初中华师大版2. 菱形的判定精品课后练习题

19.2.2菱形的判定同步练习华师大版初中数学八年级下册

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 下列说法中，错误的是

A. 菱形的对角线互相垂直 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形
C. 矩形的四个内角都相等 D. 四个内角都相等的四边形是矩形

2. 某班同学在“为抗疫英雄祈福”的主题班会课上制作象征“平安归来”的黄丝带，如图所示，丝带重叠部分形成的图形是

A. 矩形
B. 菱形
C. 正方形
D. 等腰梯形

3. 顺次连结一个四边形的各边中点，得到了一个矩形，则下列四边形满足条件的是

平行四边形菱形对角线相等的四边形对角线互相垂直的四边形．

A.  B.  C.  D.

4. 下列叙述，错误的是

A. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形
B. 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形
C. 对角线互相平分的四边形是平行四边形
D. 对角线相等的四边形是矩形

5. 如图，由两个长为9，宽为3的全等矩形叠合而得到四边形ABCD，则四边形ABCD面积的最大值是

A. 15
B. 16
C. 19
D. 20

6. 如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，下列对重叠部分的形状描述最准确的是

A. 平行四边形
B. 菱形
C. 矩形
D. 正方形

7. 如图，菱形ABCD中，，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且，连结BE，分别交AC，AD于点F、G，连结OG，则下列结论：；；由点A、B、D、E构成的四边形是菱形；其中正确的结论是

A.  B.  C.  D.

8. 如图，已知等边三角形ABC绕点B顺时针旋转得，点E、F分别为线段AC和线段CD上的动点，若，则下列结论正确的有
   四边形ABDC为菱形；≌；为等边三角形；；若，，则．

A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个

9. 下列说法中，正确的是

A. 两邻边相等的四边形是菱形
B. 一条对角线平分一组内角的平行四边形是菱形
C. 对角线垂直且一组邻边相等的四边形是菱形
D. 对角线垂直的四边形是菱形

10. 如图，直线，PQ交EF，MN于A，C两点，AB，CB，CD，AD分别是，，，的角平分线，则四边形ABCD是

A. 菱形
B. 平行四边形
C. 矩形
D. 不能确定

11. 如图，在中，的平分线交BC于点E，的平分线交AD于点若，，则AE的长为   

A. 10
B. 12
C. 16
D. 18

12. 如图，O是菱形ABCD的对角线的交点，E，F分别是OA，OC的中点，下列结论：
     

四边形BFDE是菱形

是轴对称图形．

其中正确的结论有   

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

13. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加一个条件：______使平行四边形ABCD是菱形．
     

14. 如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形ABCD中，，，则四边形ABCD的面积为______．

15. 如图，和都是边长为6的等边三角形，且点B、C、E在同一条直线上，点P是CD边上的一个动点，连接AP，BP，则的最小值为__________．

16. 有两个全等矩形纸条，长与宽分别为10和6，按如图所示的方式交叉叠放在一起，则重合部分构成的四边形BGDH的周长为______．
     

17. 如图，四边形ABCD中，，，，连接BD，作角平分线AE交BD、BC于点F、若，，那么AE长为________．
     

三、解答题（本大题共6小题，共48.0分）

18. 如图，在四边形ABCD中，，是四边形ABCD内一点，且求证：
    ；
    四边形OBCD是菱形．
    
    
     

19. 如图，中，D是AB上一点，于点E，F是AD的中点，于点G，与DE交于点H，若，AG平分，连接GE，CD．
    求证：≌；
    小亮同学经过探究发现：请你帮助小亮同学证明这一结论．
    若，判定四边形AEGF是否为菱形，并说明理由．

20. 如图，在▱ABCD中，点E，F分别是BC，AD上的点，且，求证：四边形AECF是菱形．

21. 如图，在平面直角坐标系中，A，B是双曲线上的两点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图保留作图痕迹．
    在图1中画出一条与AB相等的线段；
    在图2中画出一个菱形．

22. 如图，在矩形ABCD中，，点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是连接PQ、AQ、设点P、Q运动的时间为ts．

当t为何值时，四边形ABQP是矩形；

当t为何值时，四边形AQCP是菱形；

分别求出中菱形AQCP的周长和面积．






 

