华师大版八年级上册2 定理与证明精品课时作业

13.1命题、定理与证明同步练习华师大版初中数学八年级上册

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 下列命题，正确的是

A. 三角形三条中线的交点到三角形三个顶点的距离相等
B. 三角形三条高线的交点到三角形三个顶点的距离相等
C. 三角形三条角平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等
D. 三角形三边中垂线的交点到三角形三个顶点的距离相等

2. 下列命题正确的个数是
   零向量与任何一个向量都是平行向量；
   如果且，那么；
   如果k是一个实数，是向量，那么的模是；
   如果非零向量，那么一定存在唯一的实数m，使．

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个．

3. 定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
   已知：如图，是的外角求证：．

下列说法正确的是

A. 证法1还需证明其他形状的三角形，该定理的证明才完整
B. 证法1用严谨的推理证明了该定理
C. 证法2用特殊到一般法证明了该定理
D. 证法2只要测量够一百个三角形进行验证，就能证明该定理

4. 下列命题：
   若点、满足，则点P在第二或第四象限；
   两条直线被第三条直线所截，同位角相等；
   是81的立方根；
   当时，式子有最小值，其最小值是3；
   其中真命题的有

A.  B.  C.  D.

5. 下列命题是假命题的是

A. 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么内错角的角平分线互相平行
B. 在实数、、4、、、中，有4个有理数，2个无理数
C. 在平面直角坐标系中，点在x轴上，则点P的坐标为
D. 不等式组的所有整数解的和为7

6. 下列命题中，正确的命题是

A. 3是9的算术平方根 B. 9的平方根是3
C. 的算术平方根是4 D. 内错角相等

7. 下列命题中，正确的有
   两点之间线段最短；
   连接两点的线段，叫做两点间的距离；
   角的大小与角的两边的长短无关；
   射线是直线的一部分，所以射线比直线短。

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

8. 在命题：平行四边形的对角线相等且互相平分；矩形的对角线相等且互相平分；菱形的对角线相等且互相平分；正方形的对角线相等且互相平分中，假命题的个数有

A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个

9. 下列命题是真命题的是

A. 对角线相等的四边形是矩形
B. 对角线互相平分且相等的四边形是正方形
C. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形
D. 对角线垂直的四边形是平行四边形

10. 给出下列4个命题：不是对顶角的两个角不相等；三角形最大内角不小于；多边形的外角和小于内角和；平行于同一直线的两条直线平行．其中真命题的个数是

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

11. 下列命题中，真命题的是

A. 内错角相等
B. 三角形的一个外角等于两个内角的和
C. 若，则
D. 若，则

12. 下列命题的逆命题成立的是

A. 平行四边形的对角线互相平分 B. 矩形的对角线相等
C. 菱形的对角线互相垂直 D. 正方形的对角线互相垂直且相等

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

13. 下列说法正确的是______．
    一个n边形的所有内角和等于，则n的值等于5；
    函数的自变量x的取值范围是．
    的立方根为2；
    如果关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是；
    对于命题“对顶角相等”，它的逆命题是真命题．
14. 对于命题“若，则”，下面四组关于a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是______．
    ，
    ，
    ，
    ，
15. 有下列命题：
    若且，则且；
    若且，则；
    一个锐角的补角比它的余角小．
    其中属于真命题的是______填序号．
16. 如图，若，则，这是______命题填“真”或“假”．

17. 如图，已知AD是的角平分线，，垂足为O，CE交AB于E，则下列命题：，，，，其中正确的是______．

三、解答题（本大题共6小题，共48.0分）

18. 写出下列命题的逆命题，并判断真假
    若，则；
    对顶角相等；
    等边三角形的三个内角都是．
    
    
    
    
    
    
     
19. 阅读材料，解决问题
    判断一个命题是假命题，只要举出一个例子反例，它符合命题的题设但不满足结论就可以了．例如要判断命题“同位角相等”是假命题，可以结合图形举出如下反例：
    如图，和是直线a、b被直线c所截而成的同位角，但它们一个是锐角，一个是钝角，明显不相等．
    请你举出一个反例说明命题“相等的角是对顶角”是假命题要求：画出相应的图形，并用文字语言或符号语言表述所举反例．
    
    
    
    
    
    
     
20. 嘉淇同学要证明命题“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”是正确的，她先用尺规作出了如图的四边形ABCD，并写出了如下不完整的已知和求证．
    
    填空，以补全已知和求证；
    按嘉淇的想法写出证明；
    用文字叙述所证命题的逆命题为______ ．
    证明：
    
    
    
