2020-2021年广西省桂林市高一（下）2月月考数学试卷人教A版

这是一份2020-2021年广西省桂林市高一（下）2月月考数学试卷人教A版，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 已知集合A={1, 2, 3}，B={2, 3, 4, 5}，则A∩B=( )
A.{2}B.{3}C.{4, 5}D.{2, 3}

2. 直线y=x−1的倾斜角是( )
A.30∘B.45∘C.60∘D.90∘

3. 函数fx=2x−1的定义域为( )
A.[0,2)B.2,+∞C.[12,+∞)D.[1,+∞)

4. 函数fx=2x+x的零点所在的区间是( )
A.−2,−1B.−1,0C.0,1D.1,2

5. 如图，正方体ABCD−A1B1C1D1中，AC与BC1所成角的大小是( )

A.30∘B.45∘C.60∘D.90∘

6. 下列函数中，是偶函数且在区间−∞,0上为减函数的是( )
A.y=13xB.y=lg3xC.y=x2D.y=−|x|

7. 经过点(−1, 0)，且与直线x+2y−3=0垂直的直线的方程是( )
A.2x−y+2=0B.2x+y+2=0C.2x−y−2=0D.x−2y+1=0

8. 已知a=lg20.3，b=20.3，c=0.20.3，则下列关系正确的是( )
A.b>c>aB.c>b>aC.a>b>cD.b>a>c

9. 已知函数fx是定义在R上的奇函数，且图象关于直线x=1对称．当0A.−74B.74C.−94D.94

10. 如果函数f(x)=x2−2(1−a)x+2在[3, +∞)上是增函数，那么实数a的取值范围是( )
A.a≤−3B.a≤5C.a≥5D.a≥−2

11. 已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题正确的是( )
A.若m⊥α，m⊥n，则n // α
B.若直线m，n与平面α所成角相等，则m // n
C.若m⊂α，n⊂α且m // β，n // β，则α // β
D.若m⊥α，n // β且α // β，则m⊥n

12. 函数 f(x)=ln(x−1x) 的图象大致是( )
A.B.
C.D.
二、填空题

lg22=________.

已知幂函数fx=xa的图象过点4,2，则f9=________.

已知函数f(x)=3x+2,x<1，x2+ax，x≥1，若f(f(0))=4a，则实数a=________.

已知一个几何体的三视图如图所示，俯视图为等腰三角形，则该几何体的外接球的表面积为________.

三、解答题

已知点A2,2，直线l：3x−y+2=0.
(1)求A点到直线l的距离；

(2)求过点A且与直线l平行的直线的方程．

已知集合A=x|2a−1(1)若a=1，求A∪B；

(2)若A∩B=⌀，求实数a的取值范围．

已知函数f(x)=x+1x.
(1)用定义证明f(x)在[1, +∞)是增函数；

(2)求f(x)在[1, 4]上的最大值与最小值．

某科技公司生产一种产品的固定成本是20000元，每生产一台产品需要增加投入100元．已知年总收益R（元）与年产量x（台）的关系式是R(x)=500x−12x2(0≤x≤500)，125000(x>500).
(1)把该科技公司的年利润y（元）表示为年产量x（台）的函数；

(2)当年产量为多少台时，该科技公司所获得的年利润最大?最大年利润为多少元?（注：利润=总收益−总成本）

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，E为侧棱PD上一点．

(1)求证：CD//平面ABE；

(2)若E为PD中点，平面ABE与侧棱PC交于点F，且PA=PD=AD=2，求四棱锥P−ABFE的体积.

