华师大版八年级上册4 经过一已知点作已知直线的垂线习题

13.4.4经过一个已知点作已知直线的垂线同步练习华师大版初中数学八年级上册

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）

1. 如图，中，，根据尺规作图的痕迹判断以下结论错误的是

A.
B.
C.
D.
 

2. 如图，中，，根据尺规作图的痕迹判断以下结论错误的是

A.
B.
C.
D.
 

3. 如图，中，，根据尺规作图的痕迹判断以下结论错误的是   

A.
B.
C.
D.
 

4. 过点P画AB的垂线，三角尺的放法正确的是

A.  B.
C.  D.

5. 用直尺和圆规作斜边AB上的高线CD，以下四个作图中，作法错误的是

A.  B.
C.  D.

6. 已知线段AB、CD，点M在线段AB上，结合图形，下列说法不正确的是    

A. 延长线段AB、CD，相交于点F
B. 反向延长线段BA、DC，相交于点F
C. 过点M画线段AB的垂线，交CD于点E
D. 过点M画线段CD的垂线，交CD于点E

7. 如图，在中，过点A作BC边上的高，正确的作法是

A.  B.
C.  D.  

8. 经过已知直线外一点，用尺规作这条直线的垂线，下列作法正确的是  ．

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共3小题，共9.0分）

9. 阅读下面材料：
   在数学课上，老师提出如下问题：
   
   小丽设计的方案如下：
   
   老师说：“小丽的画法正确”
   请回答：小丽的画图依据是______．
10. 如何过直线l上一点P作已知直线l的垂线，下面作法的合理顺序为______．
    分别以A、B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点C；
    在直线l上点P的两旁分别截取线段PA，PB，使；
    过点C、P作直线CP，则直线CP为所求作的直线．
11. 在数学课上，老师提出如下问题：
    尺规作图：过直线外一点作已知直线的垂线．已知：如图1，直线l及其外一点求作：l的垂线，使它经过点A．
    小云的作法如下：
    在直线l上任取一点B，连接AB；
    以A为圆心，AB长为半径作弧，交直线l于点D；
    分别以B、D为圆心，AB长为半径作弧，两弧相交于点C；
    作直线直线AC即为所求如图．
    小云作图的依据是______．

三、解答题（本大题共11小题，共88.0分）

12. 如图，中，，．
    尺规作图：在CB上截取，过点D作，垂足为保留作图痕迹，不写作法
    连接AD，求的度数．
    
    
    
    
    
    
     
13. 已知，按下列要求作图：保留作图痕迹，不写作法
    作的平分线

作BC边上的高尺规作图

14. 如图，已知，用直尺和圆规作图：
     

作的平分线BD．

作的高AE．






 

15. 如图，在中，BF平分，，．

作BC边上的高AD，求的度数；

作的平分线AE，分别交BC，BF于点E，O，求的度数．

要求尺规作图，保留作图痕迹．不写作法．






 

16. 如图，是钝角三角形．
    
    作出三角形BC边上的高线
    若，且，求和的度数．
    
    
    
    
    
    
     
17. 如图，点P是的边OB上的一点．
    过点P画OB的垂线，交OA于点E；
    过点P画OA的垂线，垂足为H；
    过点P画OA的平行线PC；
    若每个小正方形的边长是1，则点P到OA的距离是______；
    线段PE，PH，OE的大小关系是______用“”连接．
    
    
    
    
    
    
     
18. 已知，
    
    用直尺和圆规作出它的角平分线
    
    在OC上取一点P，作直线，垂足为D．
    
    
    
    
    
    
     
19. 已知A，B，C三点如图，按下列要求画图，并回答问题：
    
    画线段

画射线

用量角器和直尺画以AC为角平分线的

过点C画AB的垂线，垂足为

过点C画AB的平行线交AM于点通过测量，图中线段CP和CQ的大小关系是          ．






 

20. 如图，利用网格的特征，过点C画直线AB的垂线l．
    
     

21. 如图，直线CD与直线AB相交于点C，根据下列语句画图：
    

过点P作，交AB于点Q；

过点P作，垂足为R；

若，猜想是多少度？并说明理由．






 

