沪教版高中二年级 第二学期13.6实系数一元二次方程教案

实系数一元二次方程

【教学目标】

理解实系数一元二次方程在复数集中解的情况；会在复数集中解实系数一元二次方程；会在复数范围内对二次三项式进行因式分解；理解实系数一元二次方程有虚数根时，根与系数的关系，并会进行简单应用。

【教学重难点】

在复数集中解实系数一元二次方程；在复数范围内对二次三项式进行因式分解。

【教学过程】

（一）复习引入

1．初中学习了一元二次方程且的求根公式，我们回顾一下：

当时，方程有两个实数根：

2．上一节课学习了“复数的平方根与立方根”，大家知道-1的平方根是：。

设问①：一元二次方程在复数范围内有没有解？

设问②：在复数范围内如何解一元二次方程？

说明：设问①学生可以根据“复数的平方根”知，x即为-1的平方根：；设问②是为了引出本节课的课题：实系数一元二次方程。

（二）讲授新课

1．实系数一元二次方程在复数集C中解的情况：

设一元二次方程。

因为，所以原方程可变形为，

配方得：

，

即

。

（1）当时，原方程有两个不相等的实数根。

；

（2）当时，原方程有两个相等的实数根。

；

（3）当时，，

由上一堂课的教学内容知，的平方根为，

即，

此时原方程有两个不相等的虚数根。

。

（为一对共轭虚数根。）

说明：实系数一元二次方程在复数范围内必有两个解：当时，有两个实根；当时，有一对共轭虚根。

设问③：若是一个实系数一元二次方程的一个根，你能直接写出该方程的另一个根吗？为什么？

回到引入部分设问②：在复数范围内解一元二次方程。

（，即为上节课学习过的。）

例1．（1）在复数集中解方程：；

（2）在复数集中解关于的方程：

。

解：（1）因为△=，所以方程的解为：

，。

（2）因为△=16-a2，

所以当△>0，即时，原方程的解为：

，。

当△=0，即时，若，则原方程的解为；

                    若，则原方程的解为。

当△<0，即时，原方程的解为：

，。

提醒学生注意：在复数集中解方程时，应先考虑△的正负。

说明：例1．（2）需分类讨论，要求较高，建议选用，也可以换成课本上的例题1。

例2．已知一元二次方程，试确定一组的值，使该方程分别有两个不相等的实数根、两个相等的实数根、两个虚数根，并解方程。

说明：例2属于开放性问题，比较容易入手，可以让基础不理想的同学尝试回答，加强互动。

既然实系数一元二次方程在复数范围内必有两个解，那么二次三项式在复数范围内总可以分解成两个一次因式的乘积。

若方程的两个解分别为，则：

。

例3．在复数集中分解因式：

（1）； （2）。

解：（1）=。

（2）（见课本例1）

提醒学生注意：分解二次三项式时，应提取二次项的系数A。

2．实系数一元二次方程中根与系数的关系

对于实系数一元二次方程，当其有实数根时，我们在初中已经学习过了根与系数的关系：，（即韦达定理）。

设问④：实系数一元二次方程有虚数根时，是否也满足根与系数关系？

利用求根公式，容易验证，。

例4．已知是关于x的方程的一个根，求实数p、q的值。

解：（见课本例2）

（三）巩固练习

见课本练习13.6（1）；练习13.6（2）。

说明：以上练习可以根据时间选择一部分在课堂上完成，其余可作为课后练习。