初中数学华师大版八年级上册14.1 勾股定理综合与测试课时训练

14.1勾股定理同步练习华师大版初中数学八年级上册

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 求证：两直线平行，内错角相等．
   如图，若，且AB、CD被EF所截，求证：．

以下是打乱的用反证法证明的过程：

如图，过点O作直线，使，

由理论依据1，可得，

假设，

，

与理论依据2矛盾，假设不成立．

证明步骤的正确顺序是   

A.  B.  C.  D.

2. 如图，有一张直角三角形纸片ABC，两直角边，，将折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD等于   

A.  cm B.  cm C.  cm D.  cm

3. 如图，在中，，，M是BC的中点，于点N，则   

A.
B.
C. 6
D. 11

4. 定义：中，一个内角的度数为，另一个内角的度数为，若满足，则称这个三角形为“准直角三角形”如图，在中，，，，D是BC上的一个动点，连接AD，若是“准直角三角形”，则CD的长是

A.
B.
C.
D.

5. 在中，，，BC边上的中线，则边AB上的高为

A. 8 B.  C. 10 D. 12

6. 如图，在中，，，点M为BC的中点，于点N，则MN等于

A.
B.
C.
D.

7. 在中，，，的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是

A. 如果，那么 是直角三角形
B. 如果：：：2：3，那么 是直角三角形
C. 如果 ：：：16：25，那么 是直角三角形
D. 如果 ，那么 是直角三角形且

8. 如图，在中，AD，BE分别是BC，AC边上的中线，且，垂足为点F，设，，，则下列关系式中成立的是

A.
B.
C.
D.

9. 如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是

A. 3，4，5 B. 5，12，13 C. 12，16，20 D. ，，

10. 如图，分别以直角三边为边向外作三个正方形，其面积分别用、、表示，若，，那么

A. 9
B. 5
C. 53
D. 45

11. 满足下列条件中的一个，其中不能说明是直角三角形的是

A.  B. a：b：：：2
C.  D. ：：：4：5

12. 在用反证法证明“三角形的最大内角不小于”时，假设三角形的最大内角不小于不成立，则有三角形的最大内角

A. 小于 B. 等于
C. 大于 D. 大于或等于

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

13. 如图所示的网格是正方形网格，则          点A，B，P是网格线交点．
     

14. 如图，已知边长为2的等边三角形ABC中，分别以点A，C为圆心，m为半径作弧，两弧交于点D，连结若BD的长为，则m的值为______．
     

15. 若实数m、n满足，且m、n恰好是直角三角形的两条边，则该直角三角形的斜边长为______．
16. 把两个同样大小的含角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A，且另三个锐角顶点B，C，D在同一直线上．若，则          ．

17. 如图，每个小正方形的边长都为1，则的三边长a，b，c的大小关系是______用“”连接．
    
     

三、解答题（本大题共6小题，共48.0分）

18. 如图，在中，，若，．
     

若，求AC的长

若，求AC的长．






 

19. 如图，在中，于点D，，，．
     

求CD的长

求AB的长

判断的形状．






 

20. 如图，在四边形ABCD中，，，点E是BC的中点，点F是CD上一点，且求证：．
    
     

21. 我们规定：三角形任意一条边的“线高差”等于这条边与这条边上的高之差如图，在中，CD为AB边上的高，AB的“线高差”等于，记为．
     

如图，在中，，，垂足为D，，，则              

如图，在中，，，，求．






 

22. 如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．点A、B、C是格点，D为线段AC与某一格线的交点．
    ______；______；
    请选择适当的格点，用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，保留连线的痕迹，不要求说明理由．试找一点M使，且．
    
    
    
    
    
    
     
23. 一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新的证明方法．如图火柴盒的一个侧面ABCD倒下到AEFG的位置，连接CF，，，．
    请你结合图1用文字和符号语言分别叙述勾股定理．
    请利用直角梯形BCFG的面积证明勾股定理：．

答案和解析

1.【答案】D
 

【解析】假设，
过点O作直线，使，
由理论依据1，可得，
与理论依据2矛盾，假设不成立，
，故选D．
 

2.【答案】C
 

【解析】设，则，
将折叠，使点B与点A重合，
，
在中，，
 ，
解得．
 

3.【答案】A
 

【解析】连结AM，，点M为BC的中点，
三线合一，，
，
，在中，，，
根据勾股定理得，
又，
故选A．

4.【答案】C
 

【解析】解：作于设，．
设，，当时，
，
，
，
∽，
，
舍去；
设，，当时，，
，
，，
，
，，，
≌，
，
，，，
，
，设，则，
在中，则有，
解得．
．
故选：C．
作于分两种情形：设，，当时；设，，当时，分别求解即可．
本题考查的是勾股定理，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于选择题中的压轴题．
 

5.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题考查勾股定理的逆定理，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会利用面积法求三角形的高．
如图，作于利用勾股定理的逆定理证明，再利用面积法求出EC即可．
【解答】
解：如图，作于E．

是的中线，，
，
，，，
，
，
是直角三角形，且，
，
，
，
故选：B．  

6.【答案】B
 

【解析】解：连接AM，
，点M为BC中点，
三线合一，，
，，
，
在中，，，
根据勾股定理得：，
又，
．
故选：B．
连接AM，根据等腰三角形三线合一的性质得到，根据勾股定理求得AM的长，再根据在直角三角形的面积公式即可求得MN的长．
本题考查等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用面积法求线段的长．
 

