初中数学华师大版八年级上册13.4 尺规作图综合与测试测试题

13.4尺规作图同步练习华师大版初中数学八年级上册

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 已知∠AOB=60°，以O为圆心，以任意长为半径作弧，交OA，OB于点M，N，分别以点M，N为圆心，以大于MN的长度为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点P，以OP为边作∠POC=15°，则∠BOC的度数为（　　）

A. 15° B. 45° C. 15°或30° D. 15°或45°

2. 如图，在△ABC中，AB=AC．在AB、AC上分别截取AP，AQ，使AP=AQ．再分别以点P，Q为圆心，以大于PQ的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点R，作射线AR，交BC于点D．若BC=6，则BD的长为（　　）

A. 2
B. 3
C. 4
D. 5

3. 用直尺和圆规作Rt△ABC斜边AB上的高线CD，以下四个作图中，正确的作法有（　　）

A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种

4. 如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以点A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画出射线OB，则∠AOB=（    ）

A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90°

5. .小明用如图所示的胶滚沿从左到右的方向将图案滚涂到墙上。下列给出的四个图案中，符合图示胶滚涂出的图案的是（）

A.
B.
C.
D.
 

6. 如图，依据尺规作图的痕迹，计算∠α=（　　）
   ​​

A. 56° B. 68° C. 28° D. 34°

7. 如图，在△ABC中，AC=BC，∠A=40°，观察图中尺规作图的痕迹，可知∠ACG的度数为（　　）

A. 40°
B. 45°
C. 50°
D. 60°

8. 画 AOB的角平分线的方法步骤是:以 O为圆心,适当长为半径作弧,交OA于M点,交OB于N点;分别以 M、N为圆心,大于 MN的长为半径作弧,两弧在 AOB的内部相交于点C;过点 C作射线OC.射线OC就是 AOB的角平分线.这样作角平分线的根据是 ( )

A. SSS B. SAS C. ASA D. AAS

9. 尺规作图作的平分线方法如下：如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧分别交OA，OB于点C，D，再分别以点C，D为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点P，作射线OP，由作法得△OCP≌△ODP 的根据是（       ）

A. SAS B. ASA C. AAS D. SSS

10. 如图，是尺规作图中“画一个角等于已知角”的示意图，该作法运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，则判定图中两三角形全等的条件是

A. SAS B. ASA C. AAS D. SSS

11. 下列四种基本尺规作图分别表示：①作一个角等于已知角；②作一个角的平分线；③作一条线段的垂直平分线；④过直线外一点P作已知直线的垂线，则对应选项中作法错误的是（     ）

A. ① B. ② C. ③ D. ④

12. 如图，用直尺和圆规作一个角等于己知角的示意图如图所示，则说明∠A'O'B'＝∠AOB的依据是（）
    ​​​​​​​

A. SSS B. SAS C. ASA D. AAS

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13. 如图，依据尺规作图的痕迹，计算∠α=______°．
    
    
     

14. 如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AB=2，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交边AB，BC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧相交于点P，作射线BP交AC于点D，若CD=1，则△ABD的面积为______．
15. 如图,在ABC中,AB=5,AC=8,BC=9,以点A为圆心,适当的长为半径作弧,交AB于点M,交AC于点N.分别以点M、N为圆心,大于MN的长为半径作弧,两弧在BAC的内部交干点G.作射线AG,交BC干点D,点F在AC边上,AF=AB,连接DF,则CDF的周长为          .
    ​​​​​​​

16. 如图，直线MN∥PQ，直线AB分别与MN，PQ相交于点A，B．小宇同学利用尺规按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径作弧交AN于点C，交AB于点D；②分别以C，D为圆心，以大于CD长为半径作弧，两弧在∠NAB内交于点E；③作射线AE交PQ于点F．若AB=2，∠ABP=60°，则线段AF的长为______．

17. 已知线段a，画一条线段AB＝a的步骤：

（1）          ；

（2）          ．

则线段AB就是所要画的线段．

18. 如图,在RtABC中,ABC=,根据尺规作图的痕迹判断以下结论:DB=DE;AB=AE;EDC=BAC;DAC=C.其中,错误的是          (填序号).
    
