【分析】
本题考查了正方形的性质，最短路径问题，在BC上找到点H，使点H到点E和点F的距离之和最小是本题的关键．
作点F关于BC的对称点M，连接FM交BC于点N，连接EM，交BC于点H，可得点H到点E和点F的距离之和最小，可求最小值，即可求解．
【解答】
解：如图，作点F关于BC的对称点M，连接FM交BC于点N，连接EM，交BC于点H，

∵点E，F将对角线AC三等分，且AC=12，
∴EC=8，FC=4=AE，
∵点M与点F关于BC对称，
∴CF=CM=4，∠ACB=∠BCM=45°，
∴∠ACM=90°，
∴EM=EC2+CM2=45，
则在线段BC存在点H到点E和点F的距离之和最小为45<9，
在点H右侧，当点P与点C重合时，
则PE+PF=12，
∴点P在CH上时，
45 在点H左侧，当点P与点B重合时，
BF=FN2+BN2=210，
∵AB=BC，CF=AE，∠BAE=∠BCF，
∴△ABE≌△CBF(SAS)，
∴BE=BF=210，
∴PE+PF=410，
∴点P在BH上时，45 ∴在线段BC上点H的左右两边各有一个点P使PE+PF=9，
同理在线段AB，AD，CD上都存在两个点使PE+PF=9．
即共有8个点P满足PE+PF=9，
故选：D．  
13.【答案】8

【解析】解：连接BD，与AC交于点O，
∵四边形ABCD是正方形，AC⊥x轴，
∴BD所在对角线平行于x轴，
∵B(0,2)，
∴OC=2=BO=AO=DO，
∴点A的坐标为(2,4)，
∴k=2×4=8，
故答案为：8．

连接BD，与AC交于点O，利用正方形的性质得到OA=OB=OC=OD=2，从而得到点A坐标，代入反比例函数表达式即可．
本题考查了正方形的性质，反比例函数表达式的求法，解题的关键是利用正方形的性质求出点A的坐标．

14.【答案】6

【解析】解：作DH⊥AE于H，如图，
∵AF=4，当△AEF绕点A旋转时，点F在以A为圆心，4为半径的圆上，
∴当BF为此圆的切线时，∠ABF最大，即BF⊥AF，
在Rt△ABF中，BF=52−42=3，
∵∠EAF=90°，
∴∠BAF+∠BAH=90°，
∵∠DAH+∠BAH=90°，
∴∠DAH=∠BAF，
在△ADH和△ABF中
∠AHD=∠AFB∠DAH=∠BAFAD=AB，
∴△ADH≌△ABF(AAS)，
∴DH=BF=3，
∴S△ADE=12AE⋅DH=12×3×4=6．
故答案为6．
作DH⊥AE于H，如图，由于AF=4，则△AEF绕点A旋转时，点F在以A为圆心，4为半径的圆上，当BF为此圆的切线时，∠ABF最大，即BF⊥AF，利用勾股定理计算出BF=3，接着证明△ADH≌△ABF得到DH=BF=3，然后根据三角形面积公式求解．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质．

15.【答案】2

【解析】
【分析】
本题考查旋转的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
根据旋转的性质可知，△ADF≌△ABG，然后即可得到DF=BG，∠DAF=∠BAG，然后根据题目中的条件，可以得到△EAG≌△EAF，再根据DF=3，AB=6和勾股定理，可以得到DE的长，本题得以解决．
【解答】
解：由题意可得，
△ADF≌△ABG，
∴DF=BG，∠DAF=∠BAG，
∵∠DAB=90°，∠EAF=45°，
∴∠DAF+∠EAB=45°，
∴∠BAG+∠EAB=45°，
∴∠EAF=∠EAG，
在△EAG和△EAF中，
AG=AF∠EAG=∠EAFAE=AE，
∴△EAG≌△EAF(SAS)，
∴GE=FE，
设BE=x，则GE=BG+BE=3+x，CE=6−x，
∴EF=3+x，
∵CD=6，DF=3，
∴CF=3，
∵∠C=90°，
∴(6−x)2+32=(3+x)2，
解得，x=2，
即CE=2，
故答案为：2．  
16.【答案】30°

