华师大版八年级上册13.5 逆命题与逆定理综合与测试精练

13.5逆命题与逆定理同步练习华师大版初中数学八年级上册

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 如图，中，，，AD平分，于E，则下列结论：
   平分，
   ，
   平分，
   ，
   其中正确的有

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

2. 如图，在中，，，AD平分交BC于点D，，垂足为若，则BC的长为

A.  B.  C.  D. 3

3. 如图，BD平分，于点E，，，则

A. 28
B. 21
C. 14
D. 7

4. 如图，在中，，，AD平分交BC于点D，，垂足为若，则BC的长为

A. 3 B.  C.  D.

5. 如图，在中，，AB的垂直平分线交BC于E，交AB于D，连接AE，若AE平分，，则CE的长为

A. 8
B. 6
C. 4
D. 2

6. 到三角形的三个顶点距离相等的点是

A. 三条角平分线的交点 B. 三条中线的交点
C. 三条高的交点 D. 三条边的垂直平分线的交点

7. 在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，A、B是方格纸中的两个格点即正方形的顶点在这张的方格纸中，找出格点C，使，则满足条件的格点C有   

A. 5个
B. 4个
C. 3个
D. 2个

8. 如图，AD交BC于点O，的平分线与的外角的平分线交于点P，，则下列说法不正确的是   

A.
B.
C.
D.
 

9. 如图，四边形ABCD中，，点B关于AC的对称点恰好落在CD上，若，则的度数为

A.  B.  C.  D.

10. 如图，AD平分，交AC于E，于点F，若，，则DF的长为

A.
B. 1
C.
D. 2

11. 如图，ABC中，BO平分ABC，CO平分ACB，MN经过点O，与AB、AC相交于点M、N，且MN BC，那么下列说法中：MOBMBO；AMN的周长等于ABAC；ABOC；连接AO，则S：S：SAB：AC：BC；正确的有

A.  B.  C.  D.

12. 如图，，AE平分交BC于点E，，，M、N分别是BA、CD延长线上的点，和的平分线交于点的度数为

A.
B.
C.
D. 不能确定

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

13. 如图，已知，P是平分线上一点，，交OA于点C，，垂足为点D，且，则PD等于______．
14. 如图，中，，，，点D是BC边上一点且，点P是线段DB上一动点，连接AP，以AP为斜边在AP的下方作等腰直角当P从点D出发运动至点B停止时，点O的运动路径长为______．

15. 如图，BF平分，反向延长射线BF，与的平分线DG相交于点P，若，则          
    
     

16. 如图，在中，，AO平分，OD垂直平分AB，将沿着EF折叠，使得点C与点O重合，，则______．
    
     

17. 如图，在中，BC的垂直平分线分别交BC、AB于点E、若是等边三角形，则______
     

三、解答题（本大题共6小题，共48.0分）

18. 如图，在四边形ABCD中，，，于E．
    
    求证：AC平分
    若，求AB的长．
    
    
    
    
    
    
     
19. 如图，在中．
    
    下列操作中，作的平分线的正确顺序是          将序号按正确的顺序写在横线上．
    分别以点M、N为圆心，大于的长为半径作圆弧，在内，两弧交于点
    以点B为圆心，适当长为半径作圆弧，交AB于点M，交BC于点
    画射线BP，交AC于点D．
    连结MP、NP，通过证明，得到，从而得到BD平分，其中证明的依据是          填序号．
      A.  A.  ．
    若，，，过点D作于E，求DE的长．
    
    
    
    
    
    
     
20. 如图1，已知EK垂直平分BC，垂足为D，AB与EK相交于点F，连接求证：．
    如图2，在中，，P为MN的中点．
     用直尺和圆规在GN边上求作点Q，使得保留作图痕迹，不要求写作法；
     在的条件下，如果，那么Q是GN的中点吗？为什么？

21. 如图，，BE平分，CE平分，点E在AD上．
    探讨线段AB、CD和BC之间的等量关系．
    探讨线段BE与CE之间的位置关系．

22. 如图，在中，．
    已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，连接AP，求证：．
    以点B为圆心，线段AB的长为半径画弧，与BC边交于点Q，连接若，求的度数．

23. 已知OM是的角平分线，点P是射线OM上一点，点C、D分别在射线OA、OB上，连接PC、PD．
    如图，当，时，则PC与PD的数量关系是______．
    如图，点C、D在射线OA、OB上滑动，且，，当时，PC与PD在中的数量关系还成立吗？说明理由．

