2020-2021学年2.1 对数的运算性质教案及反思

对数的运算性质

【教学目标】

1．掌握对数的运算性质。

2．理解对数的运算性质推导过程。

3．通过推导对数运算性质的过程，提升数学运算素养。

【教学重难点】

1．掌握对数的运算性质。

2．理解对数的运算性质推导过程。

【教学过程】

一、基础铺垫

对数与指数概念之间的联系，决定了对数运算与指数运算之间的密切相关性。

若a>0，且a≠1，M>0，N>0，则

(1)loga(MN)＝logaM＋logaN；

(2)logaMn＝nlogaM(n∈R)；

(3)loga＝logaM－logaN。

二、新知探究

1．对数运算性质

【例】求下列算式的值。

2log32－log3＋log38＋3log5。

[解]原式＝log34－log3＋log38－3log55

＝log3－3＝log39－3＝2－3＝－1．

【教师小结】

对数的计算一般有两种处理方法：一种是将式中真数的积、商、幂、方根运用对数的运算法则将它们化为对数的和、差、积、商，然后化简求值；二是将式中的对数的和、差、积、商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值。

2．对数运算性质的应用

[探究问题]

（1）已知a＝2lg 3，b＝3lg 2，则a，b的大小关系是什么？

提示：∵lg a＝lg 2lg 3＝lg 3lg 2，lg b＝lg 3lg 2＝lg 2lg 3．

∴lg a＝lg b

∴a＝B．

（2）设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m的值是什么？

提示：由2a＝5b＝m，取对数得alg 2＝blg 5＝lg m，

∴a＝，b＝，又＋＝2，

∴＋＝2，

∴＝2．

∴lg m＝，

∴m＝10＝。

【例】  已知x，y，z∈(0，＋∞)且3x＝4y＝6z。

求证：＝－。

[思路探究]  令3x＝4y＝6z＝m，通过取对数，把x，y，z表示出来，再求解。

[解]  令3x＝4y＝6z＝m，

则xlg 3＝ylg 4＝zlg 6＝lg m

∴x＝，y＝，z＝，

∴－＝－＝＝。

【教师小结】

取对数可以把乘方、开方、乘、除运算转化为乘、除、加、减运算，即取对数起到把运算降级的作用，便于运算。

三、课堂检测

1．(lg 2)2＋lg 2lg 50＋lg 25＝________。

2[(lg 2)2＋lg 2lg 50＋lg 25＝lg 2·(lg 2＋lg 50)＋(lg 5)2

＝lg 2·lg 100＋2lg 5

＝2lg 2＋2lg 5

＝2(lg 2＋lg 5)＝2lg 10＝2．]

2．计算：(1)31＋log3；(2)log2(23×45)

[解]  (1)31＋log3＝3×3log3＝3×＝3；

(2)log2(23×45)＝log2(23×210)＝log2213

＝13log22

＝13×1＝13．