初中数学华师大版八年级上册第13章 全等三角形13.1 命题、定理与证明2 定理与证明优秀随堂练习题

13.1.2定理与证明同步练习华师大版初中数学八年级上册

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 下列命题是假命题的是

A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形
B. 若，则
C. 对顶角相等
D. 菱形的对角线互相垂直

2. 下列命题中真命题是

A. 的算术平方根是3
B. 数据，a，，，与2，0，3，2，3的方差相同
C. 正六边形的内角和为
D. 对角线相等的四边形是矩形

3. 下列命题正确的是

A. 在一个三角形中，如果一个角等于，那么在这个三角形中，有一条边的长度是另一边的一半
B. 等腰三角形任意一条边上的高线、中线和角平分线互相重合
C. 有两个角互余的三角形是直角三角形
D. 三角形的两边之和小于第三边

4. 下列命题中，不是定理的是   

A. 直角三角形两锐角互余 B. 两直线平行，同旁内角互补
C. 三角形的内角和等于 D. 相等的角是对顶角

5. 如图，若，，则，推理的理由是   

A. 同角的补角相等
B. 同角的余角相等
C.
D.
 

6. 已知命题：互余的角一定有公共边；对顶角相等；同旁内角互补；两点之间线段最短；直线都相等．其中真命题的个数为

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

7. 学习圆的性质后，小铭与小熹就讨论起来，小铭说：“被直径平分的弦也与直径垂直”，小熹说：“用反例就能说明这是假命题”下列判断正确的是

A. 两人说的都对
B. 小铭说的对，小熹说的反例不存在
C. 两人说的都不对
D. 小铭说的不对，小熹说的反例存在

8. 下列命题属于真命题的是

A. 相等的角是对顶角 B. 同位角相等
C. 两个锐角的和是锐角 D. 邻补角是互补的角

9. 下列命题中真命题的个数为
   面积相等的两个三角形全等；
   不等式有无数个整数解；
   在直角三角形中，若两条直角边的长分别为9和40，则斜边长为41；
   若等腰三角形面积为12，底边上的高为4，则腰长为5．

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

10. 把命题“等角的余角相等”改写成“如果，那么”的形式，正确的是

A. 如果两个角互余，那么这两个角相等
B. 如果两个角是等角的余角，那么这两个角相等
C. 如果两个角相等，那么这两个角互为余角
D. 如果两个角互余，那么这两个角的余角相等

11. 如图所示，在矩形ABCD中，，的平分线交边BC于点E，于点H，连接CH并延长交边AB于点F，连接AE交CF于点O，给出下列命题：；；；；其中正确命题有

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

12. 从下列命题中，随机抽取一个，是真命题的概率是
    过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；
    有两个角互余的三角形是直角三角形；
    垂直于同一条直线的两条直线互相平行
    在中，若，则为直角三角形．

A.  B.  C.  D. 1

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

13. “能被3整除的整数，它的末位数是3”是______ 命题填“真”或“假”
14. “等边三角形的三个内角都等于”的逆命题是______ ．
15. 下列关于一元二次方程的四个命题当，时，这个方程一定有两个相等的实数根；若，则一定存在两个实数m、n，使得，；当时，若p是方程的一个根，则是方程的一个根；若p、q是方程的两个实数根，则其中是假命题的序号是______ ．
16. 命题“如果m是整数，那么m一定是有理数”；则它的逆命题是______ 命题填写“真”或“假”．
17. 定理“全等三角形的对应边相等”的逆命题是____，它是____命题填“真”或“假”．

三、解答题（本大题共6小题，共48.0分）

18. 如图，在和中，点A、E、F、C在同一条直线上，有下面四个选项：；；；．
    请用其中三个作为条件，余下一个作为结论，编一道真命题并写出证明过程．
    条件为：______ 填序号．
    结论为：______ 填序号．
    
    
    
    
    
    
     
19. 在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O．
    如果，，那么四边形ABCD是平行四边形；
    如果，，那么四边形ABCD是平行四边形；
    如果，，那么四边形ABCD是平行四边形；
    如果，，那么四边形ABCD是平行四边形．
    判断上述四个命题的真假；
    证明上述四个命题的真假．
    提示：证明一个命题是假命题，只要举个反例
    
    
    
    
    
    
     
20. “有两边及一边上的中线对应相等的两个三角形全等”是真命题吗？如果是，请给予证明，如果不是，请举出反例．
    
    
    
    
    
    
     
21. 图形的世界丰富且充满变化，用数学的眼光观察它们，奇妙无比．
    如图，，数学课上，老师请同学们根据图形特征添加一个关于角的条件，使得，并给出证明过程．
    小丽添加的条件：．
    请你帮小丽将下面的证明过程补充完整．
    证明：已知
    ____________
    已知
    ____________
    ____________
    等量代换
    拓展：如图，请你从三个选项，平分，中任选出两个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题，并加以证明．
    条件：______，结论：______填序号．
    证明：______．
    
    
    
    
    
    
     