23. 如图，在中，E、F分别是边AD、BC上的点，且，直线EF分别交BA的延长线、DC的延长线于点G、H，交BD于点O．
    

求证：≌；

连接DG，若，则四边形BEDF是什么特殊四边形？请说明理由．

答案和解析

1.【答案】B
 

【解析】解：A、菱形的对角线互相垂直，
选项A不符合题意；
B、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，
选项B符合题意；
C、矩形的四个角都是直角，
矩形的四个内角都相等，
选项C不符合题意；
D、四个内角都相等的四边形是四个角都是直角，
四个内角都相等的四边形是矩形，
选项D不符合题意；
故选：B．
根据菱形的判定与性质以及矩形的判定与性质分别对各个选项进行判断，即可得出结论．
本题考查了矩形的判定与性质、菱形的判定与性质；熟练掌握矩形和菱形的判定与性质是解题的关键．
 

2.【答案】B
 

【解析】解：过点A作于E，于F，如图：
两条彩带宽度相同，
，，．
四边形ABCD是平行四边形．
．
又．
，
四边形ABCD是菱形．
故选：B．
首先可判断重叠部分为平行四边形，且两条丝带宽度相同；再由平行四边形的面积可得邻边相等，则重叠部分为菱形．
此题考查了菱形的判定，平行四边形的面积公式以及平行四边形的判定与性质等知识；根据题意作出两条高AE和AF，证出是解本题的关键
 

3.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查中点四边形、平行四边形的性质、菱形的性质、矩形的判定等知识，记住对角线垂直的四边形的中点四边形是矩形，对角线相等的四边形的中点四边形是菱形，对角线垂直且相等的四边形的中点四边形是正方形．根据对角线垂直的四边形的中点四边形是矩形即可判断．

【解答】

解：如图，点E，F，G，H分别是四边形ABCD各边的中点，且四边形EFGH是矩形．

四边形EFGH是矩形，
，，
．
平行四边形的对角线不一定互相垂直，故错误
菱形的对角线互相垂直，故正确
对角线相等的四边形的对角线不一定垂直，故错误
对角线互相垂直，故正确．
综上所述，正确的结论是．
故选D．

4.【答案】D
 

【解析】解：A、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，
选项A不符合题意；
B、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，
选项B不符合题意；
C、对角线互相平分的四边形是平行四边形，
选项C不符合题意；
D、对角线相等的平行四边形是矩形，
选项D符合题意；
故选：D．
由矩形的判定、菱形的判定、平行四边形的判定以及菱形的判定分别对各个选项进行判断即可．
本题考查了矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定、平行四边形的判定与性质；熟练掌握矩形的判定、菱形的判定是解题的关键．
 

5.【答案】A
 

【解析】

【分析】
此题主要考查了菱形的判定和性质，矩形的性质和应用，以及勾股定理的应用，要熟练掌握．首先根据图1，证明四边形ABCD是菱形；然后判断出菱形的一条对角线为矩形的对角线时，四边形ABCD的面积最大，设，则，利用勾股定理求出x的值，即可求出四边形ABCD面积的最大值是多少．
【解答】
解：如图1，作于E，于F，
，
，，
四边形ABCD是平行四边形，
两个矩形的宽都是3，
，
，
，
平行四边形ABCD是菱形．

如图2，
，
设，则，
，
，
解得，
四边形ABCD面积的最大值是：
．
故选：A．  

6.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题考查菱形的判定．
首先可判断重叠部分为平行四边形，且两条彩带宽度相同再由平行四边形的面积可得邻边相等，则重叠部分为菱形．
【解答】
解：如图

过点A作于E，于F，因为两条彩带宽度相同，
所以，，．
四边形ABCD是平行四边形．
．
又．
，
四边形ABCD是菱形．
故选B．  

7.【答案】B
 

【解析】解：四边形 ABCD 是菱形，
，，，
，，
，
，
≌，
，
，正确；
由知≌，
，
四边形ABCD是菱形，
，，
，
，，
，，，
，
，
，
，正确
由知≌，
，
，
四边形ABDE是平行四边形，
由知：，
四边形ABDE是菱形，正确．
，，
，，
∽，
，
，
，
，：：4，：：4，
，
，
，
，
，不正确．
综上所述正确．
故选：B．
由菱形的性质可得，，，由平行线的性质可得，，证明≌，得到，据此判断；由全等三角形的性质可得，由菱形的性质可得，，结合可得，证明∽，由相似三角形的性质可判断；由全等三角形的性质可得，推出四边形ABDE是平行四边形，结合可判断；由三角形的中位线定理和相似三角形的性质可得，据此判断．
本题考查了菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线定理，相似三角形的判定和性质，证得≌是解题的关键．
 

