2020-2021学年浙江省温州市高二（下）4月月考数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年浙江省温州市高二（下）4月月考数学试卷人教A版，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 设全集U={1,2,3,4,5,6}，集合A={2,3,5}，B={1,3,4,6}，则集合A∩(∁UB)=（ ）
A.{3}B.{2,5}C.{1,4,6}D.{2,3,5}

2. 过点1,0且倾斜角为30∘的直线被圆x−22+y2=1所截的弦长为（ ）
A.32B.1C.3D.23

3. 设实数x、y满足不等式组 3x−y+6≥0,x−3y≤0,y−3≤0, 则x−y的最大值为（ ）
A.−4B.−32C.0D.6

4. 已知平面α，l，m是两条不同的直线，且m⊂α（ ）
A.若l//m，则l//αB.若l⊥m，则l⊥α
C.若l//α，则l//mD.若l⊥α，则l⊥m

5. 设函数f(x)=x3lg3(1+x1−x)，则函数f(x)的图像可能为（ ）
A.B.
C.D.

6. 将函数y=sin(2x+π6)的图象向右平移φ(φ>0)个长度单位所得图象的对应函数为g(x)，则“φ=π3”是“g(x)为偶函数”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件

7. 设等差数列an的前n项和为Sn，且a6−13+2019a6−1=1，a2015−13+2019a2015−1=−1，则下列结论正确的是( )
A.S2020=2020，a2015a6
C.S2020=−2020，a2015≤a6
D.S2020=−2020，a2015≥a6

8. 过双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的左焦点F作x轴的垂线交双曲线于点A，双曲线C上存在点B（异于点A），使得∠ABF=π2．若∠BAF=π4，则双曲线的离心率为( )
A.1+2B.1+3C.2+2D.2+3

9. 设函数f(x)(x∈R)满足f(−x)=f(x)，且当x∈[0, 1)时，f(x)=x3，当x≥1时，f(x)=12f(2−x)，又函数g(x)=|xsin(πx)|，函数ℎ(x)=g(x)−f(x)在[−1, 2]上的零点个数为（ ）
A.4B.5C.6D.7
二、填空题

若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积是________cm3；表面积是________cm2．


1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式eix=csx+isinx，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据此公式，则eiπ+1=________；(12+32i)3=_______.

二项展开式2−x5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a0=________；a1+a3+a5=________．

某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为34，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的，记X为该毕业生得到面试的公司个数，若P(X=0)=136，p=________；若p=12，则随机变量X的期望E(X)=________.

有8个座位连成一排，甲、乙、丙、丁4人就坐，要求有且仅有两个空位相邻且甲、乙两人都在丙的同侧，则共有________种不同的坐法.

