沪教版高中二年级 第二学期12.4椭圆的性质教案

这是一份沪教版高中二年级 第二学期12.4椭圆的性质教案，共4页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学过程，作业布置等内容，欢迎下载使用。

【教学目标】
掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率这四个几何性质，掌握标准方程中a、b以及c、e的几何意义，a、b、c、e之间的相互关系，明确怎样用代数的方法研究曲线的几何性质。
【教学重难点】
椭圆的简单几何性质的应用。
【教学过程】
一、复习引入。
问题1：椭圆的标准方程是怎样的？
问题2：在直角坐标系内，关于x轴、y轴、原点对称的点的坐标之间有什么关系？
二、探索研究。
1．椭圆的几何性质。
根据曲线的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形，是解析几何的基本问题之一。根据曲线的条件列出方程。如果说是解析几何的手段，那么根据曲线的方程研究曲线的性质、画图、就可以说是解析几何的目的。
下面我们根据椭圆的标准方程来研究椭圆的几何性质。
（1）范围。
引导学生从标准方程，得出不等式，，即，。这说明椭圆的直线和直线所围成的矩形里（如图），注意结合图形讲解，并指出描点画图时，就不能取范围以外的点。
（2）对称性。
设问：为什么“把换成，或把换，或把、同时换成、时，方程解不变。则图形关于轴、轴或原点对称”呢？
事实上，在曲线方程里，如果把换成，而方程不变，那么当点在曲线上时，点关于轴的对称点也在曲线上，所以曲线关于轴对称。类似地可以证明其他两个命题。
同时应向学生指出：如果曲线具有关于轴对称，关于轴对称和关于原点对称中的任意两种，那么它一定具有另一种对称。
最后强调：轴、轴是椭圆的对称轴。原点是椭圆的对称中心即椭圆中心。进而说明椭圆的中心是焦点连线的中点，对称轴是焦点的连线及其中垂线与坐标系无关。因而是曲线的固有性质。
（3）顶点。
引导学生从椭圆的标准方程分析它与轴、轴的交点，只须令得，点、是椭圆与轴的两个交点；令得，点、是椭圆与轴的两个交点。应该强调：椭圆有四个顶点、、、。
同时还需指出：
线段和分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于和；
、的几何意义：是椭圆长半轴的长，是椭圆短半轴的长。
椭圆的顶点即是椭圆与对称轴的交点，一般二次曲线的顶点即是曲线与其对称轴的交点。
小结：由椭圆的范围，对称性和顶点，再进行描点画图，只须描出较少的点，就可以得到较正确的图形。
（4）离心率。
椭圆的焦距与长轴长的比，叫做椭圆的离心率。
离心率的取值范围：∵，∴。
再结合图表分析离心率的大小对椭圆形状的影响：
当趋近于1时，趋近于，从而越小，因此椭圆越扁平；
当趋近于0时，趋近于0，从而趋近于，因此椭圆越接近于圆。
2．例题分析。
例1：求椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法画出它的图形。
例2：求适合下列条件的椭圆的标准方程。
（1）经过点，；
（2）长轴长等于20，离心率等于。
3．总结提炼。
【作业布置】
1．椭圆的长轴的端点坐标是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．椭圆与的关系为（ ）
A．有相等的长、短轴 B．有相等的焦距
C．有相同的焦点 D．有相同的准线
3．中心在原点、焦点在轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
4．椭圆的长轴长为______________，短轴长为_______________，焦点坐标为_______________，离心率为_______________。
5．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）椭圆经过两点，；
（2）长轴是短轴的3倍，椭圆经过点；
（3）离心率等于0.8，焦距是8。
方程。
。
。
图形。
范围。
，。
，。
对称性。
关于轴、轴、坐标原点对称。
关于轴、轴、坐标原点对称。
顶点。
，。
，。
，。
，。
离心率。
。