7.【答案】D
 

【解析】解：A、如果，由，可得，那么 是直角三角形，选项正确；
B、如果：：：2：3，由，可得，那么 是直角三角形，选项正确；
C、如果 ：：：16：25，满足，那么 是直角三角形，选项正确；
D、如果 ，那么 是直角三角形且，选项错误；
故选：D．
根据直角三角形的判定和勾股定理的逆定理解答即可．
本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形．
 

8.【答案】A
 

【解析】解：设，，
，BE分别是BC，AC边上的中线，
点F为的重心，，，
，，
，
，
在中，，
在中，，
在中，，
得，
，
得，
即．
故选：A．
设，，根据三角形重心的性质得，，利用勾股定理得到，，，然后利用加减消元法消去x、y得到a、b、c的关系．
本题考查了三角形的重心：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：也考查了勾股定理．
 

9.【答案】D
 

【解析】解：A、，能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
B、，能组成直角三角形，故本选项不符合；
C、，能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、，不能组成直角三角形，故本选项符合题意．
故选：D．
根据勾股定理的逆定理对四个选项进行逐一分析即可．
本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形．
 

10.【答案】A
 

【解析】解：在中，，
，，，
．
，，
．
故选：A．
根据勾股定理与正方形的性质解答．
本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
 

11.【答案】D
 

【解析】解：A、由可得：，可以组成直角三角形，故此选项不符合题意；
B、，可以组成直角三角形，故此选项不符合题意；
C、由，，可得：，可以组成直角三角形，故此选项不符合题意；
D、：：：4：5，，最大角，不能构成直角三角形，故选项符合题意；
故选：D．
根据勾股定理的逆定理和三角形内角和定理求出最大角，即可判断．
本题考查了三角形内角和定理，勾股定理的逆定理的应用，能熟记定理的内容是解此题的关键．
 

12.【答案】A
 

【解析】解：在用反证法证明“三角形的最大内角不小于”时，
假设三角形的最大内角不小于不成立，则有三角形的最大内角小于．
故选：A．
根据反证法的步骤，从命题的反面出发假设出结论．
本题考查了反证法的步骤，熟记反证法的步骤：假设结论不成立；从假设出发推出矛盾；假设不成立，则结论成立．
 

13.【答案】45
 

【解析】延长AP到D，连结BD，则， ，
，
，
，
 ．

14.【答案】2或
 

【解析】解：由作图知，点D在AC的垂直平分线上，
是等边三角形，
点B在AC的垂直平分线上，
垂直平分AC，
设垂足为E，
，
，
当点D、B在AC的两侧时，如图，
，
，
，
；
当点D、B在AC的同侧时，如图，
，
，
，
，
综上所述，m的值为2或，
故答案为：2或．
由作图知，点D在AC的垂直平分线上，得到点B在AC的垂直平分线上，求得BD垂直平分AC，设垂足为E，得到，当点D、B在AC的两侧时，如图，当点D、B在AC的同侧时，如图，解直角三角形即可得到结论．
本题考查了勾股定理，等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质．正确的作出图形是解题的关键．
 

15.【答案】5或4
 

【解析】

【分析】
本题考查非负数的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．利用非负数的性质求出m，n即可解决问题．
【解答】
解：，
，，
当m，n是直角边时，
直角三角形的斜边，
当是斜边时，斜边为4，
故答案为5或4．  

16.【答案】
 

【解析】略
 

17.【答案】
 

【解析】解：由勾股定理可得：，，，
．
故答案为：．
观察图形根据勾股定理分别计算出a、b、c的值，因为a、b、c大于0，所以分别求、、比较大小即可比较a、b、c的大小．
本题考查了勾股定理的灵活运用，考查了实数大小的比较，本题中正确的把比较a、b、c的值转化为比较、、的值是解题的关键．
 

18.【答案】解：，
，
，，
 

．
过点D作于点E，
，，，
，
在中， ，
易知，
在中，，
即 ，
，
解得．

【解析】略
 

19.【答案】解：，
．


．
．

，
．


．
 ．


．

，
，
．
是直角三角形．

【解析】略
 

20.【答案】解：设，则，
是BC的中点，，
，，，
在中，由勾股定理可得，
同理可得，，
 ，
为直角三角形，．
 

【解析】略
 

21.【答案】解：在中，，，
，
，故答案为2．

在中， ，，，


，
易知AB边上的高为，．

【解析】略
 

22.【答案】  2
 

【解析】解：，
由平行线等分线段定理可知：
故答案为：，2．

如图，线段DM即为所求．

利用勾股定理以及平行线等分线段定理解决问题即可．
取格点K，连接BK得到点M，连接DM即可．
本题考查作图应用与设计，勾股定理，平行线等分线段定理，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

23.【答案】解：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
中，，，，，则有．
，
，
，
整理得：．
 

【解析】本题考查勾股定理，勾股定理的证明等知识，解题的关键是学会用面积法证明勾股定理，属于中考常考题型．
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，再结合图形用式子表示即可．
用两种方法求出梯形BCFG的面积，列出等式，即可证明．