数学第14章 勾股定理14.1 勾股定理3 反证法精品练习题

14.1.3反证法同步练习华师大版初中数学八年级上册

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 下列说法中错误的是

A. 有一组邻边相等的矩形是正方形
B. 在反比例函数中，y随x的增大而减小
C. 顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形
D. 如果用反证法证明“三角形中至少有一个内角小于或等于”，首先应假设这个三角形中每一个内角都大于

2. 用反证法证明：“若，则”，应先假设

A.  B.  C.  D.

3. 用反证法证明“三角形中至少有一个角不小于”，应该先假设这个三角形中

A. 没有一个内角小于 B. 每一个内角小于
C. 至多有一个内角不小于 D. 每一个内角都大于

4. 若要运用反证法证明“若，则”，首先应该假设

A.  B.  C.  D.

5. 用反证法证明“在中，如果，那么”时，应假设   

A.  B.  C.  D.

6. 用反证法证明“同角的余角相等”时，应先假设   

A. 同角的余角不一定相等 B. 同角的余角不相等
C. 不相等的角的余角相等 D. 同角的余角可以相等

7. 已知中，，求证：，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤：
   ，这与三角形内角和为矛盾；因此假设不成立．；
   假设在中，；由，得，即．
   这四个步骤正确的顺序应是

A.  B.  C.  D.

8. 用反证法证明“如果一个整数的平方能被2整除，那么这个数是偶数”时，第一步应假设

A. 这个数是奇数 B. 这个数是分数
C. 这个数不能被2整除 D. 这个数不是2的倍数

9. 用反证法证明命题“在中，至多有一个内角是直角”时，应先假设

A. 为直角
B. 在中，有两个内角是直角或三个内角都是直角
C. 为钝角
D. 在中，有一个内角是直角

10. 已知：中，，求证：，下面写出了运用反证法证明这个命题的四个步骤：，这与三角形内角和为矛盾，因此假设不成立，，假设在中，，由，得，即这四个步骤正确的顺序应是

A.  B.  C.  D.

11. 用反证法证明命题“一个三角形中至多有一个角是直角”，应先假设这个三角形中

A. 至少有两个角是直角 B. 没有直角
C. 至少有一个角是直角 D. 有一个角是钝角，一个角是直角

12. 如果a与b是两个不相等的有理数，那么实数是    

A. 有理数  B. 无理数  C. 无法判断

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

13. 已知中，，求证：，运用反证法证明这个结论，第一步应先假设______成立．
14. 用反证法证明：两直线平行，同旁内角互补填空．
    已知：如图，，，都被所截．
    
    求证：．

证明：假设          ．

，

          ，

，这和          矛盾，

假设          不成立，即．

15. 命题：“三角形中至多有两个角大于60度”，用反证法第一步需要假设_________．
16. 用反证法证明“三角形的内角中最多有一个角是钝时应假设：          ．
17. 数学课上，同学提出如下问题：
    
    老师说这个证明可以用反证法完成，思路及过程如下：
    小贴士反证法不是直接从命题的已知得出结论，而是假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立．在某些情形下，反证法是很有效的证明方法．
    如图1，我们想要证明“如果直线AB，CD被直线所截EF，，那么”如图2，假设，过点O作直线，使，可得这样过点O就有两条直线AB，都平行于直线CD，这与基本事实______矛盾，说明的假设是不对的，于是有．
    请补充上述证明过程中的基本事实：______．

三、解答题（本大题共6小题，共48.0分）

18. 在学习中，小明发现：当，2，3时，的值都是负数于是小明猜想：当n为任意正整数时，的值都是负数小明的猜想正确吗请简要说明你的理由．
    
    
    
    
    
    
     
19. 平面上有n个点n为自然数，其中任何三点不在同一直线上．证明：一定存在三点，以这三点作为顶点的三角形中至少有一个内角不大于．
    
    
    
    
    
    
     
20. 试用举反例的方法说明下列命题是假命题．
    举例：如果，那么
    反例：设，，，而
    所以，这个命题是假命题．
    如果，那么；反例：
    如果a是无理数，b是无理数，那么是无理数反例：
    两个三角形中，两边及其中一边的对角对应相等，则这两个三角形全等反例：
    画出图形，并加以说明
    
