2020-2021学年河北省衡水市高二（下）4月月考数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年河北省衡水市高二（下）4月月考数学试卷人教A版，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 若ω=−12+32i，则ω4+ω2+1等于( )
A.1B.0C.3+3iD.−1+3i

2. 已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)=2xf′(1)+x2，则f′(1)=( )
A.−1B.−2C.1D.2

3. 用数学归纳法证明等式1+2+3+...+(n+3)=(n+3)(n+4)2(n∈N∗)时，验证n=1，左边应取的项是( )
A.1B.1+2C.1+2+3D.1+2+3+4

4. 若a，b，c∈C，则a−b2+b−c2=0是a=b=c的( )
A.充要条件B.充分但不必要条件
C.必要但不充分条件D.既不充分也不必要条件

5. 函数y=2−x2−x3的极值情况是( )
A.有极大值，没有极小值B.有极小值，没有极大值
C.既无极大值也无极小值D.既有极大值也有极小值

6. k棱柱有f(k)个对角面，则k+1棱柱的对角面个数f(k+1)为( )
A.f(k)+k−1B.f(k)+k+1C.f(k)+kD.f(k)+k−2

7. 已知复数z=1−2i，则复数z1=zi−|z|在复平面上的对应点在( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

8. 已知y=fx为R上的连续可导函数，当x≠0时，f′x+fxx>0，则函数gx=fx+1x的零点个数为( )
A.1B.2C.0D.0或2

9. 若函数f(x)=2x2−lnx在其定义域内的一个子区间(k−1, k+1)内不是单调函数，则实数k的取值范围是( )
A.[1, +∞)B.[1, 32)C.[1, 2)D.[32, 2)

10. 定义在R上的可导函数f(x)，已知y=ef′(x) 的图象如图所示，则y=f(x)的增区间是( )

A.(−∞, 1)B.(−∞, 2)C.(0, 1)D.(1, 2)

11. 如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数且两端的数均为1n(n≥2)，其余每个数是它下一行左右相邻两数的和，如11=12+12，12=13+16，13=14+112，⋯，则第7行第4个数（从左往右数）为( )

A.1140B.1105C.160D.142

12. 定义在[a,3]上的函数f(x)=ex−1ex−2x，(a>0)满足f(a+1)≤f(2a2)，则实数a的取值范围是( )
A.(0,62]B.(1,62)C.[233,62]D.[1,62]
二、填空题

设n≥2，n∈N，(2x+12)n−(3x+13)n=a0+a1x+a2x2+⋯+anxn，将|ak|(0≤k≤n)的最小值记为Tn，则T2=0，T3=123−133，T4=0，T5=125−135，⋯，Tn，⋯，其中Tn=________．

已知复数z=x+yi，且|z−2|=3，则yx的最大值是________．

若关于x的不等式x3−3x2−9x+2≥m对任意x∈−2,2恒成立，则m的取值范围是________．

请阅读下列材料：若两个正实数a1，a2满足a12+a22=1，那么a1+a2≤2．证明：构造函数f(x)=(x−a1)2+(x−a2)2=2x2−2(a1+a2)x+1，因为对一切实数x，恒有f(x)≥0，所以Δ≤0，从而得4(a1+a2)2−8≤0，所以a1+a2≤2．类比上述结论，若n个正实数满足a12+a22+⋯+an2=1时，你能得到的结论为________．
三、解答题

设复数z=(1+i)2+3(1−i)2+i，若z2+az+b=1+i，求实数a，b的值．

已知函数f(x)=ax3+bx2−3x在x=±1处取得极值．若过点A(0, 16)作曲线y=f(x)的切线，求切线方程．

我们知道：圆的任意一弦（非直径）的中点和圆心连线与该弦垂直；那么，若椭圆b2x2+a2y2=a2b2的一弦（非过原点的弦）的中点与原点连线及弦所在直线的斜率均存在，你能得到什么结论？请予以证明．

