2020-2021学年甘肃省陇南市高二（下）4月月考数学（理）试卷人教A版

这是一份2020-2021学年甘肃省陇南市高二（下）4月月考数学（理）试卷人教A版，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知空间向量a→=(−1, 0, 3)，b→=(3, −2, x)，若a→⊥b→，则实数x的值是( )
A.−1B.0C.1D.2

2. 已知向量a→=1,−2,2，b→=1,1,6，则|a→−b→|=( )
A.25B.17C.17D.5

3. 如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，点M为A1C1的中点，若BA→=a→，BC→=b→，BB1→=c→，则下列向量与BM→相等的是( )

A.−12a→−12b→+c→B.12a→+12b→+c→
C.−12a→+12b→+c→D.12a→+12b→−c→

4. 已知AB→=2,4,5，CD→=3,x,y，若AB→//CD→，则( )
A.x=6，y=1B.x=6， y=152
C.x=3，y=15D.x=3， y=152

5. 设向量a→=1,7,2，b→=−2,−3,1，c→=3,1,2，则( )
A.a→+2c→与b→垂直B.a→+2b→与c→垂直
C.a→+2c→与b→共线D.a→+2b→与c→共线

6. 在四面体O−ABC中，空间的一点M满足OM→=14OA→+16OB→+λOC→，若MA→，MB→，MC→共面，则λ=( )
A.12B.13C.712D.512

7. 如图所示，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1=AB=AC，AB⊥AC，M是CC1的中点，Q是BC的中点，P是A1B1的中点，则直线PQ与AM所成的角为( )

A.π6B.π4C.π3D.π2

8. 已知函数y=f(x)的图象在点M(1, f(x))处的切线方程是y=12x+2，那么f(1)+f′(1)=( )
A.12B.1C.52D.3

9. 已知函数y=fx，其导函数y=f′x的图象如图，则对于函数y=fx的描述正确的是( )

A.在−∞,0上为减函数B.在x=0处取得最大值
C.在4,+∞上为减函数D.在x=2处取得最小值

10. 若函数fx=ax2+bcsx+c满足f′3=5，则f′−3=( )
A.−5B.−3C.0D.5

11. 已知函数fx=2e2x+1−2e−2x−mx在R上为增函数，则m的取值范围为( )
A.−∞,8eB.[8e,+∞)C.−∞,4eD.[4e,+∞)

12. 设f(x)，g(x)是数值为正的可导函数，且f′(x)g(x)−f(x)g′(x)f(b)g(b)D.f(x)g(x)>f(a)g(a)
二、填空题

已知向量a→=1,2,3，b→=2,1,k，若a→⊥(a→+b→)，则k的值为________.

已知AB→=1,1,−2，BC→=1,−1,z，BP→=x−1,y,−1．若BP⊥平面ABC，则CP→的最小值为________.

函数fx=2xf′π2−csx+1的图象在点0,f0处的切线方程为________．

函数fx=lnx−ax在0,+∞上有两个零点，则实数a的取值范围是________．
三、解答题

三棱柱ABC−A1B1C1中，侧棱与底面垂直，∠ABC=90∘，AB=BC=BB1=2，M，N分别是AB，A1C的中点．

(1)求证：MN // 平面BCC1B1；

(2)求证：MN⊥平面A1B1C．

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60∘，AC⊥PB，PB=2AB=2PD.

(1)证明：PD⊥平面ABCD．

(2)求二面角D−PB−C的余弦值．

已知函数fx=ax3−3x2+1−3a.
(1)若函数fx在x=−1时取到极值，求实数a的值；

(2)试讨论函数fx的单调性．

已知函数fx=lnx+axa∈R.
(1)讨论fx的单调区间；

(2)若fx≤ex−1+1x−1恒成立，求实数a的取值范围．

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，E是PD上的点．

(1)当E是PD的中点时，求证：PB//平面AEC；

(2)设PA=AB=1，PC=3，若直线PC与平面AEC所成角的正弦值为13，求PE的长．

已知函数fx=ax−lnx+1有两个不同的零点x1，x2x12efx0．
参考答案与试题解析
2020-2021学年甘肃省陇南市高二（下）4月月考数学（理）试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
向量的数量积判断向量的共线与垂直
空间向量运算的坐标表示
【解析】
根据a→⊥b→时，a→⋅b→=0，列方程求出x的值．
【解答】
解：向量a→=(−1, 0, 3)，b→=(3, −2, x)，
若a→⊥b→，
则−1×3+0×(−2)+3x=0，
解得x=1．
故选C.
2.
【答案】
D
【考点】
空间向量运算的坐标表示
向量的模
向量的减法及其几何意义
【解析】
先求出a→−b→=0,−3,−4，再利用模长公式求解即可.
【解答】
解：∵ a→=1,−2,2，b→=1,1,6，
∴ a→−b→=0,−3,−4，
∴ |a→−b→|=02+−32+−42=5.
故选D.
3.
【答案】
B
【考点】
空间向量的加减法
【解析】

【解答】
解：BM→=BA→+AA1→+A1M→
=a→+c→+12AC→
=a→+c→+12BC→−BA→
=a→+c→+12b→−a→
=12a→+12b→+c→．
故选B．
4.
【答案】
B
【考点】
向量语言表述线线的垂直、平行关系
【解析】
由AB→//CD→，得到32=x4=y5，求解即可.
【解答】
解：∵ AB→=2,4,5，CD→=3,x,y，AB→//CD→，
∴ 32=x4=y5，
解得x=6，y=152.
故选B.
5.
【答案】
B
【考点】
向量的数量积判断向量的共线与垂直
空间向量运算的坐标表示
【解析】
∵ a→+2c→=79,,,a→+2b→=−3,1，∴ a→+2c→与b→不垂直也不共线，a→+2b→与c→垂直．
【解答】
解：∵ a→+2c→=7,9,6，a→+2b→=−3,1,4，
∴ a→+2c→与b→不垂直也不共线，a→+2b→与c→垂直．
故选B .
6.
【答案】
C
【考点】
共线向量与共面向量
【解析】
利用向量共面基本定理即可得出结论．
【解答】
解：由MA→，MB→，MC→共面可知，14+16+λ=1，
解得λ=712.
故选C.
7.
【答案】
D
【考点】
用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】
以A为坐标原点，分别以AB，AC，AA1 所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，AA1=AB＝AC=2，分别求出PQ→与AM→的坐标，利用空间向量求解．
【解答】
解：以A为坐标原点，分别以AB，AC，AA1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
设AA1=AB=AC=2，
则A(0, 0, 0)，M(0, 2, 1)，P(1, 0, 2)，Q(1, 1, 0)，
∴ PQ→=(0,1,−2)，AM→=(0,2,1)，
∴ cs=PQ→⋅AM→|PQ→|⋅|AM→|=2−25×5=0，
∴ 直线PQ与AM所成的角是π2．
故选D.
8.
【答案】
D
【考点】
导数的几何意义
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
因为切点坐标一定满足切线方程，所以据此可以求出f(1)的值，又因为切线的斜率是函数在切点处的导数，就可求出f′(1)的值，把f(1)和f′(1)代入即可．
【解答】
解：∵ 点M(1, f(1))是切点，
∴ 点M在切线上，
∴ f(1)=12+2=52，
∵ 函数y=f(x)的图象在点M(1, f(1))处的切线的方程是y=12x+2，
∴ 切线斜率是12，
即f′(1)=12，
∴ f(1)+f′(1)=52+12=3．
故选D．
9.
【答案】
C
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究函数的极值
【解析】
无
【解答】
解：当0