    
    
     

三、解答题（本大题共5小题，共40.0分）

19. 作图题.
    如图,点C,E均在直线AB上,BCD=.
    
    (1)在图中作FEB,使BEF=DCB(保留作图痕迹,不写作法);
    (2)请直接说出直线EF与直线CD的位置关系.
    
    
    
    
    
    
     
20. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的高．请用尺规作图法在高AD上求作一点P，使得点P到AB的距离等于PD的长．（保留作图痕迹，不写作法）

21. 如图,已知ABC,AC>AB,C=.请用尺规作图法,在AC边上求作一点P,使PBC=.(保留作图痕迹,不写作法)

22. 尺规作图，如下图所示，在△ABC中，AB=AC

（1）求作∠ABC的角平分线BD和∠ACB的角平分线CE;（保留作图痕迹）

（2）试判断BD与CE的数量关系并说明理由。






 

23. 如图，已知线段a和线段AB．

(1)延长线段AB到C，使BC＝a（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；

(2)在(1)的条件下，若AB＝5，BC＝3，点O是线段AC的中点，求线段OB的长．

答案和解析

1.【答案】D
 

【解析】解：（1）以O为圆心，以任意长为半径作弧，交OA，OB于点M，N，分别以点M，N为圆心，
以大于MN的长度为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点P，则OP为∠AOB的平分线，

（2）两弧在∠AOB内交于点P，以OP为边作∠POC=15°，则为作∠POB或∠POA的角平分线，
则∠BOC=15°或45°，
故选：D．
（1）以O为圆心，以任意长为半径作弧，交OA，OB于点M，N，分别以点M，N为圆心，以大于MN的长度为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点P，则OP为∠AOB的平分线；（2）两弧在∠AOB内交于点P，以OP为边作∠POC=15°，则为作∠POB或∠POA的角平分线，即可求解．
本题考查的是复杂作图，主要要理解作图是在作角的平分线，同时要考虑以OP为边作∠POC=15°的两种情况，避免遗漏．
 

2.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题主要考查了基本作图以及等腰三角形的性质，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．依据等腰三角形的性质，即可得到BD=BC，进而得出结论．
【解答】
解：由题可得，AR平分∠BAC，
又∵AB=AC，
∴AD是三角形ABC的中线，
∴BD=BC=×6=3，
故选B．  

3.【答案】C
 

【解析】解：（1）根据垂径定理作图的方法可知：
CD是Rt△ABC斜边AB上的高线，故作法正确；
（2）根据直径所对圆周角是直角的方法可知：
CD是Rt△ABC斜边AB上的高线，故作法正确；
（3）根据相交两圆的公共弦的性质可知：
CD是Rt△ABC斜边AB上的高线，故作法正确；
（4）无法证明CD是Rt△ABC斜边AB上的高线，故作法不正确；
综上所述：正确的作法有3种．
故选：C．
（1）根据垂径定理作图的方法可得，CD是Rt△ABC斜边AB上的高线；
（2）根据直径所对圆周角是直角的方法可得，CD是Rt△ABC斜边AB上的高线；
（3）根据相交两圆的公共弦的性质可得，CD是Rt△ABC斜边AB上的高线；
（4）无法证明CD是Rt△ABC斜边AB上的高线．进而可以判断．
本题考查了作图-基本作图，解决本题的关键是掌握作高线的方法．
 

4.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查等边三角形的性质与判定。由作图可知：OA=OB=AB，即可得到答案。
【解答】
由作图可知：OA=OB=AB，所以△ABO是等边三角形。
所以∠AOB=60°。
故选C。  

5.【答案】A
 

【解析】【试题解析】
依题意，胶滚是沿从左到右的方向将图案滚涂到墙上的，此时仔细观察胶滚上的基本图案即印出来的图案应是A图，故应选A.
 

