初中数学华师大版八年级上册1 等腰三角形的性质精品课时练习

13.3.1等腰三角形的性质同步练习华师大版初中数学八年级上册

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 下列说法正确的是

A. 等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合
B. 等腰三角形的两个底角相等
C. 顶角相等的两个等腰三角形全等
D. 等腰三角形一边不可以是另一边的2倍

2. 下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答符号代表的内容．
   如图，已知，，，，求的度数．
   解：在ABC和中，，
   所以≌，@
   所以全等三角形的相等
   因为，，
   所以，
   所以．
   则回答正确的是

A. 代表对应边 B. 代表
C. @代表ASA D. 代表

3. 同一根细铁丝可以折成边长为10cm的等边三角形，也可以折成面积为的长方形．设所折成的长方形的一边长为x，则可列方程为

A.  B.
C.  D.

4. 已知等腰三角形有一边长为5，一边长为2，则其周长为

A. 12 B. 9 C. 10 D. 12或9

5. 如图，为等边三角形，，AD、BE相交于点P，于Q，，的长是

A. 5
B. 6
C. 7
D. 8

6. 在等腰中，，则等腰的周长为    

A. 12cm B. 17cm C. 19cm D. 17cm或19cm

7. 如图所示，若，，则的度数为

A.   B.   C.   D.  

8. 如图，在中，，如果P为三角形内一点，且，那么等于

A.
B.
C.
D.

9. 如图所示，中，，，则的度数是

A.
B.
C.
D.

10. 如图，C为线段AE上一动点不与点A、E重合，在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，以下六个结论：；；；；；平分其中不正确的的个数为    

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

11. 如图，在中，是的平分线，下面结论中不一定成立的是    ．

A.
B.
C.
D.
 

12. 如图，AC，AD是五边形ABCDE的两条对角线，为等边三角形若，，，则的度数为

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

13. 如图，中．点D在BC边上，，E为CD的中点．若，则为______度．
    
     

14. 等腰三角形的两条边长分别为6和9，那么它的周长为______．
15. 如图，直线，点A在直线上，点B在直线上，，，，则______．
    
    
    
     

16. 在等腰三角形中，如果有一个角为，那么另两个角分别为______ ．
17. 等腰三角形的两条边长分别为3和4，则这个等腰三角形的周长是______．

三、解答题（本大题共6小题，共48.0分）

18. 如图1，在中，，，D为AC边上一动点，且不与点A点C重合，连接BD并延长，在BD延长线上取一点E，使，连接CE．
    若，则______度；
    若，试探索与有怎样的数量关系？并证明你的猜想；
    如图2，过点A作于点F，AF的延长线与EC的延长线交于点H，求证：．

19. 综合与实践
    问题情境
    如图1，和均为等边三角形，点A，D，E在同一条直线上，连接BE；
    探究发现
    善思组发现：≌，请你帮他们写出推理过程；
    钻研组受善思组的启发，求出了度数，请直接写出等于______度；
    奋进组在前面两组的基础上又探索出了CD与BE的位置关系为______请直接写出结果；
    拓展探究
    如图2，和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一条直线上，CM为中DE边上的高，连接BE，试探究CM，AE，BE之间有怎样的数量关系．
    创新组类比善思组的发现，很快证出≌，进而得出请你写出CM，AE，BE之间的数量关系并帮创新组完成后续的证明过程．
    
    
    
    
    
    
     
20. 在等腰中，，点D，E在射线BA上，，过点E作，交射线CA于点请解答下列问题：
    
    当点E在线段AB上，CD是的角平分线时，如图，求证：；提示：延长CD，FE交于点
    当点E在线段BA的延长线上，CD是的角平分线时，如图；当点E在线段BA的延长线上，CD是的外角平分线时，如图，请直接写出线段AE，BC，CF之间的数量关系，不需要证明；
    在、的条件下，若，则______．
    
    
    
    
    
    
     
21. 如图，四边形ABCD中，，，连结AE并延长交BC的延长线于F，连结BE．
    求证：；
    若，求证：．
    
     

22. 如图1，D为等边内一点，将线段AD绕点A逆时针旋转得到AE，连接CE，BD的延长线与AC交于点G，与CE交于点F．
    求证：；
    如图2，连接FA，小颖对该图形进行探究，得出结论：小颖的结论是否正确？若正确，请给出证明；若不正确，请说明理由．

23. 如图，在中，，D是BC的中点，E，F分别是AB，AC上的点，且求证：．
    
    
     

答案和解析

1.【答案】B
 

【解析】解：A、等腰三角形的底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合，故选项错误；
B、等腰三角形的两个底角相等，故选项正确；
C、腰不一定相等，所以不一定是全等三角形，故选项错误；
D、腰可以是底的两倍，故选项错误．
故选：B．
根据等腰三角形的性质和判定以及全等三角形的判定方法即可一一判断．
本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