    
    
    
     
21. 在数学课本中，有这样一道题：
    如图1，，试用不同的方法证明
    某同学写出了该命题的逆命题，请你帮他把逆命题的证明过程补充完整．
    已知：如图1，
    求证：
    证明：如图2，过点E，作
    ______
    ，已知
    等量代换
    ____________等式性质
    ______
    
    平行于同一条直线的两条直线互相平行
    如图3，已知，在的平分线上取两个点M、N，使得，求证：．
    如图4，已知，点E在BC的左侧，，的平分线相交于点请直接写出与之间的等量关系．

22. 解决教材中的问题：如图，，则______用“”、“”或“”填空；
    倒过来想：写出中命题的逆命题，判断逆命题的真假并说明理由．
    灵活应用：如图，已知，在的平分线上取两个点M、N，使得，求证：．

23. 已知：如图，，，，试确定AB与CD的位置关系，并说明理由．
     

在的条件下，若图形变化为如图、图所示，且满足，那么AB与CD还满足上述关系吗若满足，选择一个图形进行证明．

答案和解析

1.【答案】D
 

【解析】解：A、三角形三条中线的交点到三角形三个顶点的距离相等，错误，本选项不符合题意．
B、三角形三条高线的交点到三角形三个顶点的距离相等，错误，本选项不符合题意．
C、三角形三条角平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，错误，本选项不符合题意．
D、三角形三边中垂线的交点到三角形三个顶点的距离相等，正确，本选项符合题意．
故选：D．
根据三角形的外心是各边垂直平分线的交点，即可判断．
本题考查命题与定理，三角形的中线，角平分线，高，中垂线等知识，解题的关键是掌握三角形的外心是各边垂直平分线的交点．
 

2.【答案】D
 

【解析】解：零向量与任何一个向量都是平行向量，正确．
如果且，那么，正确．
如果k是一个实数，是向量，那么的模是，正确．
如果非零向量，那么一定存在唯一的实数m，使，正确．
故选：D．
根据零向量与任何向量平行，向量的模的性质一一判断即可．
本题考查命题与定理，平面向量等知识，解题的关键是掌握零向量的性质，向量的模的性质，属于中考常考题型．
 

3.【答案】B
 

【解析】解：证法1按照定理证明的一般步骤，从已知出发经过严谨的推理论证，得出结论的正确，具有一般性，无需再证明其他形状的三角形，
的说法不正确，不符合题意；
证法1按照定理证明的一般步骤，从已知出发经过严谨的推理论证，得出结论的正确，
的说法正确，符合题意；
定理的证明必须经过严谨的推理论证，不能用特殊情形来说明，
的说法不正确，不符合题意；
定理的证明必须经过严谨的推理论证，与测量次解答数的多少无关，
的说法不正确，不符合题意；
综上，B的说法正确．
故选：B．
依据定理证明的一般步骤进行分析判断即可得出结论．
本题主要考查了三角形的外角的性质，定理的证明的一般步骤．依据定理的证明的一般步骤分析解答是解题的关键．
 

4.【答案】C
 

【解析】解：若点、满足，则点P在第二或第四象限，正确．
两条直线被第三条直线所截，同位角相等，错误，两条直线不一定平行．
是81的立方根，错误．
当时，式子有最小值，其最小值是3，正确．
故选：C．
正确，根据第二，第四象限点的特征判断即可．
错误．根据平行线的性质判断即可．
错误．根据立方根的定义判断即可．
正确．根据的最大值为3，判断即可．
本题考查命题与定理，平行线的性质，平面直角坐标系中点的特征，立方根，最值问题等知识，解题的关键是掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

5.【答案】C
 

【解析】解：A、两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么内错角的角平分线互相平行，是真命题；
B、在实数、、4、、、中，有4个有理数，2个无理数，是真命题；
C、在平面直角坐标系中，点在x轴上，，，则点P的坐标为，原命题是假命题；
D、不等式组的所有整数解的和为7，是真命题；
故选：C．
根据平行线的判定、无理数、平面直角坐标系和不等式组的解判断即可．
本题考查了命题与定理：命题写成“如果，那么”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
 