6.【答案】A
 

【解析】解：∵∠DAB=∠D=∠B=90°，

∴AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB=68°．
∵由作法可知，AF是∠DAC的平分线，
∴∠EAF=∠DAC=34°．
∵由作法可知，EF是线段AC的垂直平分线，
∴∠AEF=90°，
∴∠AFE=90°-34°=56°，
∴∠α=56°．
故选：A．
先根据平行线的判定得出AD∥BC，故可得出∠DAC的度数，由角平分线的定义求出∠EAF的度数，再由EF是线段AC的垂直平分线得出∠AEF的度数，根据三角形内角和定理得出∠AFE的度数，进而可得出结论．
本题考查的是作图-基本作图，熟知角平分线及线段垂直平分线的作法是解答此题的关键．
 

7.【答案】C
 

【解析】解：∵CA=CB，
∴∠A=∠B=40°，
∴∠ACB=180°-40°-40°=100°，
由作图可知，CF平分∠ACB，
∴∠ACG=∠ACB=50°，
故选：C．
由作图可知，CF平分∠ACB，求出∠ACB即可解决问题．
本题考查作图-基本作图，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

8.【答案】A
 

【解析】

【分析】
本题主要考查全等三角形的判定定理，通过画法，找三角形全等的条件，再利用全等三角形的性质，证明角相等．
先证明三角形全等，再利用全等的性质证明角相等．
【解答】
解：从画法①可知OA=OB，
从画法②可知CM=CN，
又OC=OC，由SSS可以判断△OMC≌△ONC，
∴∠MOC=∠NOC，
即射线OC就是∠AOB的角平分线．
故选A．  

9.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．认真阅读作法，从角平分线的作法得出△OCP与△ODP的两边分别相等，加上公共边相等，于是两个三角形符合SSS判定方法要求的条件，答案可得．

【解答】
解：∵以O为圆心，任意长为半径画弧交OA，OB于C，D，即OC=OD；
以点C，D为圆心，以大于CD长为半径画弧，两弧交于点P，即CP=DP；
∴在△OCP和△ODP中
，
∴△OCP≌△ODP（SSS）．
故选D．

10.【答案】D
 

【解析】解：如图，由作图可知，OA=OB=CE=EF，BA=CF．

在△AOB和△CEF中，
，
∴△AOB≌△CEF（SSS），
故选：D．
如图，由作图可知，OA=OB=CE=EF，BA=CF．根据SSS证明△AOB≌△CEF．
本题考查作图-尺规作图，全等三角形的判定等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
 

11.【答案】C
 

【解析】

【分析】
利用作一个角等于已知角；作一个角的平分线；作一条线段的垂直平分线；过直线外一点P作已知直线的垂线的作法进而判断得出答案．
此题主要考查了基本作图，正确把握作图方法是解题关键．
【解答】
解：①作一个角等于已知角的方法正确；
②作一个角的平分线的作法正确；
③作一条线段的垂直平分线缺少另一个交点，作法错误；
④过直线外一点P作已知直线的垂线的作法正确．
故选C．  

12.【答案】A
 

【解析】

【分析】本题考查基本作图、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．根据SSS可以判断△COD≌△C′O′D′，进而得出∠A′O′B′=∠AOB的依据是SSS．
【解答】

解：根据作图步骤知O'D'=OD,O'C'=OC,C'D'=CD,

O'C'D'OCD,A'O'B'=AOB,
显然运用的判定方法是“SSS”.
​故选A.

