高中数学沪教版高中二年级第二学期11.2直线的倾斜角和斜率教案

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这是一份高中数学沪教版高中二年级第二学期11.2直线的倾斜角和斜率教案，共10页。

教
材
分
析
本课是人教版数学必修第一节直线的倾斜角与斜率的第一课时，是高中解析几何内容的开始。直线倾斜角和斜率是解析几何的重要概念之一，是刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示，是平面直角坐标系内以坐标法（解析法）的方式来研究直线及其几何性质（如直线位置关系、交点坐标、点到直线距离等）的基础。通过该内容的学习，帮助学生初步了解直角坐标平面内几何要素代数化的过程，初步渗透解析几何的基本思想和基本研究方法。本课有着开启全章，奠定基调，渗透方法的作用。直线倾斜角是描述直线倾斜程度的几何要素，课本结合具体图形，在探索确定直线位置的几何要素中给出直线倾斜角概念：当直线与x轴相交时，取x轴作基准，x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角，当直线与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为零。
直线的斜率是后继内容展开的主线，无论是建立直线的方程，还是研究两条直线的位置关系，以及讨论直线与二次曲线的位置关系，直线的斜率都发挥着重要作用。因此，正确理解斜率概念，熟练掌握斜率公式是学好这一章的关键。“坐标法”思想与数形结合思想是本课内容蕴含的核心思想。
教
学
分
析
授课班级中，大部分学生有一定的学习能力，数学基础较好，部分学生喜欢学数学。虽然学生能用数学语言表达自己的观点，但是这种表述大多时候仅仅停留在感性层面，不严谨，不完整，学生还没有独立抽象、概括出一个新概念的能力。在此之前，学生已经接触过直线：平面内，两点确定一条直线；一次函数的图象是不与x轴，y轴平行或重合的直线。同时他们也接触过坡度的概念。这些就为倾斜角和斜率概念的得出打下了基础。
教
学
目
标
1．知识与技能：
正确理解直线的倾斜角和斜率概念，并能应用过两点的直线的斜率公式解决简单问题。
2．过程与方法：
通过直线倾斜角概念的引入和直线倾斜角和斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学表达能力，数学交流与评价能力。
3．态度情感与价值观：
通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度。
教
学
重
点
抽象概括直线的倾斜角和斜率概念，探究发现过两点的直线的斜率公式。
教
学
难
点
倾斜角概念形成，斜率概念的理解。
教学
手段
多媒体课件
教学方法
师生互动、引导学生主动发现探索
教学过程
教学
环节
教学内容
师生互动
设计意图
导
入
1．在初中，不与坐标轴平行的直线可以用一次函数来表示，这样就把对图形的研究转化为对函数的研究，这里沟通数形关系的桥梁是坐标系。这种以坐标系为桥梁，把几何问题转化为代数问题，通过代数运算研究几何图形性质的方法，叫坐标法。用坐标法研究几何的学科称为解析几何，它是17世纪法国数学家笛卡儿和费马创立的。
2．问题：直线上点的坐标与方程的解之间有什么关系？
问题：如何用代数的方法表示平面中简单图形——直线？
生：相互讨论完成引例。
师：引导学生分析归纳概括得出结论。
师生：共同总结出直线方程的概念。
设计意图：通过对已有知识及思想方法的回忆，寻找新的知识“生长点”，引导学生用“坐标法”的思想来思考新的问题。
同时使学生明确本课学习的内容。
探
究
新
知
问题：如图1，对于平面直角坐标系内的一直线l，你认为它的位置由哪些条件确定？
问题：如图2，在直角坐标系中，过点P1的不同直线的区别在哪里？
指定学生回答，教师给与补充、纠正
师生：引导学生发现：两点确定一条直线，过一点不能确定一条直线。
明确思维方向，探索确定直线位置的几何要素。
引导学生发现过定点的不同直线，其倾斜程度不同。从而发现直线上一点和直线的倾斜程度也能确定一条直线。
概
念
形
成
问题：在直角坐标系中，任何一条直线与x轴都有一个相对倾斜度，可以用一个什么几何量来反映一条直
线与x轴的相对倾斜程度呢？
依倾斜角的定义，倾斜角的范围是什么？
生：观察图形，相互讨论，但是在倾斜角定义得出时会有困难。
师：给学生鼓励、引导，师生共同得出倾斜角概念。
从实例入手，引出用倾斜角的正切值表示斜率。
探索描述直线的倾斜程度的几何要素，由此引出倾斜角的概念。
让学生明确倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°
告知目标，明确思维的方向，将几何要素代数化。
组
织
探
究
组
织
探
究
组
织
探
究
1．问题：我们已经给出了确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素，那么如何用代数的语言描述上述几何要素呢？
在日常生活中，我们有没有碰到过表示倾斜程度的量？
2．问题：（1）观察图中楼梯，我们发现坡越陡，坡面与地平面所成的角越大，你认为这个角的变化与图中哪个数量变化有关？坡面与地平面所成的角不变的情况下，升高量和前进量都在变化，那么你认为这个角的变化与升高量和前进量之间究竟是怎样的关系？能不能用一个数学式子来表示它们之间的关系？
3．问题：从上面的讨论，我们发现，如果使用“倾斜角”的概念，“坡度”实际就是“倾斜角α的正切值”，由此你认为还可以用怎样的量来刻画直线的倾斜程度？
师：引导学生在生活中举例，山坡，楼梯等，教师楼梯的教学情景。
生：探索、交流。用数学语言表达自己的发现。
基于学生的客观现实，结合已有的生活经验寻找几何要素代数化的方法。
探索描述直线的倾斜程度的代数表示，由此引出斜率概念
4．任何一条直线都有倾斜角吗？不同的直线其倾斜角一定不相同吗？
是否每条直线都有斜率？倾斜角不同，斜率是否相同？
（倾斜角与斜率一一对应吗？）
学生自己完成然后教师组织同桌间互相交流，共同得出结论。
教师指定学生强调易犯的错误
沟通数形关系，充分利用正切函数的图象，加深概念理解。明确可以用斜率表示直线的倾斜程度。但根据正切函数的定义域，并非所有的直线都有斜率
5．推导过两点的直线的斜率公式：
问题：两点确定一条直线，直线确定，倾斜角也就确定，斜率也就确定了，那么直线的斜率可以用直线上两点P1（x1，y1）， P2（x2， y2）（其中x1≠x2）的坐标来表示，你能自己导出它们的关系吗？
指定学生回答，如果有错误，教师组织学生纠正。
让学生自己推导出过两点的直线的斜率公式。
问题：当直线与坐标轴平行或重合时，上述结论还成立吗？