已知函数f(x)=lnx+2x，g(x)=a(x2+x)．
(1)若a=12，F(x)=f(x)−g(x)，求F(x)的单调区间；

(2)若a≥1时，求证：f(x)≤g(x)．

某商品每件成本9元，售价为30元，每星期卖出432件，如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出商品件数与商品单价的降低值x（单位；元，0≤x≤30）的平方成正比，已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件.
(1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数f(x)；

(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？

设数列an的前n项和为Sn，且对任意的自然数n都有：Sn−12=anSn.
(1)求S1，S2，S3；

(2)猜想Sn的表达式并用数学归纳法证明．
参考答案与试题解析
2020-2021学年河北省衡水市高二（下）4月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
复数代数形式的混合运算
【解析】
复数1的立方根的性质，1=ω3ω2+ω+1=0可得结果．
【解答】
解：由ω=−12+32i可得
ω2=−12−32i，ω4=ω，
∴ω2+ω+1=0，
∴ ω4+ω2+1=ω+ω2+1=0.
故选B．
2.
【答案】
B
【考点】
导数的运算
【解析】
利用导数的运算法则求出f′(x)，令x＝1可得f′(1)＝2f′(1)+2，计算可得答案．
【解答】
解：f′(x)=2f′(1)+2x，
令x=1得，f′(1)=2f′(1)+2，
∴ f′(1)=−2.
故选B．
3.
【答案】
D
【考点】
数学归纳法
【解析】
由等式 1+2+3+…+(n+3)=(n+3)(n+4)2(n∈N+)，当n=1时，n+3=4，而等式左边起始为1的连续的正整数的和，由此易得答案．
【解答】
解：在等式 1+2+3+…+(n+3)=(n+3)(n+4)2(n∈N∗)中，
当n=1时，n+3=4，
而等式左边起始为1的连续的正整数的和，
故n=1时，等式左边的项为：1+2+3+4.
故选D．
4.
【答案】
C
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：若a=b=c，则a−b2+b−c2=0，故必要性成立；
若a=1，b=0，c=i，则满足a−b2+b−c2=1+i2=0，
但不满足a=b=c，故充分性不成立，
故a−b2+b−c2=0是a=b=c的必要但不充分条件.
故选C.
5.
【答案】
D
【考点】
利用导数研究函数的极值
【解析】
由已知得y′=−2x−3x2，令y′=0，得x=0或x=−23，由此能求出函数y=2−x2−x3既有极大值又有极小值．
【解答】
解：∵ y=2−x2−x3，
∴ y′=−2x−3x2，
由y′=0，得x=0或x=−23，
当x∈(−∞, −23)时，y′0；
当x∈(0, +∞)时，y′0时，(xgx)′=(xfx)′=xf′x+f(x)=x[f′(x)+f(x)x]>0，
所以在0,+∞上，函数xgx单调递增．
又因为x→0时，xf(x)+1→1，于是在0,+∞上，函数xgx=xf(x)+1>1恒成立，
因此，在0,+∞上，函数xgx=xf(x)+1>1没有零点；
②当x0，
∴ 当02时，F′(x)0)，
则由ℎ′(x)=f′(x)−g′(x)
=1x+2−2ax−a
=−(2x+1)(ax−1)2=0，
解得x=1a．
∴ 当x∈(0,1a)时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)在(0,1a)上单调递增，
当x∈(1a,+∞)时，ℎ′(x)0)，
F′(x)=1x−x+32
=2−2x2+3x2x=−(2x+1)(x−2)2x.
∵ x>0，
∴ 当02时，F′(x)0)，
则由ℎ′(x)=f′(x)−g′(x)
=1x+2−2ax−a
=−(2x+1)(ax−1)2=0，
解得x=1a．
∴ 当x∈(0,1a)时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)在(0,1a)上单调递增，
当x∈(1a,+∞)时，ℎ′(x)