2020-2021学年山西省晋中市高一(下)5月月考数学试卷人教A版
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这是一份2020-2021学年山西省晋中市高一(下)5月月考数学试卷人教A版,共14页。试卷主要包含了选择题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
1. 已知a∈R,i是虚数单位,若z=a+3i,z⋅z=4,则a=( )
A.7或−7B.1或−1C.−3D.3
2. 已知非零向量a→,b→满足|a→|=2|b→|,且(a→−b→)⊥b→,则a→与b→的夹角为( )
A.5π6B.2π3C.π3D.π6
3. 已知m,n表示两条不同直线,α表示平面,下列说法正确的是( )
A.若m // α,n // α,则m // nB.若m⊥α,n⊂α,则m⊥n
C.若m⊥α,m⊥n,则n // αD.若m // α,m⊥n,则n⊥α
4. 已知平面四边形ABCD,按照斜二测画法(∠x′O′y′=45∘)画出它的平面直观图A′B′C′D′是边长为1的正方形,如图所示,则原平面四边形ABCD的面积是( )
A.5B.3C.25D.22
5. 一个直角梯形的两底长分别为2和5,高为4,绕其较长的底旋转一周,所得的几何体的表面积为( )
A.34πB.37πC.45πD.52π
6. 已知△ABC是面积为934的等边三角形,且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16π,则O到平面ABC的距离为( )
A.1B.32C.32D.3
7. 若(a+b+c)(b+c−a)=3bc,且sinA=2sinBcsC,那么△ABC是( )
A.直角三角形B.等腰三角形
C.等边三角形D.等腰直角三角形
8. 一船自西向东匀速航行,上午10时到达一座灯塔P的南偏西75∘距塔68海里的M处,下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处,则这只船航行的速度( )
A.1722海里/小时B.1762海里/小时
C.342海里/小时D.346海里/小时
二、多选题
已知|a→|=1,|a→−b→|=3,设a→,b→所成的角为60∘,则( )
A.|b→|=2B.a→//b→
C.a→⊥b→−a→D.a→⋅b→=1
已知α,β是两个不同平面,m,n是两不同直线,下列命题中不正确的是( )
A.若m//n,m⊥α,则n⊥α
B.若m//α,α∩β=n,则m//n
C.若m⊥α,α⊥β,则m//β
D.若m⊥α,m⊂β,则α⊥β
如图,ABCD−A1B1C1D1为正方体,下面结论正确的是( )
A.BD // 平面CB1D1
B.AC1⊥BD
C.AC1⊥平面CB1D1
D.异面直线AD与CB1所成的角为60∘
在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a+b:a+c:b+c=9:10:11,则下列结论正确的是( )
A.sinA:sinB:sinC=4:5:6
B.若c=6,则△ABC外接圆半径为877
C.△ABC的最大内角是最小内角的2倍
D.△ABC是钝角三角形
三、填空题
已知复数z1=a+2i,z2=3−4i,且z1z2为纯虚数,则复数|z1|=______.
在△ABC中,A=60∘,a=43,b=42,则B=________.
已知三棱锥所有棱长都是2,则该三棱锥的侧面与底面所成锐二面角的正切值为________.
如图是由正方体ABCD−A1B1C1D1截得的三棱锥A1−ABD,AB=2,若此三棱锥的顶点都在球O1上,则球O1的表面积为________,若球O2与此三棱锥的各个面都相切,则球O2的半径为________.
四、解答题
已知向量a→=(6, 2),b→=(−2, k),k为实数.
(1)若a→ // b→,求k的值;
(2)若a→⊥b→,求k的值;
(3)若a→与b→的夹角为钝角,求k的取值范围.
在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c, 2b−acsC=ccsA.
(1)求角C的大小;
(2)若c=3, △ABC的面积S=433,求a+b的值.
如图,在四棱锥P−ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点.
(1)证明:PA//平面EDB;
(2)证明:PB⊥DE.
如图,在四棱锥P−ABCD中,底面ABCD为平行四边形, △PCD为等边三角形,平面PAC⊥平面PCD,PA⊥CD,CD=2,AD=3.
(1)设G,H分别为PB,AC的中点,求证:GH//平面PAD;
(2)求直线AD与平面PAC所成角的正弦值.
在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a+b=14, csC=78,________.
①sinA:sinB=4:3;②△ABC内切圆的半径为153 ;③△ABC的面积为315.
请从以上三个条件中任选一个,补充在题干的横线上,并解答下列问题:
(1)求c的大小;
(2)若D为AB的中点,求中线CD的长.
如图,将矩形ABCD沿对角线AC折起,使得平面ABD′⊥平面ABC.
(1)求证:AD′⊥平面BCD′;
(2)当AB=3,AD=1时,求点B到平面AD′C的距离.
如图,在四棱锥P−ABCD中,AB//CD,且∠BAP=∠CDP=90∘.
(1)证明:平面PAB⊥平面PAD;
(2)若PA=PD=AB=DC,∠APD=90∘,且四棱锥P−ABCD的体积为83,求该四棱锥的侧面积.
