初中数学华师大版八年级上册11.2 实数优秀习题
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11.2实数同步练习华师大版初中数学八年级上册
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
- 实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是
A. B. 0 C. D. 2b
- 在数中，有理数的个数为
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
- 若点B与点C到点A的距离相等，A、B两点对应的实数分别是和，则点C所对应的实数是
A. B. C. D.
- 如图，已知数轴上点P表示的数为，点A表示的数为1，过点A作直线l垂直于PA，在l上取点B，使，以点P为圆心，以PB为半径作弧，弧与数轴的交点C所表示的数为
A. B. C. D.
- 若，m、、的大小关系是
A. B. C. D.
- 在实数，，，中，无理数有
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
- 若点B与点C到点A的距离相等，A、B两点对应的实数分别是和，则点C所对应的实数是
A. B. C. D.
- 判断之值介于下列哪两个整数之间？
A. 3，4 B. 4，5 C. 5，6 D. 6，7
- 如图，数轴上A、B两点对应的实数分别是1和，若点B关于点A的对称点为点C，则点C所对应的实数为
A. B. C. D.
- 下列说法正确的是
的倒数是；的绝对值是m；无理数都是无限小数；实数可以分为有理数和无理数．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
- 实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是
A. B. C. D.
- 下列数轴上的点A都表示实数a，其中，一定满足的是
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
- 计算：______．
- 对于三个互不相等的数a，b，c，我们规定用b，表示这三个数的平均数，用b，表示这三个数中从小到大排中间的数．例如：2，，3，，则______，如果，那么______．
- 比较大小： ____填“”或“”或“”；
- 已知a是整数，且，则a的值是______．
- 对于实数m，n，定义运算若，则______．
三、解答题（本大题共6小题，共48.0分）
- 计算：
如图，在正五边形ABCDE中，CA与DB相交于点F，若，求BF．
|
- 点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离．
回答下列题：
数轴上表示1和5两点之间的距离是 ，数轴上表示2和的两点之间的距离是________．
数轴上表示x和的两点之间的距离表示为________．
若x表示一个有理数，则有最小值为______．
- 已知某正数的两个不同的平方根是和的立方根为是的整数部分．
求的值．
求十c的平方根．
- 阅读下面材料：若点A、B在数轴上分别表示实数a、b，则A、B两点之间的距离表示为AB，且；
回答下列问题：
数轴上表示x和2的两点A和B之间的距离是_______；
在的情况下，如果，那么x为_______；
代数式取最小值时，相应的x的取值范围是_______．
若点A、B、C在数轴上分别表示数a、b、c，a是最大的负整数，且，
直接写出a、b、c的值．
点A、B、C同时开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．
- 对x，y定义一种新运算T，规定：其中a，b均为非零常数，这里等式右边是通常的四则运算，例如：．
已知，．
求a、b的值；
若关于m的不等式组恰好有4个整数解，求实数p的取值范围；
若对任意实数x、y都成立这里和均有意义，则a、b应满足怎样的关系式？
- 阅读理解．
，即．
的整数部分为1，
的小数部分为．
解决问题：已知a是的整数部分，b是的小数部分．
求a，b的值；
求的平方根，提示：．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】
【分析】
此题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，要求学生正确根据数在数轴上的位置判断数的符号以及绝对值的大小，再根据运算法则进行判断．
