2020-2021年四川省江油市高二（下）3月月考数学（理）试卷人教A版

这是一份2020-2021年四川省江油市高二（下）3月月考数学（理）试卷人教A版，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列命题正确的是( )
A.单位向量都相等
B.若a→与b→共线，b→与c→共线，则a→与c→共线
C.若|a→+b→|=|a→−b→|，则a→⋅b→=0
D.若a→与b→都是单位向量，则a→⋅b→=1

2. 在△ABC中，已知A=30∘，B=45∘，AC=2，则BC=( )
A.12B.22C.32D.1

3. 已知向量AB→=2,−1，AC→=−3,2，则|CB→|=( )
A.34B.26C.10D.2

4. 已知a→=1,1，b→=1,−1，c→=−1,2，则c→=( )
A.−32a→−12b→B.−32a→+12b→
C.−12a→+32b→D.12a→−32b→

5. 已知向量a→=(−1, y)，b→=(2, −4)，若a→⊥b→，则|2a→+b→|=( )
A.5B.4C.3D.2

6. 如图，四边形ABCD中，∠ABC=∠C=120∘，AB=4，BC=CD=2，则该四边形的面积等于( )

A.3B.53C.63D.73

7. 在△ABC中，a，b，c分别为三个内角A，B，C所对的边，设向量m→=(b−c，c−a)，n→=(b，c+a)，若 m→⊥n→，则∠A的大小为( )
A.2π3B.π2C.π3D.π6

8. 在△ABC中，D为边BC的中点，AB=2，AC=4，AD=7，则∠BAC为( )
A.30∘B.60∘C.120∘D.150∘

9. 平面向量a→=(1, 2)，b→=(4, 2)，c→=ma→+b→(m∈R)，且c→与a→的夹角等于c→与b→的夹角，则m=( )
A.−2B.−1C.1D.2

10. △ABC中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，c=2a，bsinB−asinA=12asinC，则sinB的值为( )
A.223B.34C.13D.74

11. 如图，已知等腰△ABC中， AB=AC=3，BC=4，点P是边BC上的动点，则AP→⋅AB→+AC→( )

A.为定值6B.为定值10
C.最大值为18D.与P的位置有关

12. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若△ABC为锐角三角形，且满足b2−a2=ac，则1tanA−1tanB的取值范围是( )
A. 1,233
B. 1,2
C. 233,2
D. (1,+∞)
二、填空题

设向量a→=3,2，b→=k,2−k，若a→//b→，则实数k的值是________.

已知△ABC周长为4，sinA+sinB=3sinC，则AB边的长为________．

设向量a→，b→满足|a→|=2，|b→|=1，且b→⊥a→+b→，则向量b→在向量a→+2b→上的投影的数量为________.

已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若b=23，c=22，acs B+bcs A=2ccs C，则△ABC的面积为________．
三、解答题

已知|a→|=3，|b→|=2，向量a→与b→的夹角为150∘．
(1)求：|a→−2b→|；

(2)若a→+3λb→⊥a→+λb→，求实数λ的值．

已知△ABC的面积是3，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，csA=45.
(1)求AB→⋅AC→；

(2)若b=2，求a的值．

如图所示，在△BOC中，C是以A为中点的点B的对称点，OD→=2DB→，DC和OA交于点E，设OA→=a→，OB→=b→.

(1)用a→和b→表示向量OC→，DC→；

(2)若OE→=λOA→，求实数λ的值．

如图，在四边形ABCD中，∠DAB=π3，AD:AB=2:3，BD=7，AB⊥BC.

(1)求sin∠ABD的值；

(2)若∠BCD=2π3，求CD的长．

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知m→=(cs3A2, sin3A2)，n→=(csA2, sinA2)，且满足|m→+n→|=3．
(1)求角A的大小；

(2)若|AC→|+|AB→|=3|BC→|，试判断△ABC的形状．

在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，已知向量m→=(csB, 2cs2C2−1)，n→=(c, b−2a)，且m→⋅n→=0．
(1)求∠C的大小；