师生：总结两点式斜率计算公式：k=（x1≠x2）。
通过自己的探索，完善两点式斜率公式k=（x1≠x2），检验得到公式与P1，P2两点的顺序无关。
练
习
巩
固
练
习
巩
固
例1．判断下列命题的真假：
任何一条直线都有倾斜角，所以任何一条直线都有斜率；
直线的倾斜角与直线的斜率一一对应；
直线的倾斜角为，则；
直线的倾斜角越大，则直线的斜率也越大；
直线斜率的范围是
学生回答
帮助学生巩固基本概念，发现易错点。
例2．已知A（3，2），B（-4，1），C（0，-1），求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角？
变式1．直线的斜率为k，倾斜角为α，若＜α＜，则k的范围是（）
A．（-1，1） B．（-∞，-1）∪（1，+∞）C．[-1，1] D．（-∞，-1]∪[1，+∞）
变式2．设直线的斜率为k，倾斜角为α，若-1A．（-，） B．
C．（0，）∪（，）D．

例3．在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1，-1，和2的直线。
师：引导学生充分利用正切函数的图象解决问题，数形结合。
要求学生画图，体验数形结合的思想方法。
设计意图：根据斜率的定义式，结合图象，熟悉倾斜角和斜率的关系。
根据斜率的定义式，结合图象，熟悉倾斜角和斜率的关系。
给学生创造一个动手探究、学以致用的机会，要求学生画图，体验数形结合的思想方法。熟练应用两点式斜率公式。直接利用斜率定义式求解，熟悉斜率公式，并体验斜率与倾斜角之间的关系
练习
已知直线的倾斜角为α，若sinα=，求此直线的斜率。
教师根据课堂实际时间，确定练习与否
对斜率进一步巩固。
课
堂
小
结
提问：
（1）在本节课中，你学到了哪些新的概念？他们之间有什么关系？
（2）怎样求出已知两点的直线的斜率？
（3）从倾斜角（形）能刻画直线的倾斜程度，到斜率（数）、
也能刻画直线的倾斜程度，这个过程中主要体现了什么数学思想？
学生思考，回答让学生归纳出刻画直线倾斜程度的两种方法：倾斜角（形）和斜率（数）。利用确定直线的两种方法，归纳出求斜率的两个计算公式。在倾斜角和斜率相互转化的过程中体现了数形结合的数学思想。强调“坐标法”是解决解析几何问题的基本方法。
总结本课所学知识，培养学生归纳知识能力及反思的习惯。
作
业
扩
展
1．已知直线y=xsinθ-1，求该直线倾斜角范围。
2．在x轴上有一点P与Q（2，）倾斜角为150，求点P坐标。
3．求证：点A（-2，3），B（7，6），C（4，5）在一条直线上。
学生独立完成
通过训练，巩固本课所学知识，检测运用所学知识解决问题的能力。
训练学生应用基础知识的能力，培养学生探究的兴趣，加深学生思考。
板
书
设
计
课题
一、直线方程
二、直线的倾斜角
三、直线的斜率
四、斜率公式
练习
小结
作业