6.【答案】A
 

【解析】解：A、3是9的算术平方根，是真命题，本选项符合题意．
B、9的平方根是3，是假命题，应该是9的平方根是，本选项不符合题意．
C、的算术平方根是4，是假命题，应该是的算术平方根是2，本选项不符合题意．
D、内错角相等，是假命题，条件是两直线平行，本选项不符合题意，
故选：A．
根据平方根，算术平方根的定义以及平行线的性质一一判断即可．
本题考查命题与定理，平方根，算术平方根，平行线的性质等知识，解题的关键是掌握平方根，算术平方根的定义，属于中考常考题型．
 

7.【答案】B
 

【解析】解：两点之间线段最短，正确，符合题意；
连接两点的线段的长度，叫做两点间的距离，错误，不符合题意；
角的大小与角的两边的长短无关，正确，符合题意；
射线是直线的一部分，所以射线比直线短，错误，不符合题意，
正确的有2个，
故选：B。
利用线段的性质、角的定义等知识分别判断后即可确定正确的选项。
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解线段的性质、角的定义等知识，难度不大。
 

8.【答案】C
 

【解析】解：平行四边形的对角线相等且互相平分，错误，应该的平行四边形的对角线互相平分，是假命题．
矩形的对角线相等且互相平分，正确，是真命题．
菱形的对角线相等且互相平分，错误，应该的菱形的对角线垂直且互相平分，是假命题．
正方形的对角线相等且互相平分，正确，是真命题．
故选：C．
根据平行四边形的性质，矩形的性质，菱形的性质，正方形的性质一一判断即可．
本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
 

9.【答案】C
 

【解析】解：A、对角线相等的四边形是矩形，是假命题，等腰梯形的对角线相等，不是矩形．本选项不符合题意．
B、对角线互相平分且相等的四边形是正方形，是假命题，应该是对角线互相平分且相等的四边形是矩形．本选项不符合题意．
C、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，是真命题，本选项符合题意．
D、对角线垂直的四边形是平行四边形，是假命题，一般四边形的对角线也可能垂直，本选项不符合题意．
故选：C．
根据平行四边形，矩形，正方形，菱形的判定方法一一判断即可．
本题考查命题与定理，平行四边形，矩形，正方形，菱形的判定方法等知识，解题的关键是熟练掌握特殊四边形的判定方法，属于中考常考题型．
 

10.【答案】B
 

【解析】解：不是对顶角的两个角不相等，错误．相等的角不一定是对顶角．
三角形最大内角不小于，正确．
多边形的外角和小于内角和，错误，也可能相等．
平行于同一直线的两条直线平行．正确．
故选：B．
根据对顶角的定义以及性质判断即可．
利用三角形内角和定理判断即可．
利用多边形内角和定理判断即可．
根据平行线的判定方法判断即可．
本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
 

11.【答案】C
 

【解析】解：A、内错角相等．错误，缺少两直线平行的条件，本选项不符合题意．
B、三角形的一个外角等于两个内角的和，错误，应该是三角形的一个外角等于和它不相邻两个内角的和，本选项不符合题意．
C、若，则，正确，本选项符合题意．
D、若，则，错误，应该是．
故选：C．
根据平行线的性质，三角形的外角的性质，绝对值，解方程等知识一一判断即可．
本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
 

12.【答案】A
 

【解析】解：A、平行四边形的对角线互相平分的逆命题：对角线互相平分的四边形是平行四边形，是真命题，本选项符合题意．
B、矩形的对角线相等的逆命题：对角线相等的四边形是矩形，是假命题，本选项不符合题意．
C、菱形的对角线互相垂直的逆命题：对角线互相垂直的四边形是菱形，是假命题，本选项不符合题意．
D、正方形的对角线互相垂直且相等的逆命题：对角线互相垂直且相等的四边形是正方形，是假命题，本选项不符合题意．
故选：A．
根据逆命题的定义，写出逆命题，一一判断即可．
本题考查命题与定理，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，菱形的判定和性质，正方形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握特殊四边形的判定和性质，属于中考常考题型．
 

13.【答案】
 

【解析】解：一个n边形的所有内角和等于，
，
，故正确；
函数的自变量x的取值范围是，
解得且．
自变量x的取值范围是且；故错误；
的立方根为2；故正确；
关于x的一元二次方程有实数根，
，
，
则m的取值范围是，故正确；
对于命题“对顶角相等”，它的逆命题是假命题，故错误，
故答案为：．
根据多边形的内角和定理，函数自变量的取值范围，立方根的定义，根的判别式，对顶角的性质判断即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根．也考查了实数、单项式和多边形．
 