(2)若点D为边AB上一点，且满足AD→=DB→，|CD→|=7，c=23，求△ABC的面积.
参考答案与试题解析
2020-2021年四川省江油市高二（下）3月月考数学（理）试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
平行向量的性质
平面向量数量积的运算
单位向量
向量的共线定理
【解析】
题设条件简单，本题的解题需要从选项入手，逐一进行验证排除．
【解答】
解：A，向量有大小、方向两个属性，
向量的相等指的是大小相等方向相同，故A错误；
B，对三个非零向量，若a→与b→共线，b→与c→共线，
则a→与c→共线.
若b→是零向量时，若a→与b→共线，b→与c→共线，
则a→与c→共线不一定成立，故B错误；
C，当两个向量互相垂直时两向量和的模与差的模一定相等，故C正确；
D，若a→与b→都是单位向量，则a→⋅b→=1不一定成立，
当a→与b→垂直时，a→⋅b→=0，故D错误．
故选C.
2.
【答案】
D
【考点】
正弦定理
【解析】
无
【解答】
解：由正弦定理可知，
ACsinB=BCsinA，即 222=BC12，
解得，BC=1.
故选D．
3.
【答案】
A
【考点】
平面向量的坐标运算
向量的模
向量的三角形法则
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为AB→=2,−1，AC→=−3,2，
所以CB→=AB→−AC→=5,−3，
所以|CB→|=52+−32=34.
故选A.
4.
【答案】
D
【考点】
向量的线性运算性质及几何意义
平面向量的坐标运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ a→=1,1，b→=1,−1，c→=−1,2，
∴ a→，b→不共线，
∴ 选取a→，b→作为一组基向量，则c→=xa→+yb→，
即−1,2=x1,1+y1,−1，
∴ x+y=−1，x−y=2，
解得x=12，y=−32，
∴ c→=12a→−32b→ .
故选D.
5.
【答案】
A
【考点】
数量积判断两个平面向量的垂直关系
向量的模
平面向量的坐标运算
【解析】
根据题意，由向量垂直与向量数量积的关系可得a→⋅b→=(−1)×2+(−4)y＝0，解可得y的值，即可得a→的坐标，由向量模的计算公式计算可得答案．
【解答】
解：∵ a→=(−1, y)，b→=(2, −4)，且a→⊥b→，
∴ a→⋅b→=−2−4y=0，
解得y=−12，
∴ a→=(−1, −12)，
∴ 2a→+b→=(0, −5)，
∴ |2a→+b→|=5.
故选A.
6.
【答案】
B
【考点】
余弦定理的应用
正弦定理的应用
【解析】
连接BD，在△BCD中利用BC=CD∠BCD=120∘求得BD，进而利用三角形面积公式求得三角形BCD的面积．在△ABD中，依题意求得∠ABD=90∘进而利用两直角边求得三角形的面积，最后相加即可．
【解答】
解：在△BCD中，BC=CD=2，∠C=120∘，
∴ ∠CBD=30∘，BD=23，
由正弦定理，得S△BCD =12×2×2×sin120∘=3．
在△ABD中，∠ABD=120∘−30∘=90∘，AB=4，
∴ S△ABD=12AB⋅BD=12×4×23=43，
∴ 四边形ABCD的面积是53．
故选B.
7.
【答案】
C
【考点】
数量积判断两个平面向量的垂直关系
余弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ m→⊥n→，
∴ (b−c)b+(c−a)(c+a)=0，
整理，得b2+c2−a2=bc，
∴ b2+c2−a22bc=12，
即csA=12.
∵ A∈(0,π)，
∴ A=π3.
故选C.
8.
【答案】
B
【考点】
正弦定理
解三角形
【解析】
此题暂无解析
【解答】
详解：如图，
设BD=CD=x，
在△ABD和△ACD中，
由余弦定理，得AD2+BD2−2AD⋅BD⋅csADB=AB2，AD2+CD2−2AD⋅CD⋅csADC=AC2，
即7+x2−27xcs∠ADB=4，7+x2+27xcs∠ADB=16，
解得x=3，
即BC=23，
则cs∠BAC=4+16−2322×2×4=12，
∴ ∠BAC=60∘．
故选B.
9.
【答案】
D
【考点】
数量积表示两个向量的夹角
【解析】
利用向量的坐标运算、数量积运算、向量的夹角公式即可得出．
【解答】
解：∵ a→=(1, 2)，b→=(4, 2)，c→=ma→+b→(m∈R)，
∴ c→=m(1, 2)+(4, 2)=(m+4, 2m+2)，
∴ c→⋅a→=m+4+2(2m+2)=5m+8，
c→⋅b→=4(m+4)+2(2m+2)=8m+20，
|a→|=12+22=5，|b→|=42+22=25．
∵ c→与a→的夹角等于c→与b→的夹角，
∴ c→⋅a→|c→||a→|=c→⋅b→|c→||b→|，
即5m+85=8m+2025，
整理，得5m+8=4m+10，
解得m=2．
故选D．
10.
【答案】
D
【考点】
正弦定理
余弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由正弦定理，得b2−a2=12ac.
又c=2a，
∴b2=2a2，
∴csB=a2+c2−b22ac=34 ，
∴sinB=74．
故选D.
11.
【答案】
B
【考点】
平面向量数量积的运算
向量在几何中的应用
向量的三角形法则
余弦定理
【解析】
本题考查了平面向量数量积的运算性质，考查了平面向量数量积的定义，考查了平面向量的加法的几何意义，考查了数学运算能力．
【解答】
解：由题意，设BP=λBC0≤λ≤1．
则AP→⋅AB→+AC→=AB→+BP→⋅AB→+AC→
=AB→2+AB→⋅AC→+λBC→⋅AB→+AC→，
又λBC→⋅AB→+AC→=λBA→+AC→⋅AB→+AC→
=λAC→2−AB→2=0，
csA=AB2+AC2−BC22AB⋅AC=9+9−162×3×3=19，
所以AP→⋅AB→+AC→=AB→2+AB→⋅AC→
=32+3×3⋅csA=10．
故选B.
12.
【答案】
A
【考点】
正弦定理
余弦定理
两角和与差的正弦公式
三角函数的恒等变换及化简求值
三角函数的最值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ b2−a2=ac，
∴ c2−2accsB=ac，
∴ c−2acsB=a，
∴ sinC−2sinAcsB=sinA，
∴ sinA+B−2sinAcsB=sinA，
∴ sinB−A=sinA，
∴ B−A=A，
∴ B=2A，
∴ 1tanA−1tanB=1tanA−1tan2A
=1tanA−1−tan2A2tanA
=1+tan2A2tanA
=12tanA+1tanA.
又△ABC为锐角三角形，
∴ 0