高中数学2.3 二次函数与一元二次方程、不等式教学设计及反思

这是一份高中数学2.3 二次函数与一元二次方程、不等式教学设计及反思，共11页。教案主要包含了学习目标，要点梳理，典型例题等内容，欢迎下载使用。
1.二次函数的图象和性质，会判断函数的单调性；
2．会求函数的最大值、最小值，能利用配方法解决二次函数的问题；
3.了解待定系数法的概念，会用待定系数法求函数的解析式。
【要点梳理】
要点一：二次函数的性质与图象
1．函数的图象和性质
关于二次函数的性质，主要从抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴、函数值的增减性以及函数的最大值或最小值几个方面来研究，下面结合图象将其性质列表归纳如下：
要点诠释：
函数中的系数a对函数图象的影响：
(1)当a＞0时，开口向上，a越小，开口越大，在(-∞，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增；
(2)当a＜0时，开口向下，a的绝对值越小，开口越大，在(-∞，0)上单调递增，在(0，+∞)单调递减．
2．二次函数的图象和性质
(1)二次函数的图象和性质如下表：
(2)配方法
所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数幂和的形式．通过配方解决数学问题的方法叫配方法．其中，用的最多的是配成完全平方式．配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明不等式和等式、求函数最值和解析式等方面都经常用到它．
对任何二次函数都可通过配方化为：
．
其中，．
(3)关于配方法要注意两点：
①要把二次项系数化为1，方法是提取二次项的系数；
②找准一次项的系数，加上它的一半的平方(目的是配成完全平方式)，再减去这个平方数(目的是保持恒等)．
3．二次函数的解析式
(1)一般式：．
(2)顶点式：，顶点(h，k)．
(3)交点式：，x1，x2为二次函数的图象与x轴两个交点的横坐标．
求二次函数解析式的方法，应根据已知条件的特点，灵活地运用解析式的形式，选取最佳方案，利用待定系数法求之．
二次函数的图象画法与平移
(1)二次函数的图象的画法：
因为二次函数的图象是一条抛物线，它的基本特征：①有顶点；②有对称轴；③有开口方向．所以，画二次函数的图象通常采用简化了的描点法——五点法，其步骤如下：
(i)根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴,在直角坐标系中描出顶点时,并用虚线画出对称轴；
(ii)求抛物线与坐标轴的交点．
当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A、B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C的对称点D．将这五个点按从左到右的顺序连起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图象．
当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D．由C、M、D三点可粗略地画出二次函数的草图．如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A、B，然后连线，画出二次函数的图象．
(2)二次函数的平移规律．
任意抛物线都可转化为的形式，都可由的图象经过适当的平移得到，具体平移方法，如图所示．
即上述平移规律“h值正、负，右、左移”，亦即“加时左移，减时右移”；“k值正、负，上、下移”，即“加时上移，减时下移”．
5．二次函数的最值求解
二次函数的最大值与最小值，可以从函数解析式的变形和函数的图象两方面去理解．
(1)从函数的解析式来研究，对于，通过配方可化为的形式，再对进行研究．
一般地，对于二次函数，
当a＞0时，y有最小值；
当a＜0时，y有最大值．
(2)从函数的图象来研究，二次函数的图象是抛物线，又称抛物线，一般描出五个点可画出图象．二次函数的图象如图所示．
当a＞0时，抛物线开口向上，它的顶点恰是抛物线的最低点，显然纵坐标y有最小值，最小值是；
当a＜0时，抛物线开口向下，它的顶点恰是抛物线的最高点，显然纵坐标y有最大值，最大值是．
6．二次函数的对称轴及其应用
根据教材中例题知道对称轴为x＝-4，由此推导出．反过来，如果已知，则可得该函数的对称轴为x＝-4．现总结如下：
(1)若某函数(不一定是二次函数)满足(a为常数)，则该函数的对称轴为x＝a．
(2)若某函数(不一定是二次函数)满足(a为常数)，则该函数的对称轴为x＝a．
(3)若某函数(不一定是二次函数)满足(且a，b为常数)，则该函数的对称轴为．
实际上(2)与(1)是等价的，在(1)中令a+x＝t，则x＝t-a，
∴ ，∴ ，即．
要点三、待定系数法
1．待定系数法的定义
（1）一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的一般形式，可先把所求函数写为一般形式，其中系数待定，然后再根据题设条件求出这些待定系数.这种通过求待定系数来确定变量之间关系的方法叫做待定系数法.
（2）根据题设求待定系数的方法——列方程组
①用特殊值法列方程组；
②根据多项式恒等定理列方程组；
③利用定义本身的属性列方程（组）；
④利用几何条件列方程（组）。
（3）待定系数法的理论根据是多项式恒等定理，即
如果则。
2．待定系数法求解题的基本步骤
(1)设出含有待定系数的解析式；
(2)根据恒等条件，列出含待定系数的方程或方程组；
(3)解方程（组），求出待定系数的值，从而写出函数解析式.