14.【答案】
 

【解析】解：，，满足，，不能说明命题是假命题．
，，满足，，能说明命题是假命题．
，，满足，，不能说明命题是假命题．
，，不满足，不能说明命题是假命题．
故答案为：
通过计算判定，满足，不满足，即可．
本题考查命题与定理，解题的关键是理解用反例说明命题是假命题．
 

15.【答案】
 

【解析】解：若且，则且，是真命题．
若且，则；是假命题，a，b可以是负数．
一个锐角的补角比它的余角小是假命题，应该是大，
故答案为：
根据有理数的运算法则，判断即可．
根据补角，余角的定义，判断即可．
本题考查命题与定理，解题的关键是掌握有理数的运算法则，补角，余角的定义等知识，属于中考常考题型．
 

16.【答案】假
 

【解析】解：由，推不出，理由是，与不是同位角．
故是假命题，
故答案为：假．
根据平行线的判定方法判断即可．
本题考查命题与定理，两条直线的位置关系等知识，解题的关键是掌握平行线的判定方法．
 

17.【答案】
 

【解析】解：是的角平分线，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
故正确，
故答案为：
证明，推出，利用等腰三角形的性质，可得结论．
本题考查等腰三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是证明，利用等腰三角形的性质解决问题．
 

18.【答案】解：逆命题是：若，则，是假命题；
逆命题是：相等的两个角是对顶角，是假命题；
逆命题是：三个角都是的三角形是等边三角形，是真命题．
 

【解析】把命题的题设和结论互换即可得到逆命题，然后判断正误即可；
把命题的题设和结论互换即可得到逆命题，然后判断正误即可；
把命题的题设和结论互换即可得到逆命题，然后判断正误即可．
本题考查逆命题的写法，正确确定原命题的题设和结论是关键．
 

19.【答案】解：如图，，但是与不是对顶角．

故相等的角是对顶角是假命题．
 

【解析】结合图形举出反例即可．
本题考查命题与定理，真命题与假命题等知识，解题的关键是学会举例说明命题是假命题．
 

20.【答案】平行四边形的对边相等
 

【解析】解：；平行．
证明：连接BD．

在和中，
，
≌，
，，
，，
四边形ABCD是平行四边形．

逆命题为：平行四边形的对边相等．
根据命题的题设和结论解决问题即可．
利用全等三角形的判定和性质证明即可．
交换命题的题设和结论，写出逆命题即可．
本题考查命题与定理，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是理解命题的定义．
 

21.【答案】BEF  C  CEF  CD
 

【解析】证明：如图2，过点E，作，
，
，已知，
等量代换，
等式性质，
，
，
平行于同一条直线的两条直线互相平行；
故答案为：BEF，C，CEF，CD；
证明：过点N作，交BM于点G，如图3所示：
则，
，，
是的一个外角，
，
又，，
，
，
平分，
，
；
解：，
理由：如图4，分别过E，F作，，则，，
，，
，
同理可得，
，的平分线相交于点F，
，，
．
过E作，则，证出，得出，即可得出结论；
过点N作，交BM于点G，则，由平行线的性质得出，，由三角形的外角性质得出，证出，得出，由角平分线得出，即可得出结论；
如图4，分别过E，F作，，则，，
根据平行线的性质和角平分线的定义即可得到结论．
本题考查了命题与定理、平行线的性质与判定、逆命题、三角形的外角性质、角平分线定义等知识；熟练掌握平行线的判定与性质，作出辅助平行线是解决问题的关键．
 

22.【答案】
 

【解析】解：过E作，如图所示：
则，
，，
，
即；
故答案为：；
解：逆命题为：若，则；
该逆命题为真命题；理由如下：
过E作，如图所示：
则，
，，
，，
，
，
，
；
证明：过点N作，交AM于点G，如图所示：
则，
，，
是的一个外角，
，
又，，
，
，
平分，
，
．
过E作，则，由平行线的性质得出，，即可得出结论；
过E作，则，证出，得出，即可得出结论；
过点N作，交AM于点G，则，由平行线的性质得出，，由三角形的外角性质得出，证出，得出，由角平分线得出，即可得出结论．
本题考查了命题与定理、平行线的性质与判定、逆命题、三角形的外角性质、角平分线定义等知识；熟练掌握平行线的判定与性质，作出辅助平行线是解决问题的关键．
 

23.【答案】解：．

理由：如图，过点E作，

则，
，

，
 ，
，
．
，
，
 ，
．

满足选择题图进行证明，过程如下：
如图，过点E作， 

B. 
， 
 
， 
，
又，
 
，
， 
，
选另一个图形证明也可，过程略

【解析】见答案