已知函数f(x)=3⋅2x−72x−3，g(x)=|lg2x|．
(1)当x∈[0, 1]时，求函数f(x)的值域；

(2)若关于x的方程g(x)=t有两个不等根α，β(α<β)，求αβ的值；

(3)是否存在实数a，使得对任意m∈[0, 1]，关于x的方程4g2(x)−4ag(x)+3a−1−f(m)=0在区间[18,4]上总有3个不等根x1，x2，x3，若存在，求出实数a与x1⋅x2⋅x3的取值范围；若不存在，说明理由．
参考答案与试题解析
2020-2021年广西省桂林市高一（下）2月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
交集及其运算
【解析】
由A与B，求出两集合的交集即可．
【解答】
解：∵ A={1, 2, 3}，B={2, 3, 4, 5}，
∴ A∩B={2, 3}．
故选D.
2.
【答案】
B
【考点】
直线的倾斜角
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：设该直线的倾斜角为α，
由y=x−1可知tanα=1，
所以α=45∘.
故选B.
3.
【答案】
C
【考点】
函数的定义域及其求法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：要使函数fx=2x−1有意义，
则2x−1≥0，
解得x≥12.
故选C.
4.
【答案】
B
【考点】
函数的零点
【解析】
解：当x=0时，f0=20+0=1>0当x=−1时，f−1=2−1−1=−12<0,
由于f0⋅f−1<0，且fx的图象在[−1,0）上连续，根据零点存在性定理，
fx在−1,0上必有零点，
故选B．
【解答】
解：当x=0时，f0=20+0=1>0，
当x=−1时，f−1=2−1−1=−12<0.
因为f0⋅f−1<0，且fx的图象在[−1,0)上连续，
根据零点存在性定理，fx在−1,0上必有零点.
故选B．
5.
【答案】
C
【考点】
异面直线及其所成的角
【解析】
由AC // A1C1，得∠A1C1B是AC与BC1所成角，由A1C1＝BC1＝A1B，能求出AC与BC1所成的角的大小．
【解答】
解：在正方体ABCD−A1B1C1D1中，连接A1C1，A1B，
∵ AC // A1C1，
∴ ∠A1C1B是AC与BC1所成角.
∵ A1C1=BC1=A1B，
∴ ∠A1C1B=60∘，
∴ AC与BC1所成的角为60∘．
故选C.
6.
【答案】
C
【考点】
函数单调性的判断与证明
函数奇偶性的判断
【解析】
利用函数的奇偶性和单调性逐一分析即可.
【解答】
解：A， y=13x为非奇非偶函数，不符合题意；
B，y=lg3x 定义域为(0,+∞)，为非奇非偶函数，不符合题意；
C，y=x2为偶函数，且在区间−∞,0上为减函数，符合题意；
D，y=−|x|为偶函数，且在区间−∞,0上为增函数，不符合题意.
故选C.
7.
【答案】
A
【考点】
直线的一般式方程与直线的垂直关系
【解析】
由垂直关系可得直线的斜率，进而可得点斜式方程，化为一般式即可．
【解答】
解：∵ 直线x+2y−3=0的斜率为−12，
∴ 与x+2y−3=0垂直的直线斜率为2，
∴ 所求直线方程为y−0=2(x+1)，
整理可得2x−y+2=0.
故选A.
8.
【答案】
A
【考点】
对数值大小的比较
【解析】
根据指数函数，对数函数的性质，分别判断a，b，c的大小即可得到结论．
【解答】
解：∵a=lg20.320=1，c=0.20.3∈(0, 1)，
∴ b>c>a.
故选A.
9.
【答案】
C
【考点】
函数奇偶性的性质
函数的求值
奇偶函数图象的对称性
【解析】
利用函数的对称性奇偶性得到f52=f−12=−f12.再利用0【解答】
解：∵ fx关于直线x=1对称，
∴ fx=f2−x，
∴ f52=f−12.
又fx为奇函数，
∴ f52=f−12=−f12.
当0∴ f12=122−2×12+3=94，
∴ f52=−f12=−94.