【解析】
【分析】
本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质和等边三角形的性质．
利用正方形的性质得∠ADC=∠BCD=90°，再利用等腰三角形的性质得∠AED=∠BEC=15°，最后利用等边三角形的性质计算得结论．
【解答】
解：  如图：

因为ABCD是正方形，
所以∠ADC=∠BCD=90°．
又因为ΔCDE是以CD为边向形外作的等边三角形，
所以∠CDE=∠DCE=∠DEC=60°．
又因为ΔAED和ΔBCE分别是以AE，BE为底的等腰三角形，
所以∠AED=∠BEC=15°，
因此∠AEB=30°．
故答案为30°．
  
17.【答案】2
2


【解析】略

18.【答案】证明：(1)连接PE
          ∵正方形ABCD
          ∴∠A=90°  
          ∵∠AEB=60°
∴∠ABE=30° 
          ∵M为BE中点，PQ⊥BE
∴BP=PE，∠PEB=∠ABE=30° 
∴∠AEP=30°
∴PE=2AP  ．
∴BP=2AP 
(2)QN=QM理由如下： 
过点B作BF // PQ交CD于F
∵正方形ABCD中，AB // CD
∴四边形PBFQ是平行四边形且∠N=∠ABE=30°
∴BF=PQ  
又∵PQ=BE
∴BE=BF
∵正方形ABCD中，AB=BC
∴RtΔABE≌Rt ΔCBF(HL)
∴∠ABE=∠CBF=30°，从而∠NBF=30°
∴∠NMQ=∠NBF=30°    
∴∠NMQ=∠N，∴QN=QM

【解析】本题考查了正方形的性质定理、含30度角的直角三角形、全等三角形的性质定理与判定定理、平行四边形判定与性质，解决本题的关键是作出辅助线，证明三角形全等．

(1)连接PE，先证明PQ垂直平分BE.得到PB=PE，再证明∠AEP=30°，利用在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半，即可解答；
(2)过点B作BF // PQ交CD于F，先证明四边形PBFQ是平行四边形，再证明△ABE≌△CBF，通过角度的等量代换，得到∠NMQ=∠N，利用等角对等边，即可得出结论．

19.【答案】解：(1)AF=BH．
当正方形EFGH绕点E旋转变化时，这种关系保持不变．
(2)结论仍然成立．
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AE=BE，∠AEB=∠AEH+∠BEH=90∘．
∵四边形EFGH是正方形，
∴EF=EH，∠FEH=∠AEH+∠AEF= 90∘．
∴∠BEH=∠AEF．
在△AEF和△BEH中，

．
∴AF=BH．


【解析】见答案．

20.【答案】52  55 52或152

【解析】BG、解：(1)如图1，连接CG，

∵四边形ABCD和四边形EBGF是正方形，
∴∠CDB=∠CBD=45°，∠DBG=90°，BD=BG，
∴∠CBG=45°，
∴∠CBG=∠CBD，
∵BC=BC，
∴△CBD≌△CBG(SAS)，
∴∠DCB=∠BCG=90°，DC=CG=5，
∴G，C，D三点共线，BG=BC2+CG2=52，
∴AG=AD2+DG2=52+102=55；
故答案为：52；55；
(2)如图2，过点G作GK⊥AB，交AB的延长线于K，

∵DE=2，DC=5，
∴CE=3，
∵∠EBG=∠EBC+∠CBG=90°，∠CBG+∠GBK=90°，
∴∠EBC=∠GBK，
∵BE=BG，∠K=∠BCE=90°，
∴△BCE≌△BKG(AAS)，
∴CE=KG=3，BC=BK=5，
∴AK=10，
由勾股定理得：AG=102+32=109；
(3)分三种情况：
①当点E在CD的延长线上时，如图3，同理知△BCE≌△BKG(AAS)，
∴BC=BK=5，
∵AG=5172，
由勾股定理得：KG=(5172)2−102=52，
∴CE=KG=52，此种情况不成立；