8.【答案】A
 

【解析】解：由等边三角形旋转的性质可知，即四边形ABCD为菱形故正确．
在和中，
，
≌，
故正确；
≌，
，，
，
，即，
为等边三角形，故正确；
，，，
，故正确；
，
，
，，
∽，
，即，
，
，故正确．
综上，都正确，
故选：A．
由等边三角形旋转的性质可知即可判断；利用SAS即可判定≌；由全等三角形的性质可知，，再结合，即可求出，即证明为等边三角形；由，即可判断；根据∽，可求出CG的长．
本题考查了等边三角形的判定与性质，图形旋转的性质，菱形的判定，全等三角形的判定与性质，三角形外角性质以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握这些知识并利用数形结合的思想解题的关键．
 

9.【答案】B
 

【解析】解：A、两邻边相等的平行四边形是菱形，
选项A不符合题意；
B、一条对角线平分一组内角的平行四边形是菱形，
选项B符合题意；
C、对角线互相平分且一组邻边相等的四边形是菱形，
选项C不符合题意；
D、对角线垂直的平行四边形是菱形，
选项D不符合题意；
故选：B．
由菱形的判定和平行四边形的性质分别对各个选项进行判断即可．
本题考查了菱形的判定、平行四边形的性质等知识；熟练掌握菱形的判定是解题1关键．
 

10.【答案】C
 

【解析】解：，
，
，CB，CD，AD分别是，，，的角平分线，，
，，
，
同理可得，，，
四边形ABCD是矩形，
故选：C．
根据平行线的性质和角平分线的性质，可以得到和的度数，同理可以得到和的度数，然后根据矩形的判定方法即可得到四边形ABCD是矩形，本题得以解决．
本题考查矩形的判定、平行线的性质、角平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

11.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查平行四边形的性质与判定、等腰三角形的判定、菱形的判定和性质、勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明四边形ABEF是菱形是解决问题的关键．先证明四边形ABEF是菱形，得出，，，由勾股定理求出OA，即可得出AE的长．
【解答】
解：如图所示：
四边形ABCD是平行四边形，
，
，
的平分线交BC于点E，
，
，
，同理可得，
，
四边形ABEF是平行四边形，
，
四边形ABEF是菱形，
，，，
，
；
故选C．  

12.【答案】C
 

【解析】略
 

13.【答案】答案不唯一
 

【解析】解：添加一个条件为：，理由如下：
四边形ABCD是平行四边形，，
平行四边形ABCD是菱形，
故答案为：答案不唯一．
由菱形的判定即可得出结论．
本题考查了矩形的判定以及平行四边形的性质；熟练掌握菱形的判定是解题的关键．
 

14.【答案】
 

【解析】解：过点A作于E，于F，连接AC，BD交于点O，如图所示：
两条纸条宽度相同，
．
，，
四边形ABCD是平行四边形．
．
又．
，
四边形ABCD是菱形，
，，，
，，
，
菱形ABCD的面积，
故答案为：．
先证四边形ABCD是菱形，再由勾股定理可求BO的长，然后由菱形的面积公式可求解．
本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定和性质以及勾股定理等知识，证得四边形ABCD为菱形是解题的关键．
 

15.【答案】12
 

【解析】

【分析】
本题考查最短路线，以及等边三角形的性质，菱形的判定和性质，掌握满足什么条件时，值最小是解题关键．
连接AD，证明四边形ACED是菱形，得出点A与点E关于CD对称，进而得出BE即为的最小值，从而得解．
【解答】
解：如图，连接AD，

和都是边长为6的等边三角形，
，，
，
，
，
四边形ACED是平行四边形，
，
四边形ACED是菱形，
点A和点E关于CD对称，
点P与点C重合时，，此时的值最小，
，
的最小值为12．
故答案为12．  

16.【答案】
 

【解析】解：由题意得：矩形ABCD≌矩形BEDF，
，，，，，
四边形BGDH是平行四边形，
平行四边形BGDH的面积，
，
四边形BGDH是菱形，
，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
，
四边形BGDH的周长，
故答案为：．
由题意得出，，，，，再证四边形BGDH是菱形，得，设，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程求出BG，即可求解．
本题考查了菱形的判定与性质、矩形的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识；证明四边形BGDH为菱形是解题的关键．
 