答案和解析

1.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，证明≌是本题的关键．
由“AAS”可证≌，可得，，，可判断，由等腰直角三角形的性质可判断．
【解答】
解：平分，
，
，于E，
，又，
≌，
，，，
平分，，
正确，
，，
，且，
，
，，
正确，错误，
故选：C．  

2.【答案】A
 

【解析】

【分析】
本题考查了角平分线的性质，含30度角的直角三角形性质，等腰直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．
过点D作于F，根据角平分线的性质得到，利用含有30度的直角三角形性质及等腰直角三角形求得BD和CD，即可得到结论．
【解答】
解：过点D作于F，如图所示，

为的平分线，且于E，于F，
，
在中，，
，
在中，，
为等腰直角三角形，
，
，
故选A．  

3.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查角平分线的性质定理，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
利用角平分线的性质定理即可解决问题．
【解答】
解：作于H．

平分，，，
，
．
故选C．  

4.【答案】D
 

【解析】解：如图．过点D作于F．

平分，，，
，
在中，，，
，
在中，，，
，
，
故选：D．
如图．过点D作于首先证明，解直角三角形分别求出BD，DC即可解决问题．
本题考查角平分线的性质定理，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

5.【答案】D
 

【解析】【试题解析】

解：是线段AB的垂直平分线，，
，
平分，
，
即，
．
平分，，
，
，，
，
，
，
故选：D．
先由线段垂直平分线的性质及求出，再由AE平分可得出，由三角形内角和定理即可求出的度数，然后根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半可得，进而得出CE即可．
本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．

6.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题主要考查了垂直平分线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
根据垂直平分线的性质，可得到三角形的三个顶点距离相等的点是三条边的垂直平分线的交点．
【解答】

解：三角形的三个顶点距离相等的点是三条边的垂直平分线的交点．
故选D．
 

7.【答案】A
 

【解析】分析
本题考查了网格的特点和线段的垂直平分线，注意不要漏点，根据线段垂直平分线的性质，点C在AB的垂直平分线上，最后根据方格纸确定点C的个数．
详解
解：如图，满足，故点C在AB的垂直平分线上，有5个，
故选A．
 

8.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质，属于中考常考题型．
首先根据三角形内角和定理得到，设，利用三角形外角性质等知识点逐项判断即可．
【解答】
解：平分，CP平分，
，，
，，
，
设，则，
，
，故选项A正确，不符合题意；
，，
，故选项B正确，不符合题意；
如图，延长CP交AB于点F，则，，
，故选项C正确，不符合题意；选项D错误，符合题意．
故选D．
  

9.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题主要考查了轴对称的性质，三角形内角和定理以及等腰三角形的性质，属于中档题．
连接，，过A作于E，依据，，即可得出，再根据三角形内角和定理，即可得到答案．
【解答】
解：如图，连接，，过A作于E，

点B关于AC的对称点恰好落在CD上，
垂直平分，
，
，
，
，
又，
，
，
又，
，
故选B．  

10.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题考查的是角平分线的性质，直角三角形的性质，平行线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
作于N，根据平行线的性质，角平分线的定义得到，，根据直角三角形的性质求出DN，根据角平分线的性质定理计算即可．
【解答】
解：作于N，

，
，
在的平分线AD上，
，
，
，
，
，
，
是的平分线，，，
，
故选B．  

11.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题考查角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
根据角平分线的定义可得，再根据两直线平行，内错角相等可得，从而得到，根据等角对等边的性质可得，同理可得，然后求出的周长，代入数据进行计算即可．故正确，根据三角形的内角和定理可以判定正确，利用角平分线的性质证明正确．
【解答】
解：平分，
，
，
，
，
，
同理可得，
的周长，故正确，
，故正确，
如图，连接OA，作于E，于F，于G．

由题意得BO平分，CO平分，
，
：：：：：AC：BC，故正确，
故选：D．  

12.【答案】B
 

【解析】解析：，

和的平分线交于点F，

．，，

，

故选B．

13.【答案】2
 

【解析】解：作于E，
，
，
是平分线上一点，
，
，
，
是平分线上一点，，，
，
故答案为：2．
作于E，根据三角形的外角的性质得到，根据直角三角形的性质得到，根据角平分线的性质解答；
本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
 

14.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了轨迹：灵活运用几何性质确定图形运动过程中不变的几何量，从而判定轨迹的几何特征，然后进行几何计算．也考查了全等三角形的判定与性质．
过O点作于E，于F，连接CO，易得四边形OECF为矩形，由为等腰直角三角形得到，，则可证明≌，所以，，根据角平分线的性质定理的逆定理得到CO平分，从而可判断当P从点D出发运动至点B停止时，点O的运动路径为一条线段，接着证明，然后分别计算P点在D点和B点时OC的长，从而计算它们的差即可得到P从点D出发运动至点B停止时，点O的运动路径长．
【解答】
解：过O点作于E，于F，连接CO，如图，