由数轴可知，，化简即可解答．
【解答】
解：由数轴可知，，
，，，
故选：A．
2.【答案】B
【解析】解：在数中，
理数有，，，，共4个．
故选：B．
根据有理数的概念可判断出有理数的个数．
此题考查了有理数的定义及其分类．有理数都可以化为小数，其中整数可以看作小数点后面是零的小数，例；分数都可以化为有限小数或无限循环小数．有限小数和无限循环小数都可以化为分数，也就是说，一切有理数都可以用分数来表示．
3.【答案】D
【解析】解：设点C所对应的实数是x．
则有，
解得．
故选D．
设点C所对应的实数是根据中心对称的性质，即对称点到对称中心的距离相等，即可列方程求解即可．
本题考查的是数轴上两点间距离的定义，根据题意列出关于x的方程是解答此题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：，
，
，
点C的数为，
故选：B．
首先在直角三角形中，利用勾股定理可以求出线段PB的长度，然后根据即可求出OC的长度，接着可以求出数轴上点C所表示的数．
此题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，首先正确根据数在数轴上的位置判断数的符号以及绝对值的大小，再根据运算法则进行判断．
5.【答案】B
【解析】解：，可得，，
可得：．
故选：B．
根据，可得m越平方越小，，继而结合选项即可得出答案．
此题考查了不等式的性质及有理数的乘方，属于基础题，关键是掌握当时，m的指数越大则数值越小，难度一般．
6.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了无理数，无理数是无限不循环小数根据无理数是无限不循环小数可得答案．
【解答】
解：，是无理数，共2个
故选B．
7.【答案】D
【解析】解：设点C所对应的实数是x．
则有，
解得．
故选D．
设点C所对应的实数是根据中心对称的性质，即对称点到对称中心的距离相等，即可列方程求解即可．
本题考查的是数轴上两点间距离的定义，根据题意列出关于x的方程是解答此题的关键．
8.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查的是估算无理数的大小熟知估算无理数大小要用逼近法是解答此题的关键根据，估算出在哪两个整数之间，再根据不等式的基本性质即可得出结论．
【解答】
解：，
，
，
．
故答案为B．
9.【答案】A
【解析】
【分析】
此题主要考查了数轴上两点间的距离的计算方法以及对称的性质，解题关键利用对称的性质及数轴上两点间的距离求得即可解决问题．
【解答】
解：因为数轴上A、B两点对应的实数分别是1和，点B关于点A的对称点为点C，
所以，
则C所对应的实数为：．
故选A．
10.【答案】B
【解析】解：的倒数是，当时该结论不成立，故说法错误；
的绝对值是，当时m的绝对值是m，当时m的绝对值是，故说法错误；
无理数都是无限不循环小数，故说法正确；
实数可以分为有理数和无理数，故说法正确．
故选：B．
根据0没有倒数即可判定；
由于正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是其相反数，由此即可判定；
由于无理数是无限不循环小数，由此即可判定；
根据实数的分类即可判定．
本题考查倒数、绝对值、有理数、无理数、实数的概念．“0没有倒数”需要特别注意；绝对值的性质“正数的绝对值是其本身，负数的绝对值是其相反数，0的绝对值是0”；实数分为有理数和无理数．
11.【答案】B
【解析】解：，，选项不正确；
又，选项正确；
又，，选项不正确；
又，，选项不正确；
故选：B。
本题由图可知，a、b、c绝对值之间的大小关系，从而判断四个选项的对错。
本题主要考查了实数的绝对值有关的知识，关键是判断a，b，c的正负和绝对值。
12.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了有理数比较大小，根据绝对值的大小解题是关键．
根据绝对值是数轴上的点到原点的距离可得答案．
【解答】
解：若要一定满足，则点A在的左边，或点A在2的右边，
故选：B．
13.【答案】0
【解析】解：
故答案为：0．
首先计算开方，然后计算减法，求出算式的值是多少即可．
此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
14.【答案】0
【解析】解：，
，
当时，
解得，
则，，
，
满足题意；
当时，
解得，
则，，
而，
不合题意；