17.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查的是平行四边形的判定，勾股定理，菱形的判定与性质有关知识连接DE，因为，，，可证四边形ABED为菱形，从而得到，然后再进行解答即可．
【解答】
解：连接DE，如图

在直角三角形CDE中，根据勾股定理，得
，，
垂直平分BD，，
，
，


，
，
四边形ABED是平行四边形，
，
四边形ABED是菱形，
，
在中，，
，
，，
，
．
故答案为．  

18.【答案】证明：延长AO到E，
，
，
又，
，
同理，


即，
又，
；

连接OC，
，，，
≌，
，，
，，
，，
又，
，
，
又，，
，
四边形OBCD是菱形．
 

【解析】此题考查菱形的判定，关键是根据全等三角形的判定和性质以及菱形的判定解答．
延长AO到E，利用等边对等角和角之间关系解答即可；
连接OC，根据全等三角形的判定和性质以及菱形的判定解答即可．
 

19.【答案】解：，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
是AD的中点，，
是ED的中点，
是线段ED的垂直平分线，
，，
，
≌；
证明：过点G作于P，
，而，
≌，
，
由可得，
≌，
，
；
四边形AEGF是菱形，
证明：，
，
，
，
由得，
四边形AECF是平行四边形，
四边形AEGF是菱形．
 

【解析】本题属于四边形综合题，主要考查了菱形的判定、全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定与性质以及含角的直角三角形的性质的综合运用，利用全等三角形的对应边相等，对应角相等是解决问题的关键．
依据条件得出，，依据F是AD的中点，，即可得到FG是线段ED的垂直平分线，进而得到，，利用AAS即可判定≌；
过点G作于P，判定≌，可得，由可得，即可得到≌，依据，即可得出；
依据，可得，进而得到，故AE，再根据四边形AECF是平行四边形，即可得到四边形AEGF是菱形．
 

20.【答案】证明：四边形ABD是平行四边形，
，，
，
，
四边形AECF是平行四边形，
又，
四边形AECF是菱形．
 

【解析】由平行四边形的性质得出，，证出，则四边形AECF是平行四边形，由，即可得出四边形AECF是菱形．
本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质；熟练掌握菱形的判定和平行四边形的性质是解题的关键．
 

21.【答案】解：如图1，CD即为所求．
如图2，菱形MNPQ即为所求．

 

【解析】如图1中，作直线AO交双曲线于点D，作直线OB交双曲线于点C，连接CD，线段CD即为所求．
如图2中，AB交x轴于N，交y轴于点M，CD交x轴于Q，交y轴于点P，连接MQ，PN，四边形MNPQ即为所求．
本题考查作图复杂作图，反比例函数图象上的点的性质，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用对称性解决问题，属于中考常考题型．
 

22.【答案】解：由已知可得，，
在矩形ABCD中，，，
当时，四边形ABQP为矩形，
，得
故当时，四边形ABQP为矩形．
由可知，四边形AQCP为平行四边形
当时，四边形AQCP为菱形
即时，四边形AQCP为菱形，解得，
故当时，四边形AQCP为菱形．
当时，，，
则周长为：     
面积为：．
 

【解析】当四边形ABQP是矩形时，，据此求得t的值；
当四边形AQCP是菱形时，，列方程求得运动的时间t；
菱形的四条边相等，则菱形的周长，面积矩形的面积个直角三角形的面积．
本题考查了菱形、矩形的判定与性质．解决此题注意结合方程的思想解题．
 

23.【答案】证明：四边形ABCD是平行四边形，
，，
在和中，

，
≌； 
解：四边形BEDF是菱形；理由如下：
四边形ABCD是平行四边形，   
，，
，
，
四边形BEDF是平行四边形，
，
，
，
四边形BEDF是菱形．

【解析】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定．熟练掌握平行四边形的性质，证出四边形BEDF是平行四边形是解决问题的关键．
由平行四边形的性质得出，，由SAS证明≌即可；
由平行四边形的性质得出，，证出，得出四边形BEDF是平行四边形，得出，再由等腰三角形的三线合一性质得出，即可得出四边形BEDF是菱形．