为等腰直角三角形，
，，
易得四边形OECF为矩形，
，，
，
≌，
，，
平分，
当P从点D出发运动至点B停止时，点O的运动路径为一条线段，
，
即，
而，
，
，
当，时，，
当，时，，
当P从点D出发运动至点B停止时，点O的运动路径长．
故答案为．  

15.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查角的平分线，平行线的性质．
延长DC与直线AB、PF分别交于M、N，根据角平分线的定义可知，，利用两直线平行，同旁内角互补可知，结合三角形的内角和为得到，整理各角度关系可得结论．
【解答】
解：延长DC与直线AB、PF分别交于M、N，

平分，DG平分
，，
设，


即

又







．
故答案为：．  

16.【答案】
 

【解析】解：连接OB、OC，

垂直平分AB，
，
，
平分，
，
，，
≌，
，，
，
，
，
，
由折叠知，，
，
，
，
，
，
由折叠知，，，
，
．
故答案为：．
连接OB、OC，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得，再由角平分线条件与等腰三角形的条件证明≌，得，得，根据折叠性质得，进而求得，再由三角形内角和定理，求得，进而由等腰三角形的性质求得，再由折叠性质求得结果．
本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，等边对等角的性质，以及翻折变换的性质，作辅助线，构造出等腰三角形是解题的关键．
 

17.【答案】30
 

【解析】解：垂直平分BC，
，
，
为等边三角形，
，
．
故答案为：30．
根据垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，再利用等边三角形的性质得到，从而可得．
本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，外角的性质，解题的关键是利用垂直平分线的性质得到．
 

18.【答案】解：证明：过C点作，交AB的延长线于点F，则， 
， ，
，
又， 
，
， 平分．
，．
由易得，
在和中，，， 
，
，，
，，．

 

【解析】略
 

19.【答案】解： ．
．
过点D作交BC于F，

，BD平分，，
，
即，．
 

【解析】略
 

20.【答案】证明：如图1中，

垂直平分线段BC，
，
，
，
．

作点P关于GN的对称点，连接交GN于Q，连接PQ，点Q即为所求．

结论：Q是GN的中点．
理由：设交GN于K．
，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
是GN的中点．
 

【解析】只要证明即可解决问题；
作点P关于GN的对称点，连接交GN于Q，连接PQ，点Q即为所求．
结论：Q是GN的中点．想办法证明，，可得，；
本题考查作图复杂作图、线段的垂直平分线的性质、直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

21.【答案】解：；理由如下：
延长BE交CD延长线于F，如图所示：
，
，
，
平分，CE平分，
，，
，
，
，
平分，
，
在与中，，
≌，
，，
，
，
在与中，，
≌，
，
；
；理由如下：
，
，
，
平分，CE平分，
，，
，
，
．
 

【解析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，平行线的判定与性质，角平分线的定义等知识；证明并作出辅助线是解题的关键．
证出，由平行线的性质可得，又BE、CE都是角平分线，可以推出，从而得到，然后延长BE交CD的延长线于点F，先证明≌，得到，，然后证明≌，得出即可；
证出，由平行线的性质可得，又BE、CE都是角平分线，可以推出，从而得到即可．
 

22.【答案】解：线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，
，
，
，
；

根据题意可知，
，
，，
，
，
，
．
 

【解析】根据线段垂直平分线的性质可知，根据等腰三角形的性质可得，根据三角形的外角性质即可证得；
根据题意可知，根据等腰三角形的性质可得，再根据三角形的内角和公式即可解答．
本题主要考查了等腰三角形的性质、垂直平分线的性质以及三角形的外角性质，难度适中．
 

23.【答案】解：，
证明：过点P点作于E，于F，如图，

，
是的平分线，
，
，，
，
而，
，
在和中，
≌，
．
 

【解析】

【分析】
根据角平分线性质可知；
过点P点作于E，于F，根据垂直的定义得到，由OM是的平分线，根据角平分线的性质得到，利用四边形内角和定理可得到，而，则，然后根据“AAS”可判断≌，根据全等的性质即可得到．
本题考查了角平分线的性质：角平分线上的点到这个角两边的距离相等．也考查了三角形全等的判定与性质．
【解答】
解：是的平分线，
角平分线上点到角两边的距离相等，
故答案为；
见答案．