②当点E在边CD上时，如图4，

同理得：DE=52；
③当点E在DC的延长线上时，如图5，

同理得CE=GK=52，
∴DE=5+52=152
综上，DE的长是52或152．
故答案为52或152．
(1)如图1，连接CG，证明△CBD≌△CBG(SAS)，可得G，C，D三点共线，利用勾股定理可得BG、AG的长；
(2)如图2，作辅助线，构建全等三角形，证明△BCE≌△BKG，可得AK和KG的长，利用勾股定理计算AG的长；
(3)分三种情况：①当点E在边CD的延长线上时，如图3，同(2)知△BCE≌△BKG(AAS)，BC=BK=5，根据勾股定理可得KG的长，即可CE的长，此种情况不成立；
②当点E在边CD上；③当点E在DC的延长线上时，同理可得结论．
本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键．

21.【答案】(1)证明：∵E为线段AC的中点，
∴AE=EC．
∵EF=DE
∴四边形ADCF是平行四边形．
又∵D为线段AB的中点，
∴DE//BC，
∵∠AED=∠ACB=90°，
∴AC⊥FD．
∴平行四边形ADCF是菱形．
(2)CA=CB或∠B=45°(答案不唯一)．

【解析】
【分析】
本题主要考查的是菱形的判定，正方形的判定，平行四边形的判定，平行线的性质的有关知识．
(1)利用菱形和平行四边形的判定得出即可；
(2)根据当菱形内角是90°则是正方形，进而得出答案．
【解答】
解：(1)见答案；
(2)可以添加CA=CB．
∵CA=CB，AD=DB，
∴CD⊥AB，
∴∠CDA=90°，
∵四边形ADCF是菱形，
∴四边形ADCF是正方形．
可以添加∠B=45°，
∵∠ACB=90°，
∴∠CAB=90°−45°=45°，
∵四边形ADCF是菱形，
∴∠FAC=∠CAB=45°，
∴∠FAD=∠FAC+∠CAB=45°+45°=90°，
∵四边形ADCF是菱形，
∴四边形ADCF是正方形．
故答案为：CA=CB或∠B=45°．  
22.【答案】(1)【发现证明】
证明：把△ABE绕点A顺时针旋转90°至△ADG，如图1，

∴∠BAE=∠DAG，AE=AG，
∵∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠FAD=45°，
∴∠DAG+∠FAD=45°，
∴∠EAF=∠FAG，
∵AF=AF，
∴△EAF≌△GAF(SAS)，
∴EF=FG=DF+DG，
∴EF=DF+BE；
(2)【类比引申】
①不成立，结论：EF=DF−BE；
证明：如图2，将△ABE绕点A顺时针旋转90°至△ADM，

∴∠EAB=∠MAD，AE=AM，∠EAM=90°，BE=DM，
∴∠FAM=45°=∠EAF，
∵AF=AF，
∴△EAF≌△MAF(SAS)，
∴EF=FM=DF−DM=DF−BE；
②BE=EF+DF；
(3)【联想拓展】
解：由(1)可知AE=AG=35，

∵正方形ABCD的边长为6，
∴DC=BC=AD=6，
∴DG=AG2−AD2=(35)2−62=3．
∴BE=DG=3，
∴CE=BC−BE=6−3=3，
设DF=x，则EF=DG=x+3，CF=6−x，
在Rt△EFC中，∵CF2+CE2=EF2，
∴(6−x)2+32=(x+3)2，
解得：x=2．
∴DF=2，
∴AF=AD2+DF2=62+22=210．

【解析】
【分析】
本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应边相等进行推导．
(1)【发现证明】
证明△EAF≌△GAF，可得出EF=FG，则结论得证；
(2)【类比引申】
①将△ABE绕点A顺时针旋转90°至△ADM根据SAS可证明△EAF≌△MAF，可得EF=FM，则结论得证；
②将△ADF绕点A逆时针旋转90°至△ABN，证明△AFE≌△ANE，可得出EF=EN，则结论得证；
(3)【联想拓展】
求出DG=2，设DF=x，则EF=DG=x+3，CF=6−x，在Rt△EFC中，得出关于x的方程，解出x则可得解．
【解答】
解：(1)见答案；
(2)①见答案；
②如图3，将△ADF绕点A逆时针旋转90°至△ABN，