22. 如图，P是内的一点，分别在OA、OB边上画点C、D，使得的周长最小

如图，在河岸l的同侧有A、B两村，请利用直尺和圆规在河岸边修建一码头G，使GA、GB与河岸l的夹角相等不写作法，保留作图痕迹．

答案和解析

1.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题考查作图基本作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
证明≌即可判断A，B正确，再根据同角的补角相等，证明即可．
【解答】
解：由作图可知，，，
，
≌，
，，

，
，
，
故A，B，C正确，
故选：D．  

2.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题考查作图基本作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．证明≌即可判断A，D正确，再根据同角的补角相等，证明即可．
【解答】
解：由作图可知，，，
，
≌，
，，

，
，
，
故A，C，D正确，
故选B．  

3.【答案】D
 

【解析】由作图可知，，，
，
，
，，
，
，，
，
故A，B，C中的结论均正确．
与的大小关系不能确定，故D中的结论错误故选D．
 

4.【答案】C
 

【解析】解：根据垂线的定义，选项C符合题意．
故选：C．
根据垂线的定义判断即可．
本题考查作图基本作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

5.【答案】D
 

【解析】

【分析】

此题考查了作图基本作图，关键是熟练掌握作过直线外一点作已知直线的垂线的方法．根据过直线外一点作已知直线的垂线作图即可求解．

【解答】

解：根据垂径定理作图的方法可知，CD是斜边AB上的高线，不符合题意；
B.根据直径所对的圆周角是直角的方法可知，CD是斜边AB上的高线，不符合题意；
C.根据相交两圆的公共弦的性质可知，CD是斜边AB上的高线，不符合题意；
D.无法证明CD是斜边AB上的高线，符合题意．
故选D．

6.【答案】D
 

【解析】

【分析】
此题主要考查了直线、射线、线段，关键是正确掌握三线的特点．
根据线段和垂线段的走义，结合图形进行分析即可．
【解答】
解：A、延长线段AB、CD，相交于点F，说法正确
B、反向延长线段BA、DC，相交于点F，说法正确
C、过点M画线段AB的垂线，交CD于点E，说法正确
D、过点M画线段CD的垂线，交CD于点E，说法错误．
故选：D  

7.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题主要考查了学生利用三角板和直尺画三角形的高的作图能力。从三角形的一个顶点向它的对边引垂线，从顶点到垂足之间的线段是三角形的高，据此作高。
【解答】
解：在中，过点A作BC边上的高，如图：

故选D。  

8.【答案】B
 

【解析】

【分析】
此题主要考查了过一点作直线的垂线，熟练掌握基本作图方法是解决问题的关键．根据过直线外一点向直线作垂线即可．
【解答】
解：已知：直线AB和AB外一点求作：AB的垂线，使它经过点C．
作法：

任意取一点K，使K和C在AB的两旁；
以C为圆心，CK的长为半径作弧，交AB于点D和E；
分别以D和E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点F；
作直线直线CF就是所求的垂线．
故选B．  

9.【答案】两点之间线段最短；直线外一点到这条直线上所有点连结的线段中，垂线段最短．或垂线段最短
 

【解析】解：小丽的画图依据是两点之间线段最短；直线外一点到这条直线上所有点连结的线段中，垂线段最短．或垂线段最短；
故答案为两点之间线段最短；直线外一点到这条直线上所有点连结的线段中，垂线段最短或垂线段最短；
根据两点之间线段最短；直线外一点到这条直线上所有点连结的线段中，垂线段最短或垂线段最短即可解决问题；
本题考查作图基本作图，两点之间线段最短；直线外一点到这条直线上所有点连结的线段中，垂线段最短等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

10.【答案】
 

【解析】解：过直线l上一点P作已知直线l的垂线的作法如下：
在直线l上点P的两旁分别截取线段PA，PB，使；
分别以A、B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点C；
过点C、P作直线CP，则直线CP为所求作的直线；
故答案为：
根据过直线l上一点P作已知直线l的垂线的作法解答即可．
本题考查了基本作图的复合题目，关键是根据过直线l上一点P作已知直线l的垂线的作法解答．
 