2.【答案】B
 

【解析】解：在ABC和中，，
所以≌，
所以全等三角形的对应角相等
因为，，
所以，
所以．
故可得：@代表SSS；代表；代表对应角；代表，
故选：B．
证≌，得出，，根据三角形内角和定理求出即可．
本题考查了全等三角形的性质和判定和三角形内角和定理的应用，注意：全等三角形的对应角相等．
 

3.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及等边三角形的性质，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
设折成的长方形的一边长为xcm，则另一边长为，根据长方形的面积公式结合折成的长方形面积为，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】
解：边长为10cm的等边三角形周长为30cm，则折成的长方形的周长为30cm．
设折成的长方形的一边长为xcm，则另一边长为，
根据题意得：．
故选：C．  

4.【答案】A
 

【解析】

【分析】
此题考查了等腰三角形的性质与三角形的三边关系．此题比较简单，注意分类讨论思想的应用．由等腰形三角形有一边长为5，一边长为2，即可分别从若5为腰长，2为底边长与若2为腰长，5为底边长去分析求解即可求得答案．
【解答】
解：若5为腰长，2为底边长，
，5，2能组成三角形，
此时周长为：；
若2为腰长，5为底边长，
，
不能组成三角形，故舍去；
周长为12．
故选A．  

5.【答案】C
 

【解析】解：为等边三角形，
，；
又，
在和中，
，
≌；
，；
；
，
，则；
，
在中，；
又，
．
故选：C．
由已知条件，先证明≌得，可得，则易求AD的长．
本题主要考查全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质及含的角的直角三角形的性质；巧妙借助三角形全等和直角三角形中的性质求解是正确解答本题的关键．
 

6.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查等腰三角形性质和三角形的三边关系，分类讨论思想．分两种情况讨论：当时，周长；当时，周长．

【解答】

解：分两种情况讨论：

当时，

，此时边长满足三角形三边关系，

周长，

当时，

，此时边长满足三角形三边关系，

周长．

故选D．

7.【答案】D
 

【解析】

【分析】
此题主要考查学生对等腰三角形的性质及三角形外角的性质的综合运用．
已知，则可根据等腰三角形的性质得到几组相等的角，从而可推出与之间的关系，再根据三角形外角的性质即可求得的度数．
【解答】

解：，
，，，，
，
，
．
故选D．
 

8.【答案】B
 

【解析】

【分析】
此题考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和定理，对相等的角进行等量代换转化为一个角是解答本题的关键．
由已知条件根据三角形的内角和定理和等边对等角的性质，求得，再根据和三角形的内角和定理即可求解．
【解答】
解：如图：

，，
，
，
，
故选B．  

9.【答案】C
 

【解析】解：，，
，
，
又，
，
，
，
，
故选：C．
在中，由、得度数，再由，可得．
本题主要考查等腰三角形的性质，熟练运用等边对等角是解此题的关键．
 

10.【答案】A
 

【解析】

【分析】
本题考查等边三角形的性质及全等三角形的判定等知识点；得到三角形全等是正确解答本题的关键．
由已知条件运用等边三角形的性质得到三角形全等，进而得到更多结论，然后运用排除法，对各个结论进行验证从而确定最后的答案．
【解答】
解：解：和为等边三角形
，，，
，
≌，
，故正确；
由≌，得进而可求证≌，
，故正确；
又，，可知为等边三角形，
，
，正确；
，，
，
，故错误；
，
，
，
，故正确；
所以，，
，
平分，故正确，
故正确的有，共5个，不正确的只有1个．
故选A．  

11.【答案】D
 

【解析】解：是等腰三角形，，AD是的角平分线，
，AD是的中线，高线，
，，
故A、B、C都成立，只有D不一定成立．
故选：D．
根据等腰三角形三线合一的性质，即可作出判断．
考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
 

12.【答案】C
 

【解析】

【分析】
此题考查全等三角形的判定和性质和等边三角形的性质，关键是根据全等三角形的判定和性质得出与全等．根据全等三角形的判定和性质得出与全等，进而得出，再利用三角形内角和为即可解答．
【解答】
解：正三角形ACD，
，，
在与中

，
，，，
，
，
故选C．  

13.【答案】37
 

【解析】解：，点E是CD中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为．
先判断出，进而求出，最后用等腰三角形的外角等于底角的2倍即可得出结论．
此题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形外角的性质，求出是解本题的关键．
 

14.【答案】21或24
 

【解析】解：分两种情况：
当6为腰时，，所以能组成三角形，
所以周长为；
当9为腰时，，所以能组成三角形，
所以周长为．
故答案为21或24．
分两种情况6为腰或9为腰进行求解即可．
本题主要考查了等腰三角形的性质，同时考查了分类讨论思想．
 