∴AN=AF，∠NAF=90°，
∵∠EAF=45°，
∴∠NAE=45°，
∴∠NAE=∠FAE，
∵AE=AE，
∴△AFE≌△ANE(SAS)，
∴EF=EN，
∴BE=BN+NE=DF+EF．
即BE=EF+DF．
故答案为：BE=EF+DF．
(3)见答案．  
23.【答案】垂直  BC=CD+CF

【解析】解：(1)①正方形ADEF中，AD=AF，
∵∠BAC=∠DAF=90°，
∴∠BAD=∠CAF，
在△DAB与△FAC中，AD=AF∠BAD=∠CAFAB=AC，
∴△DAB≌△FAC，
∴∠B=∠ACF，
∴∠ACB+∠ACF=90°，即BC⊥CF；
故答案为：垂直；
②△DAB≌△FAC，
∴CF=BD，
∵BC=BD+CD，
∴BC=CF+CD；
故答案为：BC=CF+CD；

(2)CF⊥BC成立；BC=CD+CF不成立，CD=CF+BC．
∵正方形ADEF中，AD=AF，
∵∠BAC=∠DAF=90°，
∴∠BAD=∠CAF，
在△DAB与△FAC中，AD=AF∠BAD=∠CAFAB=AC，
∴△DAB≌△FAC，
∴∠ABD=∠ACF，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC=45°．
∴∠ABD=180°−45°=135°，
∴∠BCF=∠ACF−∠ACB=135°−45°=90°，
∴CF⊥BC．
∵CD=DB+BC，DB=CF，
∴CD=CF+BC．

(3)解：过A作AH⊥BC于H，过E作EM⊥BD于M，EN⊥CF于N，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴BC=2AB=4，AH=12BC=2，
∴CD=14BC=1，CH=12BC=2，
∴DH=3，
由(2)证得BC⊥CF，CF=BD=5，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD=DE，∠ADE=90°，
∵BC⊥CF，EM⊥BD，EN⊥CF，
∴四边形CMEN是矩形，
∴NE=CM，EM=CN，
∵∠AHD=∠ADE=∠EMD=90°，
∴∠ADH+∠EDM=∠EDM+∠DEM=90°，
∴∠ADH=∠DEM，
在△ADH与△DEM中，∠ADH=∠DEM∠AHD=∠DMEAD=DE，
∴△ADH≌△DEM，
∴EM=DH=3，DM=AH=2，
∴CN=EM=3，EN=CM=3，
∵∠ABC=45°，
∴∠BGC=45°，
∴△BCG是等腰直角三角形，
∴CG=BC=4，
∴GN=1，
∴EG=GN2+EN2=10．
(1)①根据正方形的性质得到∠BAC=∠DAF=90°，推出△DAB≌△FAC，根据全等三角形的性质即可得到结论；②由正方形ADEF的性质可推出△DAB≌△FAC，根据全等三角形的性质得到CF=BD，∠ACF=∠ABD，根据余角的性质即可得到结论；
(2)根据正方形的性质得到∠BAC=∠DAF=90°，推出△DAB≌△FAC，根据全等三角形的性质以及等腰直角三角形的角的性质可得到结论．
(3)根据等腰直角三角形的性质得到BC=2AB=4，AH=12BC=2，求得DH=3，根据正方形的性质得到AD=DE，∠ADE=90°，根据矩形的性质得到NE=CM，EM=CN，由角的性质得到∠ADH=∠DEM，根据全等三角形的性质得到EM=DH=3，DM=AH=2，等量代换得到CN=EM=3，EN=CM=3，根据等腰直角三角形的性质得到CG=BC=4，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，余角的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，正确地作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．