北师大版 (2019)必修 第一册3.1 对数函数的概念教案及反思

对数函数的概念

【教学目标】

通过对数函数的概念及反函数概念的学习，培养数学抽象素养。

【教学重难点】

1．理解对数函数的概念以及对数函数与指数函数间的关系。（重点）

2．了解指数函数与对数函数互为反函数，并会求指数函数或对数函数的反函数。(难点)

【教学过程】

一、基础铺垫

1．对数函数的定义

一般地，我们把函数y＝logax(a>0，a≠1)叫作对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)，值域是R，a叫作对数函数的底数。

2．两类特殊的对数函数

常用对数函数：y＝lg x，其底数为10.

自然对数函数：y＝ln x，其底数为无理数e。

3．反函数

阅读教材P90从“分析理解”～P91“练习”间的部分，完成下列问题。

指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)是对数函数y＝logax(a＞0，a≠1)的反函数；同时，对数函数y＝logax(a＞0，a≠1)也是指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的反函数，即同底的指数函数与对数函数互为反函数。

二、新知探究

1．对数函数的概念

【例1】  下列函数中，哪些是对数函数？

(1)y＝loga(a>0，且a≠1)；

(2)y＝log2x＋2；

(3)y＝8log2(x＋1)；

(4)y＝logx6(x>0，且x≠1)；

(5)y＝log6x。

[解]  (1)中真数不是自变量x，不是对数函数。

(2)中对数式后加2，所以不是对数函数。

(3)中真数为x＋1，不是x，系数不为1，故不是对数函数。

(4)中底数是自变量x，而非常数，所以不是对数函数。

(5)中底数是6，真数为x，系数为1，符合对数函数的定义，故是对数函数。

【教师小结】

判断一个函数是对数函数的方法

2．求函数的反函数

【例2】  求下列函数的反函数。

(1)y＝10x；      (2)y＝x；

(3)y＝logx；  (4)y＝log2x。

 [解]  (1)由y＝10x，得x＝lg y，∴其反函数为y＝lg x；

(2)由y＝x，得x＝logy，∴其反函数为y＝logx；

(3)由y＝logx，得x＝y，∴其反函数为y＝x；

(4)由y＝log2x，得x＝2y，∴其反函数为y＝2x。

【教师小结】反函数的求法：

（1）由y＝ax或y＝logax，解得x＝logay或x＝ay；

（2）将x＝logay或x＝ay中的x与y互换位置，得y＝logax或y＝ax；

（3）由y＝ax或y＝logax的值域，写出y＝logax或y＝ax的定义域。

三、课堂总结

1．解与对数有关的问题，首先要保证在定义域范围内解题，即真数大于零，底数大于零且不等于1，函数定义域的结果一定要写成集合或区间的形式。

2．指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数，它们定义域与值域相反，图像关于直线y＝x对称。

3．应注意数形结合思想在解题中的应用。

四、课堂检测

1．思考辨析

(1)函数y＝2log2x是对数函数。(    )

(2)函数y＝3x的反函数是y＝x。(    )

(3) 对数函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数。(    )

[答案]  (1)×  (2)×  (3)√

2．函数f(x)＝lg(2－3x)的定义域是________。

  [由2－3x>0，得x<，所以，f(x)的定义域是。]

3．函数y＝logx的反函数是________。

y＝x  [由y＝logx，得x＝y，所以，其反函数为y＝x。]