2020-2021学年湖南省长沙市高一（下）5月月考数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年湖南省长沙市高一（下）5月月考数学试卷人教A版，共11页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 若向量BA→=5,6， CA→=2,3，则BC→=（ ）
A.−3,−3B.7,9C.3,3D.−6,−10

2. 已知z为复数， z2+1=0，则|z−1|等于（ ）
A.0B.1C.2D.2

3. 为了了解参加学校体育节的1200名学生的身高情况，从中抽取40名运动员进行测量．下列说法正确的是（ ）
A.总体是1200名学生B.个体是每一名运动员
C.40名学生的身高是一个个体D.样本容量是40

4. 某校初一有500名学生，为了培养学生良好的阅读习惯，学校要求他们从四大名著中选一本阅读，其中有200人选《三国演义》，125人选《水浒传》，125人选《西游记》，50人选《红楼梦》，若采用分层抽样的方法随机抽取40名学生分享他们的读后感，则选《西游记》的学生抽取的人数为（ ）
A.5B.10C.12D.15

5. 若复数z=x2+x−2+x−1i（i为虚数单位）为纯虚数，则实数x的值（ ）
A.1B.2C.−2D.1或−2

6. 已知直角梯形OABC上下两底分别为分别为2和4，高为22，则利用斜二测画法所得其直观图的面积为（ ）

A.62B.32C.3D.6

7. 已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列正确的结论是（ ）
A.若m//n，m//α， n//β，则α//β
B.若α//β，m⊂α，n⊂β，则m//n
C.若m⊥n，m⊥α， n//β，则α⊥β
D.若m⊥n， m⊥α， n⊥β，则α⊥β

8. 如图，圆台OO1的上底面半径为O1A1=1，下底面半径为OA=2，母线长AA1=2，过OA的中点B作OA的垂线交圆O于点C，则异面直线OO1与A1C所成角的大小为( )

A.30∘B.45∘C.60∘D.90∘
二、多选题

在△ABC中， sinC+sinA−B=3sin2B．若C=π3，则ab的值可以等于（ ）
A.12B.13C.2D.3

如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，则下列结论正确的是( )

A.圆柱的体积为4πR3
B.圆锥的侧面积为5πR2
C.圆柱的侧面积与圆锥的表面积相等
D.圆柱、圆锥、球的体积之比为3:1:2

某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，其相应产品数量之比为2:5:3，现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A型号产品有16件，则( )
A.此样本的容量n为20B.此样本的容量n为80
C.样本中B型号产品有40件D.样本中B型号产品有24件

某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险：戊，重大疾病保险，各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得出如下的统计图例：
用该样本估计总体，以下四个选项正确的是（ ）
A.54周岁以上参保人数最少
B.18∼29周岁人群参保总费用最少
C.丁险种更受参保人青睐
D.30周岁以上的人群约占参保人群20%
三、填空题

设a，b为实数，若复数1+2ia+bi=1−i，则ab=_____.

下面几个命题：
①若a→=b→ ，则|a→|=|b→|； ②若|a→|=0，则a→=0；
③若|a→|=|b→|，则a→=b→；④若向量a→，b→满足|a→|=|b→|,a→//b→,则a→=b→，
其中正确命题的是________.

如图， A1B1C1D1是以ABCD为底面的长方体的一个斜截面，其中AB=4，BC=3，AA1=DD1=5，BB1=CC1=8 ，则该几何体的体积为________．


某中学为了解学生的数学学习情况，在3000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图．根据频率分布直方图，推测这3000名学生在该次数学考试中成绩不低于80分的学生人数是________.