参考答案与试题解析
2020-2021学年山西省晋中市高一(下)5月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
复数代数形式的乘除运算
共轭复数
【解析】
求得z的共轭复数,根据复数的运算,即可求得a的值.
【解答】
解:由z=a+3i,则z的共轭复数z=a−3i,
由z⋅z=(a+3i)(a−3i)=a2+3=4,
则a2=1,
解得:a=±1,
∴ a的值为1或−1.
故选B.
2.
【答案】
C
【考点】
数量积表示两个向量的夹角
数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】
由(a→−b→)⊥b→,可得(a→−b→)⋅b→=0,进一步得到|a|→|b|→csa→,b→−b→2=0,然后求出夹角即可.
【解答】
解:∵ (a→−b→)⊥b→,
∴ (a→−b→)⋅b→=a→⋅b→−b→2
=|a→|⋅|b→|cs−b→2=0,
∴ cs=|b→|2|a→|⋅|b→|
=|b→|22|b→|2=12,
∵ ∈[0,π],
∴ =π3.
故选C.
3.
【答案】
B
【考点】
空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解:如图,在正方体ABCD−A′B′C′D′中,令底面A′B′C′D′=α.
对于A,令m=AB,n=BC,满足m // α,n // α,但m//n不成立,故错误;
对于C,令m=AA′,n=A′B′,满足m⊥α,m⊥n,但n//α不成立,故错误;
对于D,令m=AB,n=AD,满足m // α,m⊥n,但n⊥α不成立,故错误.
故选B.
4.
【答案】
D
【考点】
斜二测画法画直观图
【解析】
根据直观图与原图面积比为定值24,计算出直观图的面积即可得到原图的面积.
【解答】
解:由题意,平面直观图A′B′C′D′的面积为S1=1,
设原平面四边形ABCD的面积为S2,
则S1S2=24,即1S2=24,
所以S2=22.
故选D.
5.
【答案】
D
【考点】
组合几何体的面积、体积问题
【解析】
确定几何体的形状,根据已知条件所给数据,求出组合体的表面积即可.
【解答】
解:直角梯形绕其较长的底旋转一周后,所得的几何体由半径为4,高为2的圆柱和半径为4,高为3的圆锥组成,
所以表面积=π×42+2π×4×2+π×442+32
=16π+16π+20π
=52π.
故选D.
6.
【答案】
A
【考点】
球的表面积和体积
球面距离及相关计算
【解析】
利用已知条件求三角形ABC的外接圆的半径,然后求解OO1即可.
【解答】
解:设ABC的外接圆圆心为O1,记OO1=d,
圆O1的半径为r,球O半径为R,
等边三角形△ABC的边长为a,
则S△ABC=34a2=934,
可得a=3,
所以r=a3=3.
由题知球O的表面积为16π,
则R=2,
由R2=r2+d2,
易得d=1,即O到平面ABC的距离为1.
故选A.
7.
【答案】
C
【考点】
解三角形
余弦定理
正弦定理
【解析】
对(a+b+c)(b+c−a)=3bc化简整理得b2−bc+c2=a2,代入余弦定理中求得csA,进而求得A=60∘,又由sinA=2sinBcsC,则sinAsinB=2csC,即ab=2⋅a2+b2−c22ab,化简可得b=c,结合A=60∘,进而可判断三角形的形状.
【解答】
解:∵ (a+b+c)(b+c−a)=3bc,
∴ [(b+c)+a][(b+c)−a]=3bc,
∴ (b+c)2−a2=3bc,
b2−bc+c2=a2,
根据余弦定理有a2=b2+c2−2bccsA,
∴ b2−bc+c2=a2=b2+c2−2bccsA,
即bc=2bccsA,
即csA=12>0,
∴ A=60∘,
又由sinA=2sinBcsC,
则sinAsinB=2csC,即ab=2⋅a2+b2−c22ab,
化简可得,b2=c2,
即b=c,
∴ △ABC是等边三角形.
故选C.
8.
【答案】
B
【考点】
正弦定理
解三角形的实际应用
【解析】
根据题意可求得∠MPN和,∠PNM进而利用正弦定理求得MN的值,进而求得船航行的时间,最后利用里程除以时间即可求得问题的答案.
【解答】
解:如图所示,由题意知∠MPN=75∘+45∘=120∘,∠PNM=45∘,PM=68.
在△PMN中,由正弦定理,得MNsin120∘=PMsin45∘,
∴ MN=68×3222=346(海里).
又由M到N所用时间为14−10=4(时),
∴ 船的航行速度v=3464=1762(海里/小时).
故选B.
二、多选题
【答案】
A,C,D
【考点】
平面向量数量积的运算
数量积表示两个向量的夹角
向量的模
数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】
由题意,根据所给信息以及数量积公式得到|b→|=2,再利用平面向量的数量积运算对选项进行逐一分析,进而即可求解.