    
    
    
    
    
     
21. 请用反证法证明：如果两个整数的积是偶数，那么这两个整数中至少有一个是偶数．
    
    
    
    
    
    
     
22. 利用反证法求证：一个三角形中不能有两个角是钝角．
    
    
    
    
    
    
     
23. 用反证法证明：如图，在中，，P是内的一点，且求证：．

答案和解析

1.【答案】B
 

【解析】解：A、有一组邻边相等的矩形是正方形，正确，不合题意；
B、在反比例函数中，每个象限内，y随x的增大而减小，故原说法错误，符合题意；
C、顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形，正确，不合题意；
D、如果用反证法证明“三角形中至少有一个内角小于或等于”，首先应假设这个三角形中每一个内角都大于，正确，不合题意；
故选：B．
直接利用正方形的判定方法以及中点四边形的判定方法、反证法的证明步骤，分别分析得出答案．
此题主要考查了正方形的判定方法以及中点四边形的判定方法、反证法，正确掌握相关判定与性质是解题关键．
 

2.【答案】D
 

【解析】解：用反证法证明“若，则”的第一步是假设，
故选：D．
根据反证法的一般步骤：先假设结论不成立进行解答．
本题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：假设结论不成立；从假设出发推出矛盾；假设不成立，则结论成立．
 

3.【答案】B
 

【解析】解：设三角形的三个角分别为：a，b，c．
假设，，，，
则，
即，与三角形内角和定理矛盾．
所以假设不成立，即三角形中至少有一个角不小于．
故选B．
由题意先假设三角形的三个角都小于，然后推出不成立．得出选项．
此题考查的知识点是反证法，解答此题的关键是由已知三角形中至少有一个角不小于假设都小于进行论证．
 

4.【答案】D
 

【解析】解：要运用反证法证明“若，则”，首先应该假设，
故选：D．
反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断；需注意的是的反面有多种情况，应一一否定．
本题考查的是反证法的应用，解此题关键要懂得反证法的步骤．反证法的步骤是：假设结论不成立、从假设出发推出矛盾、假设不成立，则结论成立．
 

5.【答案】A
 

【解析】用反证法证明“在中，如果，那么”时，应假设，故选A．
 

6.【答案】B
 

【解析】用反证法证明命题时要先假设原命题结论不成立，即本题假设同角的余角不相等故选B．
 

7.【答案】A
 

【解析】

【分析】
本题考查的是反证法，反证法的一般步骤是：假设命题的结论不成立；从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．根据反证法的一般步骤判断即可．
【解答】
解：运用反证法证明这个命题的四个步骤：假设在中，，
由，得，即，
，这与三角形内角和为矛盾，
因此假设不成立．，
故选D．  

8.【答案】A
 

【解析】解：用反证法证明一个命题成立，首先假设命题的否定成立．
“如果一个整数的平方能被2整除，那么这个数是偶数”的反面是“如果一个整数的平方能被2整除，那么这个数是奇数”．
故选：A．
用反证法证明一个命题成立，首先假设命题的否定成立．
本题考查了用反证法证明数学命题，要把所证的结论进行否定，证明反面不成立，从而证明所要证明的结论正确．
 

9.【答案】B
 

【解析】解：“最多有一个”的反面是“至少有两个”，反证即假设原命题的逆命题正确
应假设：至少有两个内角是直角．
故选：B．
反证法即假设结论的反面成立，“最多有一个”的反面为“至少有两个”．
此题主要考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，不需要一一否定，只需否定其一即可．
 

10.【答案】B
 

【解析】题目中“已知：中，，求证：”，
用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤应该为
假设在中， ，
那么由得，即，
，这与三角形内角和为矛盾，
因此假设不成立，．
故正确的顺序为，故选B．
 

11.【答案】A
 

【解析】解：用反证法证明“一个三角形中不能有两个角是直角”，应先假设这个三角形中有两个角是直角．
故选：A．
熟记反证法的步骤，然后进行判断．
此题考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：
假设结论不成立；
从假设出发推出矛盾；
假设不成立，则结论成立．
在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
 

12.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题考查了实数的概念及反证法的知识．
先假设是有理数，再证明与已知不符，假设不成立，进而判断是无理数．
【解答】
解：假设是有理数，