故选C.
10.
【答案】
D
【考点】
二次函数的性质
【解析】
根据题意，分析f(x)的对称轴以即开口方向，由二次函数的性质可得1−a≤3，解可得a的取值范围，即可得答案．
【解答】
解：∵函数f(x)=x2−2(1−a)x+2为二次函数，
∴其对称轴为x=1−a，开口向上，
若函数f(x)=x2−2(1−a)x+2在[3, +∞)上是增函数，
则1−a≤3，解得a≥−2.
故选D.
11.
【答案】
D
【考点】
空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】
通过图示采用排除法可否定A，C，D，故选B．
【解答】
解：A，若m⊥α，m⊥n，则n//α或n⊂α，故此选项错误；
B，若m，n相交，且都与平面α平行，则直线m，n与平面α所成角相等，但m，n不平行，故此选项错误；
C，当m，n平行时，不能推出α // β，故此选项错误；
D，若m⊥α，α // β，则m⊥ β，∵ n // β，∴ m⊥ n，故此选项正确.
故选D.
12.
【答案】
B
【考点】
函数图象的作法
【解析】
（1）.根据函数的性坏孩子、结合函数图象特点即可得到答案.
【解答】
解：由x−1x>0得，−11.
即函数的定义域为需满足−11，故AD错误；
当x>1时，y=x−1x为增函数，
∴f(x)=ln(x−1x)也为增函数，排除C.
故选B.
二、填空题
【答案】
1
【考点】
对数的运算性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：lg22=1.
故答案为：1.
【答案】
3
【考点】
函数的求值
【解析】
求出幂函数的解析式，从而求出f(9)的值即可．
【解答】
解：∵幂函数fx=xa的图象经过点4,2，
∴4a=2，
解得a=12，
∴fx=x，
∴f9=3.
故答案为：3．
【答案】
2
【考点】
分段函数的解析式求法及其图象的作法
函数的求值
【解析】
先求出f(0)=2，再令f(2)=4a，解方程4+2a=4a，得a值．
【解答】
解：由题知f(0)=2，f(2)=4+2a，
所以4+2a=4a，
解得a=2．
故答案为：2．
【答案】
41π4
【考点】
球的表面积和体积
球内接多面体
【解析】
首先把三视图转换为直观图，进一步求出几何体的外接球的半径，最后求出球的表面积．
【解答】
解：根据几何体的三视图可知该几何体是底面为等腰三角形，高为2的三棱锥体．如图所示：
设底面外接圆的半径为r，圆心为M，
则r2=12+2−r2，解得r=54，
设外接球的半径R，球心为O，则OM⊥底面，且OM=1，
则R=542+12=414，
所以S=4π×4116=41π4.
故答案为：41π4.
三、解答题
【答案】
解：(1)设点A到直线的距离为d，
则d=|6−2+2|32+−12=3105 .
(2)∵ 直线l的斜率k=3，
设过点A且与直线l平行的直线方程为y=3x+n，
把点A2,2代入y=3x+n，
解得n=−4，
∴ 过点A且与直线l平行的直线方程为3x−y−4=0 .
【考点】
点到直线的距离公式
直线的一般式方程与直线的平行关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)设点A到直线的距离为d，
则d=|6−2+2|32+−12=3105 .
(2)∵ 直线l的斜率k=3，
设过点A且与直线l平行的直线方程为y=3x+n，
把点A2,2代入y=3x+n，
解得n=−4，
∴ 过点A且与直线l平行的直线方程为3x−y−4=0 .
【答案】
解：(1)当a=1时，A={x|1∵ B={x|0≤x≤1}，
∴A∪B={x|0≤x<2} .
(2)∵ A∩B=⌀，
∴ ①当A=⌀时，即2a−1≥a+1，∴ a≥2；
②当A≠⌀时，则2a−1解得1≤a<2或a≤−1．
综上所述，实数a的取值范围是(−∞,−1]∪(1,+∞)．
【考点】
并集及其运算
集合关系中的参数取值问题
集合的包含关系判断及应用
【解析】