15.【答案】
 

【解析】解：如图，延长CB交于点D，
，，
，
，，
，
，即，
．
故答案为：．
利用等腰三角形的性质得到，利用平行线的性质得到，再根据三角形内角和定理即可求解．
本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质以及三角形内角和定理的应用，解决问题的关键是辅助线的作法，注意运用两直线平行，同位角相等．
 

16.【答案】，或，
 

【解析】解：等腰三角形中有一个角等于，
若为顶角，则这个等腰三角形的顶角的度数为，底角为，故另两个角为，；
若为底角，则这个等腰三角形的顶角的度数为：，故另两个角为，．
这个等腰三角形的另两个角为，或，．
故答案为：，或，．
由等腰三角形中有一个角等于，可分别从为顶角为底角去分析求解即可求得答案．
此题考查了等腰三角形的性质．比较简单，解题的关键是掌握等边对等角的知识，掌握分类讨论思想的应用．
 

17.【答案】10或11
 

【解析】

【分析】
本题考查了等腰三角形的性质，难点在于要分情况讨论，分3是腰长与底边长两种情况讨论求解即可．
【解答】
解：是腰长时，三角形的三边分别为3、3、4，
此时能组成三角形，
周长；
是底边长时，三角形的三边分别为3、4、4，
此时能组成三角形，
所以周长．
综上所述，这个等腰三角形的周长是10或11．
故答案为：10或11．  

18.【答案】45
 

【解析】解：，，
，
，，
，
，
，且
，
，且，
，
，
故答案为：45；
猜想：，
理由如下：，
，
，
，且，
，
；
如图，过点C作于G，

，
，
，
，
，且，
，
，，
，
，
，
，
，，
，且，，
≌
，
，
在中，，
，
．
由等腰三角形的性质可求，可得，由等腰三角形的性质可得，即可求解；
由等腰三角形的性质可求，可得，由等腰三角形的性质可得，可得结论；
如图，过点C作于G，由等腰直角三角形的性质可得，，由“AAS”可证≌，可得，由勾股定理可得结论．
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
 

19.【答案】60 
 

【解析】证明：和均为等边三角形，
，，，
，即，
在和中，
，
≌；
解：为等边三角形，
，
，
≌，
，
，
故答案为：60；
解：，
，
故答案为：；
解：，
理由如下：和均为等腰直角三角形，
，，
，，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
．
根据等腰直角三角形的性质得到，，结合图形得到，利用SAS定理证明≌；
根据全等三角形的性质得到，根据等边三角形的性质、结合图形计算，得到答案；
根据内错角相等、两直线平行解答；
根据直角三角形的性质得到，证明≌，根据全等三角形的性质证明结论．
本题考查的是全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
 

20.【答案】18或6
 

【解析】解：如图，延长CD，FE交于点M．
，，
，
，
，
，，
又，
，
，
又，
≌，
，
，
即；

当点E在线段BA的延长线上，CD是的角平分线时，，
如图，延长CD，EF交于点M．
由同理可证≌，
，
由证明过程同理可得出，，
；

当点E在线段BA的延长线上，CD是的外角平分线时，．
如图，延长CD交EF于点M，
由上述证明过程易得≌，，，
又，
，
，
，
，
；


或6，
当时，图中，由得：，，
；
图中，由得：，，
；
图中，DE小于AE，故不存在．
故答案为18或6．
延长CD，FE交于点利用AAS证明≌，得到，并利用角平分线加平行的模型证明，，从而得证；
延长CD，EF交于点类似于的方法可证明当点E在线段BA的延长线上，CD是的角平分线时，，当点E在线段BA的延长线上，CD是的外角平分线时，；
先求出AE，AB，即可利用线段的和差求出答案．
本题是考查了角平分线、平行线和等腰三角形及全等三角形的综合题，关键是添加恰当的辅助线，构建角平分线加平行的模型，是一道较好的中考真题．
 

21.【答案】解：证明：，
，．
点E是DC的中点，
．
在和中

≌，
．
，，
，
≌，
，
．
 

【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．
可通过说明≌，证明；
证明，，由等腰三角形的“三线合一”的性质可得出结论．
 

22.【答案】证明：如图1，线段AD绕点A逆时针旋转得到AE，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
又，
，
，
过A作BD，CF的垂线段分别交于点M，N，

又≌，，
由面积相等可得，
在和中，
，
≌，
，
．
 

【解析】通过SAS证明≌，可得；
作，，由全等知，从而得到AF平分，证出，从而证出结论．
本题主要考查了旋转的性质、三角形全等的判定与性质、角平分线的性质等知识，作出辅助线是解题的关键．
 

23.【答案】证明：连接AD．
 

，D是BC的中点，

．

在和中，

．

．

【解析】本题主要考查全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，连接AD，结合等腰三角形的性质可得，通过证明≌可证明结论．