数学必修 第一册2.2 函数的表示法教案设计

函数的表示法

【教材分析】

根据函数的定义，函数有三种最常用的表示法：解析法、列表法、图象法，这三种表示法在体现函数性质方面各有优势，根据不同情况采用适当的函数表示形式，有助于深入理解相关函数的性质，养成运用函数知识解决实际问题的习惯。掌握函数三种形式的相互转换，为进今后学习新的函数（指数函数、对数函数等）的性质做好知识和方法准备。

【教学目标与核心素养】

1．知识目标：掌握函数的三种表示法：解析法、列表法、图象法；灵活运用函数的三种表示法研究函数的性质；熟练作出部分常见函数（分段函数、取整函数、绝对值函数等）的图象；掌握函数的相关运算、函数解析式的求解方法等。

2．核心素养目标：熟练掌握函数的三种表示法，利用函数图象研究函数性质，提高学生的数学运算能力和直观想象能力。

【教学重难点】

1．函数的三种表示法：解析法、列表法、图象法；

2．准确作出部分常见函数（分段函数、取整函数、绝对值函数等）的图象；

3．函数的相关运算、函数解析式的求解方法等。

【课前准备】

多媒体课件

【教学过程】

一、知识引入

提到“函数”，同学们立刻想到的是什么？

可能是初中学过的形如“、、”，这些正比例函数、一次函数、二次函数等等。这些都是解析式形式的函数。

思考讨论：

如图，是我国最大的水库——三峡水库上游某个地区年降雨量的统计图，图中表示了年号与降雨量之间的对应关系，那么它们是不是函数关系呢？能不能用精确的解析式表示呢？

提示：是函数关系，但没有精确的函数解析式。

二、新知识

函数的三种表示法：解析法、列表法、图象法

将变量的函数关系用代数式表示，是函数表示方法的解析法；用表格给出变量之间的函数对应关系，是函数表示方法的列表法；用图形给出变量之间的函数对应关系，是函数表示方法的图象法。

上图分别是用列表法、图象法表示的列车时刻表和成绩变化图。

注意：①函数的三种表示法各有优势．

解析法：变量之间的关系明确，便于精确计算，但不够直观，某些函数无法用解析式表示；

列表法：变量之间的对应关系直观、明了，不需计算，但数据量有限；

图象法：直观地显示出变量的关系、变化规律和函数的性质，使抽象的函数具体化，但无法进行精确运算，如求函数定义域、求精确的函数值等。

②灵活运用函数的三种表示法，可以清楚、全面的了解函数的性质．

“描点法”作函数图象的一般步骤：解析式（得到函数定义域等），列表（算出一些对应值），描点连线（光滑曲线连接）。

③并非所有函数都有解析式，也并非所有函数都能画出图象，如狄利克雷函数：

．

例3．画出函数的图象．

解：函数的定义域为，由绝对值的定义，，画出图象，其图象为第一、二象限的角平分线。

例4．设是任一实数，表示不超过的最大整数，如、、、等等，我们把函数叫作取整函数（高斯函数）。试画出取整函数的局部图象．

解：根据题意，函数的定义域为，值域为．

．

思考讨论（综合练习）

（1）根据条件，求函数解析式．

①；

②；

③

④已知是一元二次函数，且满足；．

（2）若函数的定义域为，值域为，求实数的取值范围．

提示：（1）①设，则，得

所以；

②设，则，得，

则

所以；

③由均值不等式，，，

所以；

④设，由，则，即

又，即

得

则，解得

所以．

（2）作出一元二次函数的图象．

抛物线对称轴，函数的最小值，如图

所以实数的取值范围．

三、课堂练习

教材P55，练习1、2、3、4、5．

四、课后作业

教材P56，习题2-2，A组第3题，B组第2、3、4题．

【教学反思】

函数的图象法表示，是函数表示中非常重要的一种表示方法，它直观、具体地反映了函数的性质，弥补了数、式的枯燥与抽象，是“数形结合”思想方法的主要内容之一，不仅在研究函数中经常使用，在日常生活中用途也非常广泛。