【解答】
解：(1)当a=1时，A={x|1∵ B={x|0≤x≤1}，
∴A∪B={x|0≤x<2} .
(2)∵ A∪B=⌀，
∴ ①当A=⌀时，即2a−1≥a+1，∴ a≥2；
②当A≠⌀时，则2a−1解得1≤a<2或a≤−1．
综上所述，实数a的取值范围是(−∞,−1]∪(1,+∞)．
【答案】
(1)证明：在[1, +∞)上任取x1，x2，且x1f(x1)−f(x2)=x1+1x1−(x2+1x2)
=(x1−x2)⋅x1x2−1x1x2
∵ 1≤x1∴ x1−x2<0，x1x2>0，
∵ x1∈[1, +∞)，x2∈[1, +∞)，
∴ x1x2−1>0.
∴ f(x1)−f(x2)<0，即f(x1)故f(x)在[1, +∞)上是增函数.
(2)解：由(1)知：f(x)在[1, 4]上是增函数，
∴ 当x=1时，有最小值2；
当x=4时，有最大值174.
【考点】
函数单调性的判断与证明
函数单调性的性质
【解析】
（I）用单调性定义证明，先任取两个变量且界定大小，再作差变形看符号．
(II)由(I)知f(x)在[1, +∞)上是增函数，可知在[1, 4]也是增函数，则当x＝1时，取得最小值，当x＝4时，取得最大值．
【解答】
(1)证明：在[1, +∞)上任取x1，x2，且x1f(x1)−f(x2)=x1+1x1−(x2+1x2)
=(x1−x2)⋅x1x2−1x1x2
∵ 1≤x1∴ x1−x2<0，x1x2>0，
∵ x1∈[1, +∞)，x2∈[1, +∞)，
∴ x1x2−1>0.
∴ f(x1)−f(x2)<0，即f(x1)故f(x)在[1, +∞)上是增函数.
(2)解：由(1)知：f(x)在[1, 4]上是增函数，
∴ 当x=1时，有最小值2；
当x=4时，有最大值174.
【答案】
解：(1)设年产量是x台，则总成本为20000+100x元．
当0≤x≤500时，y=500x−12x2−20000+100x，
即y=−12x2+400x−20000；
当x>500时，y=125000−20000+100x，
即y=105000−100x.
所以y=−12x2+400x−20000，0≤x≤500，105000−100x，x>500.
(2)当0≤x≤500时，y=−12x−4002+60000
当x=400时，ymax=60000；
当x>500时，y=105000−100x是减函数，
则y=105000−100x<105000−100×500=55000，
综上，当x=40时，ymax=60000，
所以当年产量为400台时，最大年利润为60000元．
【考点】
函数模型的选择与应用
函数最值的应用
【解析】
(1)由于年产量是x台，则总成本为2000+100x元，从而分段写出函数解析式即可；
(2)当0≤x≤500时，利用配方法y=−12x−4002+60000求最值，当x>500时，利用单调性可得
y=10.500−100x<10000100×500=550000．从而解得．
【解答】
解：(1)设年产量是x台，则总成本为20000+100x元．
当0≤x≤500时，y=500x−12x2−20000+100x，
即y=−12x2+400x−20000；
当x>500时，y=125000−20000+100x，
即y=105000−100x.
所以y=−12x2+400x−20000，0≤x≤500，105000−100x，x>500.
(2)当0≤x≤500时，y=−12x−4002+60000
当x=400时，ymax=60000；
当x>500时，y=105000−100x是减函数，
则y=105000−100x<105000−100×500=55000，
综上，当x=40时，ymax=60000，
所以当年产量为400台时，最大年利润为60000元．
【答案】
(1)证明：∵CD//AB，AB⊂平面ABE，CD⊄平面ABE，
∴ CD//平面ABE.
(2)解：∵侧面PAD⊥底面ABCD，CD⊥AD，
平面PAD∩平面ABCD=AD， CD⊂平面ABCD，
∴CD⊥平面PAD．
又AE⊂平面PAD，
∴CD⊥AE，CD⊥PD.
由(1)知CD//平面ABE，CD⊂平面PCD，平面PCD∩平面ABE=EF，
∴CD//EF，
∴AB//EF，
∴ EF⊥AE， EF⊥PD.
在正△PAD中，
∵E是PD的中点，AE⊥PD，AE∩FF=E，
∴ PD⊥平面ABFE.
∵四边形ABFE是直角梯形，
∴EF=12CD=1，AE=32×2=3，
∴S梯形ABFE=12×2+1×3=332．
∵PE=12PD=1，
∴V梯形P−ABFE=13S梯形ABFE⋅PE=13×332×1=32.
【考点】
直线与平面平行的判定
直线与平面垂直的判定
柱体、锥体、台体的体积计算
【解析】
(I)先证明AB // 平面PCD，再利用线面平行的性质定理证明AB // EF；
(II)由平面PAD⊥平面ABCD证明CD⊥平面PAD，从而证明CD⊥AF，再由CD // EF证明AF⊥PD，AF⊥平面PCD，得出点B与点A到平面PCD的距离相等，PB与平面PCD所成角所成角正弦值为AFPB．
【解答】
(1)证明：∵CD//AB，AB⊂平面ABE，CD⊄平面ABE，
∴ CD//平面ABE.
