2020-2021学年四川省绵阳市高二（下）3月月考数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年四川省绵阳市高二（下）3月月考数学试卷人教A版，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 已知函数f(x)在x0处的导数为f′(x0)，则limΔx→0f(x0)−f(x0−mΔx)Δx等于( )
A.mf′(x0)B.−mf′(x0)C.−1mf′(x0)D.1mf′(x0)

2. 垂直于直线2x−6y+1=0，且与曲线y=x3+3x2−1相切的直线方程是( )
A.3x+y−2=0B.3x−y+2=0C.3x+y+2=0D.3x−y−2=0

3. 函数y=4x2+1x单调递增区间是（ ）
A.(0, +∞)B.(−∞, 1)C.(12,+∞)D.(1, +∞)

4. 已知函数f(x)=x2(x+3)，则( )
A.x=0是f(x)的极大值点B.x=0是f(x)的极小值点
C.x=−32是f(x)的极小值点D.x=−2是f(x)的极小值点

5. 已知函数fx=−x2−2x+3在区间a,2上的最大值为154，则a=( )
A.12B.−32C.−12D.−12或−32

6. 若不等式x4−4x3>2−a对任意实数x都成立，则实数a的取值范围是( )
A.a<−27B.a>−25C.a≥29D.a>29

7. 若函数f(x)=x3−12x在区间(k−1, k+1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是( )
A.k≤−3或−1≤k≤1或k≥3B.不存在这样的实数k
C.−2
8. 设函数fx=lnx+ax2+bx，若x=1是函数fx的极大值点，则a的取值范围是( )
A.−∞,12B.−∞,1C.[1,+∞)D.12,+∞
二、填空题

函数fx=lnx在区间1,e上的平均变化率为________．
三、解答题

已知函数fx=ax3−3x2+1−3a.
(1)若函数fx在x=−1时取到极值，求实数a的值；

(2)试讨论函数fx的单调性．

已知函数fx=x2−8lnx ，gx=−x2+14x.
(1)若函数fx与gx在区间a,a+1上均为增函数，求a的取值范围；

(2)若方程fx=gx+m有唯一解，试求实数m的值.
参考答案与试题解析
2020-2021学年四川省绵阳市高二（下）3月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
A
【考点】
导数的概念
【解析】
根据题意，由极限的运算性质可得lim△x→0f(x0)−f(x0−m△x)△x=mlim△x→0f(x0)−f(x0−m△x)m⋅△x，结合导数的定义计算可得答案．
【解答】
解：根据题意，
limΔx→0f(x0)−f(x0−mΔx)Δx
=mlimΔx→0f(x0)−f(x0−mΔx)m⋅Δx=mf′(x0).
故选A.
2.
【答案】
C
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系
【解析】
根据已知直线的斜率，利用两直线垂直时斜率的乘积为−1求出所求直线的斜率，然后求出曲线方程的导函数，令导函数值等于求出的斜率，列出关于x的方程，求出方程的解即可得到切点的横坐标，把切点的横坐标代入曲线方程求出切点的纵坐标，确定出切点坐标，根据求出的切线斜率及切点坐标写出所求的直线方程．
【解答】
解：因为所求直线垂直于直线2x−6y+1=0，
所以其斜率为k=−3，
又由曲线y=x3+3x2−1求导数得
y′=3x2+6x，
由3x2+6x=−3，
解得x=−1，
则切点为−1,1，
所以切线方程为y−1=−3x+1，
即3x+y+2=0．
故选C．
3.
【答案】
C
【考点】
利用导数研究函数的单调性
【解析】
求出函数y的导函数y′，因为要求单调递增区间，令y′>0得到不等式求出x的范围即可．
【解答】
解：令y′=8x−1x2=8x3−1x2>0，
即(2x−1)(4x2+2x+1)>0，
解得x>12.
故选C.
4.
【答案】
B
【考点】
利用导数研究函数的极值
【解析】
首先求出函数f(x)=x2(x+3)的导函数，由导函数等于0求得导函数的零点，由导函数的零点对函数的定义域分段，根据导函数在各段内的符号判断函数在不同区间内的单调性，从而得到函数的极值点．
【解答】
解：由f(x)=x2(x+3)=x3+3x2，
得f′(x)=3x2+6x=3x(x+2)．
由f′(x)=3x(x+2)>0，得：x<−2或x>0．
由f′(x)=3x(x+2)<0，得：−2所以，函数f(x)的增区间为(−∞, −2)，(0, +∞)．
函数f(x)的减区间为(−2, 0)．
所以，x=−2是函数的极大值点，x=0是函数的极小值点．
故选B．
5.
【答案】
C
【考点】
利用导数研究函数的最值
【解析】
由函数y=fx的解析式，我们可以分析出函数图象的开口方向，对称轴，顶点坐标等信息，进而根据函数y=fx=−x2−2x+3在区间a,2上的最大值为154，可知区间a,2在对称轴的右侧，则a≥−1,fa=−a2−2a+3=154, 解方程组可得答案．
【解答】
解：f′(x)=−2x−2，
得f(x)在(−∞,−1)上单调递增，在(−1,+∞)上单调递减，
则函数最大值为f(−1)=4，
若函数y=fx=−x2−2x+3在区间[a,2]上的最大值为154，
则函数y=fx=−x2−2x+3在区间a,2上为减函数，
则a≥−1,fa=−a2−2a+3=154,
解得a=−12或a=−32(舍)，
故a=−12．
故选C．
6.
【答案】
D
【考点】
利用导数研究不等式恒成立问题
【解析】
设fx=x4−4x3，不等式x4−4x3>2−a对任意实数x都成立，只需[fx]min​>2−a，用导数法求出fxmin，即可求解．