设实数a，b满足a>0,a+b=1，则a2a+1+2b2b−2的最大值是________.
三、解答题

已知角α，β(0a2015−1，然后结合等差数列的求和公式及性质可求．
【解答】
解：设fx=x3+2019x，则fx为奇函数且单调递增，
因为a6−13+2019a6−1=1，
(a2015−1)3+2019a2015−1=−1，
所以a6−1=−a2015−1 ，且a6−1>a2015−1，
即a6+a2015=2，a6>a2015，
S2020=1010a1+a2020=1010a6+a2015=2020．
故选A．
8.
【答案】
C
【考点】
双曲线的离心率
【解析】
本题考查双曲线的离心率，首先运用已知条件求得B点坐标，然后该点在双曲线上，带入求解.
【解答】
解：设左焦点F(−c,0)，那么过F且垂直于x轴的直线与双曲线的交点A的纵坐标可以求得，
将x=−c代入双曲线方程，得y=±b2a，不妨设A−c,b2a.
那么根据∠ABF=90∘，∠BAF=45∘，可知△ABF是等腰直角三角形，
故B点坐标可以记成−c+b22a,b22a，因为B点在双曲线上，代入得到：
c2−cab2+b44a2a2−b44a2b2=1，
化简得到：c2−cab2+b44a2−b24=a2，
∵c2=a2+b2,
于是得到c24a2−ca+12=0，由于e=ca，
∴14e2−e+12=0，解之得e=2±2.
∵双曲线的离心率大于1，
∴e=2+2.
故选C.
9.
【答案】
D
【考点】
函数的零点与方程根的关系
【解析】
本题主要考查了函数的零点与方程根的关系，解题的关键是根据函数零点定理判断零点个数.
【解答】
解：易知ℎx是连续偶函数，f(0)=0 ， f(1)=f(−1)=0，f(2)=0，
g(−1)=g(0)=g(1)=g(2)=0，故ℎ(−1)=ℎ(0)=ℎ(1)=ℎ(2)=0，
ℎ(12)>0，ℎ(32)>0，ℎ(0.9999)1，
由基本不等式得a+1+7a+1≥27，
当且仅当a+1=7a+1，a=7−1时等号成立，
故a2a+1+2b2b−2的最大值为6−27.
故答案为：6−27.
三、解答题
【答案】
解：(1)因为α过点A(12,32)，由任意角的三角函数的定义可知
csα=12,sinα=32，
所以α=π3，
则f(x)=2sin(2x−π3)，
因为x∈(3π8,π2)，
所以2x−π3∈(5π12,2π3)，
所以f(x)∈(3,2]，
所以f(x)的最大值为2.
(2)由 β 过点 B2−6,2+6 知，
sinβ=2+64,csβ=2−64，
csβ−α=csαcsβ+sinαsinβ=22 ，
即cs∠AOC=22 .
由余弦定理知AC2=OC2+OA2−2OA⋅OC⋅cs∠AOC,
所以23=OC2+1−2OC，所以OC=32±66,
所以S△AOC=12×32±66×22=3±312 .
【考点】
三角函数的最值
任意角的三角函数
余弦定理
三角恒等变换综合应用
【解析】
1
1
【解答】
解：(1)因为α过点A(12,32)，由任意角的三角函数的定义可知
csα=12,sinα=32，
所以α=π3，
则f(x)=2sin(2x−π3)，
因为x∈(3π8,π2)，
所以2x−π3∈(5π12,2π3)，
所以f(x)∈(3,2]，
所以f(x)的最大值为2.
(2)由 β 过点 B2−6,2+6 知，
sinβ=2+64,csβ=2−64，
csβ−α=csαcsβ+sinαsinβ=22 ，
即cs∠AOC=22 .
由余弦定理知AC2=OC2+OA2−2OA⋅OC⋅cs∠AOC,
所以23=OC2+1−2OC，所以OC=32±66,
所以S△AOC=12×32±66×22=3±312 .
【答案】
(1)证明：取CD的中点E，连接AE，PE，
不妨设AD=2，则AB=BC=2，
即AP=PC=2.
因为∠ABC=∠CAD=90∘，
所以AC=2，则AE⊥CD，
又因为PA=PC=PD，
所以PE⊥CD，且AE∩PE=E，
所以CD⊥平面PAE，PA⊂平面PAE，
所以AP⊥CD.
(2)解：取AC的中点O，连接PO，OE，PE，
过点E作EH⊥PO，
不妨设AD=2，则AB=BC=2，
即AP=PC=2.
因为∠ABC=∠CAD=90∘，则PO⊥AC，
又因为O为AC中点，E为CD的中点，则OE//AD,
所以OE⊥AC，
所以∠POE为二面角P−AC−D的平面角．
且OE∩PO=O，所以AC⊥面POE，AC⊂面PAC,
又EH⊥PO，则EH⊥面PAC.
在△EOH中，OE=1，cs∠EOH=14，所以EH=154，
所以点D到面PAC距离为2EH=152，PD=7,
设PD与面PAC所成的角为θ，则sinθ=2EHPD=10514.
【考点】
空间中直线与直线之间的位置关系
直线与平面所成的角
【解析】
此题暂无解析
【解答】
(1)证明：取CD的中点E，连接AE，PE，
不妨设AD=2，则AB=BC=2，
即AP=PC=2.
因为∠ABC=∠CAD=90∘，
所以AC=2，则AE⊥CD，
又因为PA=PC=PD，
所以PE⊥CD，且AE∩PE=E，
所以CD⊥平面PAE，PA⊂平面PAE，
所以AP⊥CD.
(2)解：取AC的中点O，连接PO，OE，PE，
过点E作EH⊥PO，
不妨设AD=2，则AB=BC=2，
即AP=PC=2.
因为∠ABC=∠CAD=90∘，则PO⊥AC，
又因为O为AC中点，E为CD的中点，则OE//AD,
所以OE⊥AC，
所以∠POE为二面角P−AC−D的平面角．
且OE∩PO=O，所以AC⊥面POE，AC⊂面PAC,
又EH⊥PO，则EH⊥面PAC.
在△EOH中，OE=1，cs∠EOH=14，所以EH=154，
所以点D到面PAC距离为2EH=152，PD=7,
设PD与面PAC所成的角为θ，则sinθ=2EHPD=10514.
【答案】
(1)证明：设 A(0, yA),B(xB, 0),P(xp, yp),Q(xQ, yQ)，l:y=kx+b，
l与抛物线 C2联立得：x2−2pkx−2pb=0，
由题意知Δ=0,即 pk2+2b=0，
而Q的横坐标 xQ=pk, B的横坐标xB=−bk=pk2，
所以B为 AQ 的中点.
由Q到焦点的距离等于Q到准线的距离可知,
|FQ|=|yQ|+p2=|yA|+p2=|FA|，
所以FB平分∠AFQ．
(2)解：直线l与椭圆 C1联立得：(1+2k2)x2+4kbx+2b2−2=0，
由条件知Δ=0,即 2k2+1=b2，
由(1)知 pk2+2b=0,可得:pb2+4b−p=0，
又因为 b