(2)解：∵侧面PAD⊥底面ABCD，CD⊥AD，
平面PAD∩平面ABCD=AD， CD⊂平面ABCD，
∴CD⊥平面PAD．
又AE⊂平面PAD，
∴CD⊥AE，CD⊥PD.
由(1)知CD//平面ABE，CD⊂平面PCD，平面PCD∩平面ABE=EF，
∴CD//EF，
∴AB//EF，∴ EF⊥AE， EF⊥PD.
在正△PAD中，∵E是PD的中点，AE⊥PD，
AE∩FF=E，∴ PD⊥平面ABFE.
∵四边形ABFE是直角梯形，
∴EF=12CD=1，AE=32×2=3，
∴S梯形ABFE=12×2+1×3=332．
∵PE=12PD=1，
∴V梯形P−ABFE=13S梯形ABFE⋅PE=13×332×1=32.
【答案】
解：(1)f(x)=3(2x−3)+22x−3=3+22x−3在区间x∈[0, 1]单调递减，
∵f(0)=2，f(1)=1，
∴函数f(x)的值域为[1, 2].
(2)∵g(x)=|lg2x|在x∈(0, 1]单调递减，在[1, +∞)单调递增，
设t=|g(α)|=|g(β)|，
∴ 0<α<1<β，
∴|lg2α|=|lg2β|，
即−lg2α=lg2β，
∴0=lg2α+lg2β=lg2αβ，
即aβ=1.
(3)令p=f(m)，由(1)知p=f(m)∈[1, 2]，
令t=g(x)，
∵g(x)=|lg2x|在x∈[18,1]单调递减，在[1, 4]单调递增，
且g(18)=3，g(1)=0，g(4)=2，
∴①当t∈(0, 2]时，方程t=g(x)有两个不等根，由(2)知，两根之积为1，
②当t∈(2, 3]∪{0}时，方程t=g(x)有且只有一个根且此根在区间[18,14)内或者为1，
令ℎ(t)=4t2−4at+3a−1，由二次函数ℎ(t)与g(x)的图象特征，
原题目等价于：对任意p∈[1, 2]，关于t的方程ℎ(t)=p在区间[0, 3]上总有2个不等根t1，t2(t1且t1=g(x)有两个不等根，t2=g(x)只有一个根，则必有0∴ℎ(0)=3a−1>2，ℎ(2)=15−5a<1，ℎ(3)=35−9a≥2，
解得145此时t2=g(x)∈(2, 3]，则其根x∈[18,14)，
故必有x1⋅x2⋅x3∈[18,14)，
∴ 存在实数a，使得对任意m∈[0, 1]，
关于x的方程4g2(x)−4ag(x)+3a−1−f(m)=0在区间[18,4]上总有3个不等根x1，x2，x3，
实数a的取值范围为(145, 113]，
∴x1⋅x2⋅x3的取值范围为[18, 14)．
【考点】
函数的值域及其求法
函数的零点与方程根的关系
【解析】
（1）f(x)=3(2x−3)+22x−3=3+22x−3在区间x∈[0, 1]单调递减，从而求出函数f(x)的值域；
（2）因为g(x)＝|lg2x|在x∈[0, 1]单调递减，在[1, +∞)单调递增，故0＝lg2α+lg2β＝lg2αβ，所以aβ＝1；
（3）令p＝f(m)，由（1）知p＝f(m)∈[1, 2]，令t＝g(x)，因为g(x)＝|lg2x|在x∈[18,1]单调减，在[1, 4]单调递增，且g(18)=3，g(1)＝0，g(4)＝2，再对t的范围分情况讨论，原题目等价于：对任意p∈[1, 2]，关于t的方程ℎ(t)＝p在区间[0, 3]上总有2个不等根t1，t2(t1且t1＝g(x)有两个不等根，t2＝g(x)只有一个根，则必有02ℎ(2)=15−5a<1ℎ(3)=35−9a≥2 ，解之得145【解答】
解：(1)f(x)=3(2x−3)+22x−3=3+22x−3在区间x∈[0, 1]单调递减，
∵f(0)=2，f(1)=1，
∴函数f(x)的值域为[1, 2].
(2)∵g(x)=|lg2x|在x∈(0, 1]单调递减，在[1, +∞)单调递增，
设t=|g(α)|=|g(β)|，
∴ 0<α<1<β，
∴|lg2α|=|lg2β|，
即−lg2α=lg2β，
∴0=lg2α+lg2β=lg2αβ，
即aβ=1.
(3)令p=f(m)，由(1)知p=f(m)∈[1, 2]，
令t=g(x)，
∵g(x)=|lg2x|在x∈[18,1]单调递减，在[1, 4]单调递增，
且g(18)=3，g(1)=0，g(4)=2，
∴①当t∈(0, 2]时，方程t=g(x)有两个不等根，由(2)知，两根之积为1，
②当t∈(2, 3]∪{0}时，方程t=g(x)有且只有一个根且此根在区间[18,14)内或者为1，
令ℎ(t)=4t2−4at+3a−1，由二次函数ℎ(t)与g(x)的图象特征，
原题目等价于：对任意p∈[1, 2]，关于t的方程ℎ(t)=p在区间[0, 3]上总有2个不等根t1，t2(t1且t1=g(x)有两个不等根，t2=g(x)只有一个根，则必有0∴ℎ(0)=3a−1>2，ℎ(2)=15−5a<1，ℎ(3)=35−9a≥2，
解得145此时t2=g(x)∈(2, 3]，则其根x∈[18,14)，
故必有x1⋅x2⋅x3∈[18,14)，
∴ 存在实数a，使得对任意m∈[0, 1]，
关于x的方程4g2(x)−4ag(x)+3a−1−f(m)=0在区间[18,4]上总有3个不等根x1，x2，x3，
实数a的取值范围为(145, 113]，
∴x1⋅x2⋅x3的取值范围为[18, 14)．