设其为A，即，

整理得：．

由已知得：，，

即，这与已知不符．所以原假设是有理数错误，

故是无理数．

故选：B．

13.【答案】
 

【解析】解：已知中，，
求证：，
运用反证法证明这个结论，第一步应先假设，
故答案为：，
反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，的反面是．
本题考查的是反证法的应用，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
 

14.【答案】

平角为

【解析】反证法的一般步骤：
假设命题的结论不成立
从这个假设出发，经过推理导出矛盾，从而得出假设不成立
由此肯定所证明的命题正确．
 

15.【答案】三个内角都大于60度
 

【解析】

【分析】
此题主要考查了反证法，正确掌握反证法的第一步是解题关键利用反证法证明的步骤，进而得出答案．
【解答】
解：用反证法证明命题“三角形中至多有两个角大于60度”，应先假设三个内角都大于60度．
故答案为三个内角都大于60度．  

16.【答案】三角形中至少有两个角是钝角
 

【解析】解：在反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，可据此进行填空．
 

17.【答案】经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行  经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行
 

【解析】解：假设，过点O作直线，使，依据基本事实同位角相等，两直线平行，可得这样过点O就有两条直线AB，都平行于直线CD，这与基本事实经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行矛盾，说明的假设是不对的，于是有．
故答案为：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．
直接利用反证法的基本步骤以及结合平行线的性质分析得出答案．
此题主要考查了反证法，正确掌握反证法的基本步骤是解题关键．
 

18.【答案】解：不正确．

解法一：利用反例证明例如：当时，．

解法二：，当时，，
在不等式两边分别乘n，得，即

【解析】本题主要考查了命题与证明的知识，通过此题可说明一点：学生在解答问题时不能太片面性，而要能够全面考虑问题．因为，所以只要时，该式子的值都表示非负数．
 

19.【答案】证明：如图，

在这n个点中，必存在这样的两点，使其它各点均在这两点所在直线同侧，设这两个点为、，其它各点按逆时针方向设为、．
假设以任意三点作为顶点的三角形中任意内角均大于，
则  ，  ，， ，
     
在  中，就一定有        ，
  和  一定有一个小于，矛盾．
假设不成立，即至少有一个内角不大于．

【解析】本题考查了三角形内角和定理，题目中的n个点中不妨设这两个点为、，采用反证法即可求证．根据三角形的内角和定理就可以证出．
 

20.【答案】解：取，，则，但所以此命题是假命题．

取，，a、b均为无理数．但是有理数，所以此命题是假命题．

如图所示，在与中，，，，但与显然不全等．
所以此命题是假命题．
 

【解析】此题是一道开放题，可举的例子多，但只举一例就可．如果，那么；所举的反例就是，a、b一个为正数，一个为负数，且正数的绝对值大于负数．
可利用平方差公式找这样的无理数，比如，两数相加就是有理数．
此题主要是利用全等三角形的判定来证明，在这里注意，没有边边角定理．
本题主要锻炼了学生的逆向思维．在证明几何题的过程中，有时需从反例上先去判断，然后再证明．
 

21.【答案】证明：假设这两个整数都是奇数，其中一个奇数为，另一个奇数为，、p为整数，
  则，
无论n、p取何值，都是奇数，这与已知中两个奇数的乘积为偶数相矛盾，
所以假设不成立，
这两个整数中至少一个是偶数．
 

【解析】首先假设这两个整数都是奇数，其中一个奇数为，另一个奇数为，利用多项式乘以多项式得出，进而得出矛盾，则原命题正确．
此题主要考查了反证法的证明以及多项式乘以多项式以及数的奇偶性，熟练掌握反证法证明步骤是解题关键．
 

22.【答案】证明：假设中A、B、中有两个角是钝角，不妨设A、为钝角，则，
这与三角形内角和定理相矛盾，故假设不成立，原命题正确，即一个三角形中不能有两个角是钝角．
 

【解析】略
 

23.【答案】证明：
假设如图，把绕点A逆时针旋转，使B与C重合，得到，连结PD．

，，

，

，

又，

，

，

即，

又，

，与矛盾，

不成立．
．

【解析】略