13.【答案】56
 

【解析】

【分析】
本题考查的是作图-基本作图，熟知角平分线及线段垂直平分线的作法是解答此题的关键．
​​​​​​​先根据矩形的性质得出AD∥BC，故可得出∠DAC的度数，由角平分线的定义求出∠EAF的度数，再由EF是线段AC的垂直平分线得出∠AEF的度数，根据三角形内角和定理得出∠AFE的度数，进而可得出结论．
【解答】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB=68°．
∵由作法可知，AF是∠DAC的平分线，
∴∠EAF=∠DAC=34°．
∵由作法可知，EF是线段AC的垂直平分线，
∴∠AEF=90°，
∴∠AFE=90°-34°=56°，
∴∠α=56°．
故答案为：56．  

14.【答案】
 

【解析】解：如图，过点D作DH⊥AB于H．

∵DC⊥BC，DH⊥AB，BD平分∠ABC，
∴DH=CD=1，
∴S△ABD=•AB•DH=×2×1=，
故答案为．
如图，过点D作DH⊥AB于H．利用角平分线的性质定理求出DH即可解决问题．
本题考查作图-基本作图，角平分线的性质定理，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

15.【答案】12
 

【解析】略
 

16.【答案】2
 

【解析】【试题解析】

解：∵MN∥PQ，
∴∠NAB=∠ABP=60°，
由题意得：AF平分∠NAB，
∴∠1=∠2=30°，
∵∠ABP=∠1+∠3，
∴∠3=30°，
∴∠1=∠3=30°，
∴AB=BF，AG=GF，
∵AB=2，
∴BG=AB=1，
∴AG=，
∴AF=2AG=2，
故答案为：2．
作高线BG，根据直角三角形30度角的性质得：BG=1，AG=，可得AF的长．
本题考查了平行线的性质、角平分线的基本作图、直角三角形30度角的性质，此题难度不大，熟练掌握平行线和角平分线的基本作图是关键．

17.【答案】画射线AP

用圆规量出线段a的长，再在射线AP上截取AB＝a

【解析】略
 

18.【答案】​​​​​​​
 

【解析】略
 

19.【答案】解：​​​​​(1)如图所示,BEF'和BEF"即为所求.
 

(2)当射线EF与射线CD在直线AB的同侧,
即点F位于F'处时,
由BEF'=BCD知直线EF'与直线CD平行；
当射线EF与射线CD在直线AB的两侧,
即点F位于F"处时,
​​​​​​​延长DC交EF"于点G,
​​​​​​​BEF″=BCD=ECG=,
EGC=,
​​​​​​​EF"CD.

【解析】见答案.
 

20.【答案】解：如图，点P即为所求．

 

【解析】作∠ABC的角平分线交AD于点P，点P即为所求．
本题考查作图-复杂作图，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

21.【答案】 解：如图,点P即为所求.
​​​​​​​
 

【解析】见答案.
 

22.【答案】解：（1）∠ABC的角平分线BD和∠ACB的角平分线CE，如图所示：

（2）BD=CE，理由如下：
∵AB=AC
∴∠ABC=∠ACB
∵BD,CE分别是∠ABC和∠ACB的角平分线
∴∠BCE =∠CBD
在△BCE和△CBD中

∴△BCE△CBD（ASA）
∴BD=CE.
 

【解析】本题考查了利用尺规作图作三角形的角平分线，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质；解答本题的关键是掌握利用全等三角形的性质证明线段相等的思路与方法.
（1）利用直尺与圆规作出∠ABC的角平分线BD和∠ACB的角平分线CE即可；
（2）首先根据等腰三角形的性质得出∠ABC=∠ACB，根据角平分线的定义得出∠BCE =∠CBD，然后证明△BCE△CBD，即可证明结论成立.
 

23.【答案】解：（1）如图所示：
                            
∴线段BC就是所求的线段；
（2）AC＝AB+BC=5+3=8． 
∵O是AC的中点，
∴OA＝AC＝×8＝4．
∴OB＝AB－OA=5－4=1．
 

【解析】此题主要考查了作一条线段等于已知线段，线段和差的计算，掌握作一条线段等于已知线段是解本题的关键．
（1）根据作一条线段等于已知线段，即可作出图形；
（2）根据线段的和求出线段AC的长度，由点O是AC的中点，求出线段OA的长度，再由线段的差，OB=AB-OA即可得出结论．