【解答】
解:对|a→−b→|=3两边同时进行平方,
可得|a→|2−2a→⋅b→+|b→|2=3,
即|a→|2−2|a→|⋅|b→|cs60∘+|b→|2=3,
解得|b→|=2,|b→|=−1(舍去),
所以|b→|=2,故选项A正确;
因为a→,b→所成的角为60∘,
所以a→,b→不垂直,故选项B错误;
因为a→⋅b→=|a→|⋅|b→|cs60∘=1,故选项D正确;
而a→(b→−a→)=a→⋅b→−|a→|2=1−1=0 ,
所以a→⊥(b→−a→),故选项C正确,
所以选项正确的有ACD.
故选ACD.
【答案】
B,C
【考点】
空间中直线与直线之间的位置关系
空间中平面与平面之间的位置关系
空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】
本题考查的知识点是空间中线面关系,线线关系和面面关系,由线面垂直、面面平行、线面垂直的判定定理对选项进行逐一分析,进而即可求解.
【解答】
解:若m//n,m⊥α,由线面垂直的判定定理,可得n⊥α,故A正确;
若m//α,α∩β=n,此时m与n可能平行也可能异面,故B错误;
若m⊥α,α⊥β,则直线m与平面β可能平行也可能直线m在平面β上,故C错误;
若m⊥α,m⊂β,则根据线面垂直的判定定理,可得α⊥β,故D正确.
故选BC.
【答案】
A,B,C
【考点】
异面直线及其所成的角
空间中直线与平面之间的位置关系
棱柱的结构特征
【解析】
由BD // B1D1,得到BD // 平面CB1D1;由AC⊥BD,CC1⊥BD,得到AC1⊥BD;异面直线AD与CB1角为45∘;由AC1⊥B1D1,AC1⊥CB1,得到AC1⊥平面CB1D1.
【解答】
解:连接AC,A1C1,如图:
在选项A中,∵ BD // B1D1,BD⊄平面CB1D1,B1D1⊂平面CB1D1,
∴ BD // 平面CB1D1,故A正确;
在选项B中,∵ ABCD是正方形,∴ AC⊥BD,
∵ ABCD−A1B1C1D1为正方体,∴ CC1⊥BD,
∵ AC∩CC1=C,∴ BD⊥平面ACC1A1,∴ AC1⊥BD,故B正确;
在选项C中,∵ A1B1C1D1是正方形,∴ A1C1⊥B1D1,
∵ ABCD−A1B1C1D1为正方体,∴ CC1⊥B1D1,
∵ A1C1∩CC1=C1,∴ B1D1⊥平面AA1C1C,
∵ AC1⊂平面AA1C1C,∴ AC1⊥B1D1,
同理,AC1⊥CB1,∵ B1D1∩CB1=B1,
∴ AC1⊥平面CB1D1,故C正确;
在选项D中,∵ AD // BC,∴ ∠BCB1是异面直线AD与CB1所成角,
∵ BCC1B1是正方形,∴ ∠BCB1=45∘,
∴ 异面直线AD与CB1角为45∘,故D错误.
故选ABC.
【答案】
A,B,C
【考点】
正弦定理
余弦定理
【解析】
首先利用比例,构造边的比例关系,再利用余弦定理,正弦定理,逐个判断即可.
【解答】
解:A,a+b:a+c:b+c=9:10:11,
可设a+b=9t,a+c=10t,b+c=11t,
解得a=4t,b=5t,c=6t,t>0,
可得sinA:sinB:sinC=a:b:c=4:5:6,故A正确;
B,若c=6,可得:2R=csinC=61−164=1677,
即△ABC外接圆半径为877,故B正确;
C,由题设最大角与最小角分别为C,A,
csC=18,sinC=1−cs2C=378,
csA=52+62−422×5×6=34,sinA=74,
sin2A=2sinAcsA=378=sinC,C=2A,
满足最大角是最小角的2倍,故C正确;
D,c为最大边,
在△ABC中,由余弦定理可得:
csC=a2+b2−c22ab=16t2+25t2−36t22⋅4t⋅5t=18>0,
即C为锐角,故D错误.
故选ABC.
三、填空题
【答案】
103
【考点】
复数代数形式的混合运算
复数的模
复数的基本概念
【解析】
由复数z1=a+2i, z2=3−4i,则z1z2=a+2i3−4i,然后利用复数代数形式的乘除运算化简,再根据已知条件列出方程组,求解可得a的值,代入z1,再由复数求模公式计算得答案.
【解答】
解:已知z1=a+2i, z2=3−4i,
则z1z2=a+2i3−4i=a+2i3+4i3−4i3+4i
=3a−8+4a+6i25=3a−825+4a+625i,
因为z1z2为纯虚数,
可知3a−825=0,4a+625≠0,
解得a=83,
所以z1=83+2i ,
则|z1|=(83)2+22=103.
故答案为: 103
【答案】
45∘
【考点】
正弦定理
【解析】
由正弦定理可得sinB=bsinAa=42×sin60∘43=22,由a=43>b=42,A,B,C为△ABC中的内角,由大边对大角可知:0
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