【解答】
解：设fx=x4−4x3，f′x=4x3−12x2=4x2x−3，
当x<3时，f′x≤0；当x>3时，f′x>0.
fx的递减区间是−∞,3，递增区间是3,+∞.
所以x=3时，fx取得极小值，也是最小值，
fxmin=f3=−27.
不等式x4−4x3>2−a对任意实数x都成立，
所以−27>2−a，a>29.
故选D．
7.
【答案】
D
【考点】
已知函数的单调性求参数问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：f′(x)=3x2−12，
由f′(x)>0，得函数的增区间是(−∞,−2)和(2,+∞)；
由f′(x)<0，得函数的减区间为(−2,2).
由于函数在区间(k−1, k+1)上不是单调函数，
所以有k−1<−2解得−3故选D．
8.
【答案】
A
【考点】
利用导数研究函数的极值
【解析】
fx的定义域为0,+∞，f′x=1x+2ax−b，由f′(1)=0，得b=1−a．所以f′x=−2ax+1x−1x能求出a的取值范围．
【解答】
解：fx的定义域为0,+∞，
f′x=1x+2ax+b，
由 f′1=0，得b=−1−2a，
所以f′x=2ax−1x−1x，
①若a=0，当00，此时fx单调递增；
当x>1时，f′x<0，此时fx单调递减，
所以x=1是fx的极大值点，满足题意，所以a=0成立．
②若a>0，由f′x=0，得x=1，x=12a，
当12a>1时，即a<12，
此时当00，fx单调递增；
当12a>x>1时， f′x<0，fx单调递减，
所以x=1是fx的极大值点．成立．
如果a>12，x=1时，函数取得极小值，不成立；
③若a<0，由f′x=0，得x=1，或x=12a(舍去)，
此时x=1是fx的极大值点，成立；
综合①②③：a的取值范围是−∞,12．
故选A．
二、填空题
【答案】
1e−1
【考点】
变化的快慢与变化率
【解析】
根据平均变化率的公式进行求解即可．
【解答】
解：函数fx=lnx在区间[1,e]上的平均变化率为：
f(e)−f(1)e−1=1e−1．
故答案为：1e−1．
三、解答题
【答案】
解：(1)f′x=3ax2−6xa≠0，
∵函数fx在x=−1时取到极值，
∴f′−1=3a+6=0，解得a=−2，
经检验，当a=−2时，函数fx在x=−1时取到极小值，
∴实数a的值为−2.
(2)由f′x=0，得x=0或x=2a，
①当a<0时，2a<0，
由f′x>0，得2a由f′x<0，得x<2a或x>0，
∴函数fx的单调递增区间为2a,0，
单调递减区间为−∞,2a和0,+∞；
②当a>0时， 2a>0，同理可得，
函数fx的单调递增区间为−∞,0和2a,+∞，
单调递减区间为(0,2a).
【考点】
利用导数研究函数的极值
利用导数研究函数的单调性
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)f′x=3ax2−6xa≠0，
∵函数fx在x=−1时取到极值，
∴f′−1=3a+6=0，解得a=−2，
经检验，当a=−2时，函数fx在x=−1时取到极小值，
∴实数a的值为−2.
(2)由f′x=0，得x=0或x=2a，
①当a<0时，2a<0，
由f′x>0，得2a由f′x<0，得x<2a或x>0，
∴函数fx的单调递增区间为2a,0，
单调递减区间为−∞,2a和0,+∞；
②当a>0时， 2a>0，同理可得，
函数fx的单调递增区间为−∞,0和2a,+∞，
单调递减区间为(0,2a).
【答案】
解：(1)因为f′x=2x+2x−2x，又x>0 （定义域），
所以当x>2时， f′x>0；
当0即fx在2,+∞上单调递增，在0,2上单调递减；
又gx=−x−72+49，所以gx在−∞,7上单调递增，在7,+∞上单调递减，
欲使函数fx与gx在区间a,a+1上均为增函数，
则a≥2,a+1≤7,解之得2≤a≤6.
(2)原方程等价于2x2−8lnx−14x=m，
令ℎx=2x2−8lnx−14x，则原方程即为ℎx=m，
因为当x>0时原方程有唯一解，
所以函数y=ℎx与y=m的图象在y轴右侧有唯一的交点，
又ℎ′x=4x−8x−14=2x−42x+1x，且x>0，
所以当x>4时， ℎ′x>0，
当0即ℎx在4,+∞上单调递增，在0,4上单调递减，
故ℎx在x=4处取得最小值，
从而当x>0时，
原方程有唯一解的充要条件是m=ℎ4=−16ln2−24，
所以实数m的值为−16ln2−24.
【考点】
已知函数的单调性求参数问题
利用导数研究与函数零点有关的问题
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)因为f′x=2x+2x−2x，又x>0 （定义域），
所以当x>2时， f′x>0；
当0即fx在2,+∞上单调递增，在0,2上单调递减；
又gx=−x−72+49，所以gx在−∞,7上单调递增，在7,+∞上单调递减，
欲使函数fx与gx在区间a,a+1上均为增函数，
则a≥2,a+1≤7,解之得2≤a≤6.
(2)原方程等价于2x2−8lnx−14x=m，
令ℎx=2x2−8lnx−14x，则原方程即为ℎx=m，
因为当x>0时原方程有唯一解，
所以函数y=ℎx与y=m的图象在y轴右侧有唯一的交点，
又ℎ′x=4x−8x−14=2x−42x+1x，且x>0，
所以当x>4时， ℎ′x>0，
当0即ℎx在4,+∞上单调递增，在0,4上单调递减，
故ℎx在x=4处取得最小值，
从而当x>0时，
原方程有唯一解的充要条件是m=ℎ4=−16ln2−24，
所以实数m的值为−16ln2−24.