22. 如图，是的邻补角，请你从下面的三个条件中，选出两个作为已知条件，另一个作为结论，得出一个真命题．；；平分．
    由上述条件可得哪几个真命题？请按“”的形式一一书写出来；
    请根据中的真命题，选择一个进行证明．

23. 如图，现有以下3个论断：；；请以其中2个论断为条件，另一个论断为结论构造命题．

你构造的是哪几个命题？

你构造的命题是真命题还是假命题？请选择其中一个真命题加以证明．

答案和解析

1.【答案】B
 

【解析】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，是真命题，本选项不符合题意．
B、若，则，错误，应该的，是假命题，本选项符合题意．
C、对顶角相等，是真命题，本选项不符合题意．
D、菱形的对角线互相垂直，是真命题，本选项不符合题意．
故选：B．
根据平行四边形的判定，菱形的性质，对顶角的性质，绝对值的性质一一判断即可．
本题考查平行四边形的判定，菱形的性质，对顶角的性质，绝对值的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

2.【答案】B
 

【解析】解：A、的算术平方根是，本选项错误，不符合题意．
B、数据，a，，，与2，0，3，2，3的方差相同，正确，本选项符合题意．
C、正六边形的内角和为，错误，应该是，本选项不符合题意．
D、对角线相等的四边形是矩形，错误，应该是对角线相等的平行四边形是矩形，本选项不符合题意．
故选：B．
根据算术平方根，方差的定义，多边形内角和公式，矩形的判定一一判断即可．
本题考查算术平方根，方差的定义，矩形的判定，多边形内角和等知识，解题的关键是熟练掌握算术平方根的定义，方差的定义，掌握矩形的判定方法，属于中考常考题型．
 

3.【答案】C
 

【解析】解：A、在一个三角形中，如果一个角等于，那么在这个三角形中，有一条边的长度是另一边的一半，是假命题，本选项不符合题意．
B、等腰三角形任意一条边上的高线、中线和角平分线互相重合，是假命题，本选项不符合题意．
C、有两个角互余的三角形是直角三角形，是真命题，本选项符合题意．
D、三角形的两边之和小于第三边，是假命题，本选项不符合题意．
故选：C．
根据直角三角形30度角的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三边关系等知识，一一判断即可．
本题考查命题与定理，直角三角形30度角的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三边关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

4.【答案】D
 

【解析】相等的角不一定是对顶角，这是一个假命题．
 

5.【答案】B
 

【解析】略
 

6.【答案】B
 

【解析】解：互余的角不一定有公共边，原命题是假命题；对顶角相等，是真命题；两直线平行，同旁内角互补，原命题是假命题；两点之间线段最短，是真命题；直线没有一定长度，无法比较，原命题是假命题；
故选：B．
根据平行线的性质、互余的定义、线段的性质判断即可．
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行线的性质、互余的定义、线段的性质，难度不大．
 

7.【答案】D
 

【解析】解：被直径平分的弦也与直径垂直，这个结论错误，当弦是直径时，满足条件，结论不成立，
故选：D．
根据垂径定理判断即可．
本题考查命题与定理，垂径定理等知识，解题的关键是理解垂径定理，属于中考常考题型．
 

8.【答案】D
 

【解析】解：A、相等的角是对顶角，是假命题，本选项不符合题意．
B、同位角相等，是假命题，本选项不符合题意．
C、两个锐角的和是锐角，是假命题，本选项不符合题意．
D、邻补角是互补的角，是真命题．
故选：D．
根据对顶角的定义，平行线的判定和性质，邻补角的定义一一判断即可．
本题考查命题与定理，对顶角的定义，平行线的判定和性质，邻补角的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

9.【答案】C
 

【解析】解：面积相等的两个三角形全等，错误．
不等式有无数个整数解，正确．
在直角三角形中，若两条直角边的长分别为9和40，则斜边长为41，正确．
若等腰三角形面积为12，底边上的高为4，则腰长为5，正确．
故选：C．
根据全等三角形的判定，不等式的整数解，勾股定理，三角形的面积求解即可．
本题考查命题与定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

10.【答案】B
 

【解析】解：命题：等角的余角相等，可以写作：如果两个角是等角的余角，那么这两个角相等．
故选：B．
根据命题的定义，写成如果，那么的形式即可．
本题考查本题与定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

11.【答案】C
 

【解析】解：在矩形ABCD中，，
平分，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
故正确；
设，
则，，

，
故错误；
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
故正确；
连接BH．
，
，
，
，
，
故正确；
，，
在与中，
，
≌，
，
在与中，
，
≌，
，
，
故错误，
故选：C．
根据矩形的性质得到，由DE平分，得到是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，得到，得到等腰三角形求出，，得到正确；设，则，，求出，得到，故错误；通过角的度数求出和是等腰三角形，从而得到正确；连接BH，证明，推出，即可判断正确；由≌，到，由≌，得到，于是得到，从而得到错误．
本题考查命题与定理，矩形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
 

