数学高中二年级 第二学期11.4点到直线的距离教学设计

这是一份数学高中二年级 第二学期11.4点到直线的距离教学设计，共8页。教案主要包含了教学目标，教学重点，教学难点，教学活动，课后作业等内容，欢迎下载使用。
1、知识与技能
掌握点到直线的距离公式及应用；
掌握两平行线间的距离公式；
了解通过值的正负确定点关于直线的相对位置的方法.
2、过程与方法
通过推导点到直线的距离公式，领悟其中蕴含的化归思想，学会多角度地分析问题、思考问题，在课程中逐渐养成数形结合能力、分类讨论能力，能够用创新的思维研究数学问题.
3、情感、态度与价值观
从生活中的数学引入课堂，激发学生对数学的兴趣，渗透爱国主义教育；重视知识的形成过程，感悟数学公式形成的不易，培养扎实严谨的作风，进而形成勇于探索，善于探究的精神，实现在数学课堂中激活主体，养成数学核心素养.
二、教学重点
点到直线的距离公式；两平行线间的距离公式.
三、教学难点
点到直线的距离公式的推导.
四、教学活动
（一）情景引入
中央电视台益智文化节目《绿水青山看中国》，节目中讲到了上海的崇明岛，节假日进出崇明岛已成为百姓的心头之痛.为了解决交通问题，提出在崇明岛西侧连接石洞口方向的通道方案，请同学们一起计算石洞口至崇明岛西侧的距离.
复习点到直线的距离的定义：
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到直线的距离.
如果一个点在直线上，那么就说这个点到直线的距离为零.
（二）探索新知
问题1、已知直线的方程是（不同时为）和直线外一点，求点到直线的距离.
方法一、利用两点间距离公式
过作的垂线，垂足为，
直线的点法向式方程为
，
联立，解得点，
.
方法二、利用直线的法向量
设点在直线上的射影为，
则线段的长为点到直线的距离，
向量与直线的法向量
平行.
若点在直线的法向量指向的一侧，则与的夹角为，
则，（即）
若点在直线的法向量指向的另一侧，则与的夹角为，
则，（即）
，
因为点在直线上，所以点的坐标满足直线的方程，有，
即，
代入，整理得.
方法二、（介绍几何意义）
在直线上任取点，利用在上投影的绝对值求解.
教师提问：观察的几何意义，发现点到直线的距离即在上投影的绝对值.
，即.
方法三、利用直角三角形的面积
过点作轴交直线于，作轴交直线于，作轴交直线于，
则，
由于，则，，
那么，
，
由于勾股定理知
，
根据面积相等，得，
那么.
1、点到直线的距离公式：
点到直线不同时为的距离为.
例1、求点到下列直线的距离.
（1）；
（2）；
（3）.
解：（1）；
（2），；
（3），.
注意：1、直线方程应化为一般式；
2、如果直线（或），就数形结合，利用纵坐标（横坐标）差的绝对值来求距离。
如（3）.
问题2、求两条平行线与不同时为的距离.
解：在直线上取一点，满足，
.
2、两条平行直线的距离公式
两条平行直线与不同时为的距离为.
3、的符号确定了点关于直线的相对位置.
直线将平面分成两部分.
当点在直线的法向量指向的一侧时，；
当点在直线的法向量指向的另一侧时，；
当点在直线上时，.
注意：
（1）在直线同侧的所有点，的符号是相同的；
在直线异侧的点，的符号是相反的.
（2）设平面上的点关于直线分别对应的和，
当时，点在直线的同侧；
当时，点在直线的异侧；
当时，点中至少有一点在上.
例2、已知，直线与线段相交，求实数的取值范围.
解法一、有向距离
因为直线与线段相交，
所以两点在直线异侧或点在直线上，
所以，
即，
解得或.
解法二、数形结合，利用斜率
直线过定点，，
，
所以或，
即或，
即或.
思考题、设是直角坐标平面内不同的两点，
直线，，判断下面四个命题的真假.
（1）不论为何值，点都不在直线上；
（2）若，则过的直线与直线平行；
（3）若，则直线经过线段的中点；
（4）若，则点在直线的同侧且直线与线段的延长线相交.
（三）课堂小结
1、点到直线的距离公式
2、两条平行直线的距离公式
3、的符号确定了点关于直线的相对位置.
五、课后作业
1、结合点到直线的距离，网上查找资料，建立上海到崇明西侧的模型，计算上海石洞口到崇明的距离。
2、完成思考题。
3、练习册11.4.