11.【答案】四条边都相等的四边形是菱形；菱形的对角线互相垂直答案不唯一
 

【解析】

【分析】
本题考查了作图基本作图：熟练掌握基本作图作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线根据作法和菱形的判定方法可证明四边形ABCD为菱形，然后根据菱形的性质判断AC与BD垂直；也可以利用线段垂直平分线定理的逆定理进行判断．
【解答】
解：由作法得，则四边形ABCD为菱形，
所以．
故答案为：四条边都相等的四边形是菱形；菱形的对角线互相垂直．  

12.【答案】解：如图，点D就是所求作的点，DE就是所要作的直线．

，
，
在 中，．
 

【解析】根据作图过程即可在CB上截取，过点D作，垂足为E；
根据等腰三角形的性质可得，再利用直角三角形两个锐角互余即可得的度数．
本题考查了作图复杂作图，等腰三角形的性质，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的作法．
 

13.【答案】解：如图所示：

线段BE即为所求的的平分线；
线段AD即为所求的BC边上的高线．
 

【解析】本题主要考查过直线外一点作直线的垂线和作一个角的平分线的作法，属于基本作图题．
作的角平分线BE，按照作一个角的平分线的作法来作即可；
作BC边上的高AD，按照过直线外一点作直线的垂线步骤作即可．
 

14.【答案】
如图所示，BD即为所求；
如图所示，线段AE即为所求．
 

【解析】本题主要考查角平分线的作法及三角形高的作法．
作的平分线交AC于D即可．
过A作AE垂直于直线BC交BC于E即可．
 

15.【答案】解：作图如图，在中，
，，
．
在中，

．

作图如图，
平分，
，
平分，
，
．
 

【解析】本题题考查了尺规作图及角的计算，解决本题的关键是把握尺规作图的方法．
以A为圆心，AB长为半径画圆与BC交于一点，再分别以点B与该交点为圆心，大于点B到该点的距离的一半长为半径画弧，两弧相交于另一点，连接点A与两弧相交的点，并延长与BC交于点D，则AD即为所求的高，先根据，，求得的度数，在中，代入即可；
以A为圆心，任意长为半径画圆，分别与AB，AC交于一点，再分别以这两点为圆心，大于这两点的距离的一半为半径画弧，两弧相交于一点，连接点A与两弧相交的点，并延长与BC交于点E，则AE即为所求的平分线，根据BF平分，AE平分，得出，，再根据求出即可．
 

16.【答案】解：如图，线段AE即为所求．

，
可设，，
，
，
，
， ．
 

【解析】见答案．
 

17.【答案】1 
 

【解析】解：、、如图；

每个小正方形的边长是1，
点P到OA的距离是1．
故答案为：1；

，
，
，
，
．
故答案为：．
、、根据题意画出图形；
根据点到直线距离的定义得出结论；
根据“垂线段最短”得出结论．
本题考查的是作图基本作图，熟知垂线段的作法是解答此题的关键．
 

18.【答案】解：如图所示：

如图所示：
 

【解析】本题考查的是作图应用与设计作图，熟知角平分线的作法和性质是解答此题的关键．
作的平分线OC即可；
在OC上取一点P，作直线，垂足为D．
 

19.【答案】解：如图；

如图；
如图；
如图；
如图，．
 

【解析】

【分析】
本题考查射线，线段，直线，中线，角平分线和垂线的画法，抓住各个图形的端点特点是关键．
连接A和B即可；
以A为顶点画射线AC即可；
用量角器画即可；
让三角尺的直角的一边与AB重合，另一直角边经过点C画出垂线，垂足为点P即可；
让三角尺的直角的一边与CP重合，另一直角边经过点C画出垂线，垂足为点Q即可，然后用直尺测量线段CP和CQ的长度，即可求解．
【解答】
解：见答案；
见答案；
见答案；
见答案；
见答案，
根据测量可知．
故答案为．  

20.【答案】解：如图所示

【解析】见答案．
 

21.【答案】解：如图所示：PQ即为所求；


如图所示：PR即为所求；


理由：，
，
，
．
 

【解析】本题主要考查了基本作图，熟练掌握基本作图，并能利用平行线的性质来解决问题是解题关键．
过点P作，交AB于点Q；
过点P作，垂足为R；
利用两直线平行，同旁内角互补即可解决问题．
 

22.【答案】解：如图，

如图．

【解析】见答案．