12.【答案】B
 

【解析】解：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，是真命题．
有两个角互余的三角形是直角三角形，是真命题．
垂直于同一条直线的两条直线互相平行，是假命题在同一平面内成立．
在中，若，则为直角三角形．是假命题．
随机抽取一个，是真命题的概率是，
故选：B．
首先判断各个命题是真假，如何利用概率公式计算即可
本题考查命题与定理，概率公式等知识，解题的关键是正确判断命题的真假，属于中考常考题型．
 

13.【答案】假
 

【解析】解：“能被3整除的整数，它的末位数是3”是假命题，例如27，
故答案为：假．
分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
 

14.【答案】三个内角都等于的三角形是等边三角形
 

【解析】解：命题“等边三角形的三个内角都等于”的逆命题是“三个内角都等于的三角形是等边三角形”．
故答案为：三个内角都等于的三角形是等边三角形．
逆命题就是原命题的题设和结论互换，找到原命题的题设为等边三角形，结论为三个内角相等，互换即可．
本题考查逆命题的概念，关键是知道题设和结论互换，属于基础题，难度不大．
 

15.【答案】
 

【解析】解：当，时，，
方程一定有两个不相等的实数根，是真命题；
当时，，
方程有两个不相等的实数根，
一定存在两个实数，使得，是真命题；
是方程的一个根，
，
，
是方程的一个根，是真命题；
，，
，
则，是假命题，
故答案为：．
根据一元二次方程根的判别式、方程的解的定义、二次函数与一元二次方程的关系、根与系数的关系判断即可．
本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
 

16.【答案】假
 

【解析】解：命题“如果m是整数，那么m一定是有理数”；则它的逆命题如果m是有理数，那么m是整数，是假命题；
故答案为：假．
把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，进而判断即可．
本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
 

17.【答案】三边分别对应相等的两个三角形全等  真
 

【解析】解：“全等三角形的对应边相等”的逆命题是三边分别对应相等的两个三角形全等，它是真命题，
故答案为：三边分别对应相等的两个三角形全等，真．
分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，可得答案．
本题考查了命题与定理，主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
 

18.【答案】 
 

【解析】解：条件为：，结论为：；答案不唯一
已知：如图，在和中，点 A、E、F、C在同一条直线上，，，求证：．
证明：，
，
，
，即，
在和中，
，
≌，
．
故答案为：；
条件为：，结论为：；只需要证明≌即可．
本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

19.【答案】解：如果，，那么四边形ABCD是平行四边形是真命题；
如果，，那么四边形ABCD是平行四边形是真命题；
如果，，那么四边形ABCD是平行四边形是假命题；
如果，，那么四边形ABCD是平行四边形是假命题．
，
，
，，
≌，
，
四边形ABCD是平行四边形；
，
，
，
，
四边形ABCD是平行四边形；
如图1，当，时，则四边形ABCD不是平行四边形；
如图2，当，时，则四边形ABCD不是平行四边形．
 

【解析】根据题意判断即可得到结论；
根据平行四边形的判定定理证明即可．
本题考查了命题与定理，平行四边形的判定定理，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
 

20.【答案】解：“有两边及一边上的中线对应相等的两个三角形全等”是真命题，
已知：如图，和中，，，AD、分别是BC、边上的中线，
求证：≌，
证明：，AD、分别是BC、边上的中线

在和中

≌，

在和中

≌．
 

【解析】根据题意可以画出相应的图形，写出已知条件，然后根据题目中的条件可以证明结论成立．
本题考查命题和定理，解题的关键是明确命题和定理的组成，注意先判断命题的真假，再给予证明或举出反例．
 

21.【答案】；两直线平行，同位角相等；DG；同旁内角互补，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；
；；答案不唯一
，
，，
，
，即DG平分．
 

【解析】证明：已知，
两直线平行，同位角相等，
已知，
同旁内角互补，两直线平行，
两直线平行，内错角相等，
等量代换；
故答案为；两直线平行，同位角相等；DG；同旁内角互补，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；
条件：，，
结论：DG平分，
证明：，
，，
，
，即DG平分．
故答案为；；答案不唯一
，
，，
，
，即DG平分．
根据平行线的判定定理和性质定理解答；
根据真命题的概念写出命题的条件和结论，根据平行线的判定定理和性质定理、角平分线的定义解答．
本题考查的是命题的真假判断、平行线的判定和性质，掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键．
 

22.【答案】解：上述问题有三种正确命题，分别是：
命题1：；命题2：；命题3：．

解：选择命题2：．
证明：，，．
平分，．
．
 

【解析】根据题意，结合平行线的性质，选择两个条件做题设，一个条件做结论，得到正确的命题．
任选一个命题，根据平行线的性质或角平分线的定义进行证明．
本题考查的是平行线的性质以及角平分线的性质，本题是一道探索性条件开放性题目，能有效地培养学生“执果索因”的思维方式与能力．
 

23.【答案】解：由得到；由得到；由得到；
，
，
，
，
，
，
所以由得到为真命题；
，
，
，
，
，
，
所以由得到为真命题；
，
，
，
，
，
，
所以由得到为真命题．
 

【解析】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．
分别以其中2个论断为条件，第3个论断为结论可写出3个命题；
根据平行线的判定与性质对3个命题分别进行证明，判断它们的真假．