当时，
解得，
则，，
而，
不合题意，
故答案为：0，．
由题目定义可得；对，，分情况讨论计算可得．
此题考查了方程与不等式、分类讨论思想解决问题的能力，关键是能分情况计算、讨论出正确结果．
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了实数的大小比较，特别注意：两个负数作比较，绝对值大的反而小． 根据两个负数作比较，绝对值大的反而小进行判断即可．
【解答】
解：，
又，
，
故答案为．
16.【答案】3
【解析】解：，
，
．
故答案为3．
由可得，从而得出a的值．
本题考查无理数的估算，解题关键是将a与转化与进行比较．
17.【答案】
【解析】解：，
，，
，
，
解得，
故答案为：．
根据给出的新定义分别求出与的值，根据得出关于a的一元一次方程，求解即可．
本题考查解一元一次方程、新定义下实数的运算等内容，理解题干中给出的新定义是解题的关键．
18.【答案】解：原式
在正五边形ABCDE中，，，
，
，
，
，，
，，设，
，，
∽，
，
，
，
或舍弃，
．
【解析】根据负指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值，绝对值的性质计算即可．
首先证明，，设，利用相似三角形的性质，构建方程即可解决问题．
本题考查正多边形与圆，相似三角形的判定和性质，负指数幂，零指数幂，绝对值等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
19.【答案】解：数轴上表示2和5两点之间的距离是，数轴上表示1和的两点之间的距离是．
数轴上表示x和的两点之间的距离表示为．
有最小值5，
理由：表示数轴上x和2两点之间的距离
表示数轴上x和两点之间的距离
当且仅当时，两距离之和最小为5．
【解析】此题考查了数轴，以及绝对值，弄清题中的两点间距离公式是解本题的关键．
根据两点间的距离公式即可求解；
由表示数轴到表示2与表示的点距离之和，根据两点之间线段最短可得．
20.【答案】解：某正数的两个平方根分别是和，
，
，
又的立方根为，
，
，
又是的整数部分，，
，
；
；
当，，时，
，
的平方根是．
【解析】本题主要考查立方根、平方根及无理数的估算，解题的关键是熟练掌握平方根和立方根的定义．
由平方根的性质知和互为相反数，可列式，解之可得求出a值，根据立方根定义可得b的值，根据可得c的值，三个数相加即可求出结果；
分别将a，b，c的值代入中计算出结果，再利用平方根的定义可解答．
21.【答案】解：；
或5．
；
是最大的负整数，
．
，
，；
的值不随着时间t的变化而改变，其值是2，理由如下：
点A都以每秒1个单位的速度向左运动，点B和点C分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，
，，
．
【解析】
【分析】
本题考查了数轴与绝对值，通过数轴把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想．
根据两点之间的距离公式可得；根据距离公式得出关于x的绝对值方程，解之可得；
的最小值，意思是x到的距离与到2的距离之和最小，那么x应在和2之间的线段上；
先根据a是最大的负整数，求出a，再根据，即可求出a、b；先求出，，从而得出．
【解答】
解：数轴上表示x和2的两点A和B之间的距离是；
在的情况下，如果，，
解得：或，
故答案为；或5．
由数形结合得，
若取最小值，那么表示x的点在和2之间的线段上，
所以，最小值是3，
故答案为；
见答案；
见答案．
22.【答案】解：由题意得，，
解得；
由得，，
所以，
解得，
因为原不等式组有4个整数解，
所以，
解得；
，，
所以，
所以，
所以．
【解析】根据定义的新运算T，列出二元一次方程组，解方程组求出a，b的值；
根据求出的a，b的值和新运算列出方程组求出m的取值范围，根据题意列出不等式，解不等式求出实数p的取值范围；
根据新运算列出等式，整理可求出a，b应满足的关系式．
本题考查的是二元一次方程组的解法、一元一次不等式组的解法和一元一次不等式组的整数解的确定，掌握二元一次方程组的解法、一元一次不等式组的解法是解题的关键．
23.【答案】解：，
，
，
，；
，
的平方根是．
【解析】根据被开饭数越大算术平方根越大，可得a，b的值，
根据开平方运算，可得平方根．
本题考查了估算无理数的大小，利用被开饭数越大算术平方根越大得出是解题关键．
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