【典型例题】
类型一：二次函数的图象及性质
例4．已知二次函数与x轴相交于点A(-3，0)，对称轴为x＝-1，顶点M到x轴的距离为2，求此抛物线的解析式．
【答案】或
【解析】 解法一：∵ 二次函数的对称轴是x＝-1，顶点M到x轴距离为2，
∴ 顶点的坐标为M(-1，2)或M′(-1，-2)．
故设二次函数的解析式为，
或，
又∵ 抛物线经过点A(-3，0)，
∴ 或，
分别解出或，
∴ 所求函数的解析式是或．
解法二：∵ 点A(-3，0)在抛物线上，
∴ 0＝9a-3b+c， ①
又∵ 对称轴是x＝-1，
∴ ， ②
∵ 顶点M到x轴的距离为2，
∴ 或． ③
解由①②③组成的方程组：
或
分别解得 或
∴ 所求函数的解析式是：
或．
解法三：∵ 抛物线的对称轴是x＝-1，
又∵ 图象经过点A(-3，0)，
∴ 点A(-3，0)关于对称轴x＝-1对称的对称点A′(1，0)，
∴ 设函数解析式为y＝a(x+3)(x-1)，
由题意得抛物线的顶点M的坐标为(-1，2)或(-1，-2)，
分别代入，得
2＝a(-1+3)(-1-1)或-2＝a(-1+3)(-1-1)，
解关于a的方程，或，
得所求函数解析式为：
，或．
例5．(1)已知二次函数满足，，且，试求此二次函数的解析式；
(2)已知二次函数对任意实数t满足关系f(2+t)＝f(2-t)且有最小值-9．又知函数的图象与x轴有两个交点，它们之间的距离为6，求函数的解析式．
【答案】（1）（2）
【解析】
(1)由，知的两根为2和-1，
可设，
即，
∵ ，∴ ，
解得a＝-4，
∴ ．
(2)∵ 函数图象与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，且又知x＝2为其对称轴，由|AB|＝6，知x1＝2-3＝-1，x2＝2+3＝5，于是可设，由二次函数图象的性质知，当x＝2时，，故以f(2)＝a(2+1)(2-5)＝-9，解得a＝1，因此，．
【变式1】已知二次函数满足＝－1，＝－1，且的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．
【解析】
解法一：利用二次函数一般式，设，
由题意得解之得
∴ 所求二次函数为．
解法二：利用二次函数顶点式，设，
∵ ＝＝－1，∴ 抛物线对称轴方程为＝.
∴ ，又根据题意函数有最大值为，
∴
∵ ＝－1，∴
∴ .
解法三：利用两根式 由已知，＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，
故可设＋1＝a(x－2)(x＋1)，即＝ax2－ax－2a－1.
又函数有最大值ymax＝8，即 ＝8，
解之得a＝－4或a＝0(舍)，∴所求函数解析式为＝.
例6．作出下列函数图象并写出其值域．
（1）；
（2）．
【答案】（1）[0，+∞)（2）[-5，3)
【解析】 （1）由得x≤0或x≥2；
由得．
由
其函数图象如图所示，y∈[0，+∞)．

（2）
如图所示，得y∈[-5，3)．
例7．求二次函数在[t，t+1]上的最值．
【答案】
【解析】 ，对称轴x＝1，
∵ 区间[t，t+1]不固定，要讨论：
①当t+1≤1，即t≤0时，函数在[t，t+1]上为单调减函数，
当x＝t+1时，有最小值，
当x＝t时以有最大值；
②当，即时，
，；
③当t≤1≤，即≤t≤1时，
，；
④当t＞1时，区间在对称轴的右侧，此时函数在[t，t+1]上是单调增函数，
当x＝t时，，
当x＝t+1时，．
综上所述：当t≤0时，
，；
当时，
，；
当≤t≤1时，
，；
当t＞1时，
，．
【变式1】求函数在[0，2]上的值域．
【解析】 由已知可知，函数的对称轴为x＝a．
①当a＜0时，．，所以函数的值域为[-1，3-4a]．
②当0≤a≤1时，．，所以函数的值域为[-(a2+1)，3-4a]．
③当l＜0≤2时，．，所以函数的值域为[-(a2+1)，-1]．
④当a＞2时，，，所以函数的值域为[3-4a，-1]．
综上所述，当a＜0时，值域为[-1，3-4a]；当0≤a≤1时，值域为[-(a2+1)，3-4a]；当1＜a≤2时，值域为[-(a2+1)，-1]；当a＞2时，值域为[3-4a，-1]．
类型三：待定系数法
例8．已知直线AB过x轴上的一点A(2，0)且与抛物线y＝ax相交于B(1，-1)、C两点．
(1)求直线和抛物线的解析式；
(2)问抛物线上是否存在一点D，使？若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1） （2）或
【解析】 (1)设直线的解析式为y＝kx+b，∵ 直线过点A(2，0)，B(1，-1)，
∴ 解得
∴ 直线的解析式为．
又∵ 抛物线过点B(1，-1)，∴ a＝-1．
∴ 抛物线的解析式为．
(2)直线与抛物线相交于B、C两点，故由 解得C点坐标为C(-2，-4)．
由上图可知，．
假设抛物线上存在一点D，使，
设D(m，-m2)，∴ ，
∴ ，或，
即存在这样的点或，使．
函数
图象
开口方向
顶点坐标
对称轴
单调性
最大(小)值
y＝ax2
(a＞0)
向上
(0,0)
y轴
在区间上是减函数，在区间上是增函数
当x＝0时，
y＝ax2
(a＜0)
向下
(0,0)
y轴
在区间上是增函数，在区间上是减函数
当x＝0时，
函数
二次函数
图象
a＞0
a＜0
性质
抛物线开口向上，并向上无限延伸
抛物线开口向上，并向下无限延伸
对称轴是直线，
顶点坐标是
对称轴是直线，
顶点坐标是
在区间上是减函数，
在区间上是增函数
在区间上是增函数，
在区间上是减函数
抛物线有最低点，当时，
y有最小值，
抛物线有最高点，当时，
y有最大值，