四、解答题

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且3a2+c2−b2=2bcsinA．
(1)求B；

(2)若△ABC的面积是233,c=2a，求b．

若复数z1满足z1−2+i1+i=1−i （i为虚数单位），复数z2的虚部为2，且z1z2是实数．
(1)求z1的模长；

(2)求z2．

如图，已知正三棱柱ABC−A1B1C1的体积为93，底面边长为3，求异面直线BC1与AC所成的角的余弦值．


如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，截去三棱锥A1−ABD，求

(1)截去的三棱锥A1−ABD的表面积；

(2)剩余的几何体A1B1C1D1−DBC的体积．

如图所示，在ABC−A1B1C1中，侧棱A1A⊥底面ABC，且底面是边长为2的正三角形，侧棱长为1，D是AC的中点．

(1)求证：B1C//平面A1BD；

(2)求直线AB1与平面A1BD所成角的正弦值；

(3)求二面角A−BD−A1的大小．

有一种鱼的身体吸收汞，一定量身体中汞的含量超过其体重的1.00×10−6的鱼被人食用后，就会对人体产生危害．某海鲜市场进口了一批这种鱼，质监部门对这种鱼进行抽样检测，在30条鱼的样本中发现的汞含量（乘以百万分之一）如下：
0.07 0.34 0.95 0.98 1.02 0.98 1.37 1.40 0.39 1.02
1.44 1.58 0.54 1.08 0.71 0.70 1.20 1.24 1.62 1.68
1.85 1.30 0.81 0.82 0.84 1.39 1.26 2.20 0.91 1.31
1完成下面频率分布表，并画出频率分布直方图；
频率分布表：

(2)根据频率分布直方图估算样本数据的平均值．（保留小数点后两位，同一组中的数据用该组区间中点值代表）
参考答案与试题解析
2020-2021学年湖南省长沙市高一（下）5月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
平面向量的坐标运算
【解析】
根据平面向量的线性表示与坐标运算，计算即可．
【解答】
解：向量BA→=5,6 ，CA→=2,3，
则BC→=BA→+AC→=BA→−CA→=3,3.
故选C．
2.
【答案】
C
【考点】
复数的模
复数的运算
【解析】
由已知求得z，再由复数模的计算公式求解．
【解答】
解：由z2+1=0，得z2=−1 ，则z=±i，
当z=i时，|z−1|=|i−1|=12+(−1)2=2，
当 z=−i 时， 时|z−1|=|−1−i|=−12+(−1)2=2，
综上， |z−1|=2.
故选C．
3.
【答案】
D
【考点】
个体、总体、样本、样本容量概念及区分
【解析】
解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
【解答】
解：本题考查的对象是1200名高一学生的身高情况，
故总体是1200名高一学生的身高情况；
个体是每个学生的身高情况；
样本是40名学生的身高情况，
故样本容量是40．
故选D．
4.
【答案】
B
【考点】
分层抽样方法
【解析】
根据分层抽样的定义建立比例关系即可．
【解答】
解：根据分层抽样的定义可得选《西游记》的学生抽取的人数为125200+125+125+50×40=10.
故选B．
5.
【答案】
C
【考点】
复数的基本概念
【解析】
直接利用纯虚数的概念即可直接得答案．
【解答】
解：因为z=x2+x−2+x−1i（i为虚数单位）为纯虚数，
所以x2+x−2=0,x−1≠0,
解得x=−2.
故选C．
6.
【答案】
C
【考点】
平面图形的直观图
斜二测画法
【解析】
由题意，先求出平面图形中的面积，根据平面图的面积与斜二测画法所成的面积的比例，列出等式求解即可.
【解答】
解：已知该平面图形的面积S=2+42×22=62 ，
而利用斜二测画法所得的直观图的面积S′=24S=24×62=3 .
故选C.
7.
【答案】
D
【考点】
空间中平面与平面之间的位置关系
空间中直线与平面之间的位置关系
空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】
利用线面，面面，线线之间的关系求解即可.
【解答】
解：A，若m//n，m//α， n//β，则α//β 或α，β相交，故该选项错误；
B，若α//β，m⊂α，n⊂β，则m//n或异面，故该选项错误；
C，若m⊥n，m⊥α， n//β，若n⊂α，则α//β 或α，β相交，故该选项错误；
D，若m⊥n，m⊥α， n⊥β，则α⊥β，故该选项正确.
故选D.
8.
【答案】
B
【考点】
异面直线及其所成的角
圆台的特征
【解析】
无
【解答】
解：在直角梯形OO1A1A中，B为OA的中点，OA=2，
所以O1A1=OB=AB=1.
连接A1B，
易证四边形OO1A1B为矩形，
所以OO1//A1B，
所以∠BA1C为异面直线OO1与A1C所成的角.
在直角三角形AA1B中，AA1=2，
所以A1B=3.
连接OC.
在直角三角形OBC中，OB=1，OC=2，
所以BC=3.
在直角三角形A1BC中，BC=A1B，
所以∠BA1C=45∘.
故选B．
二、多选题
【答案】
A,D
【考点】
两角和与差的正弦公式
二倍角的正弦公式
正弦定理
【解析】
根据三角形内角和定理与诱导公式，可得sinC=sinA+B=sinAcsB+csAsinB，代入题中等式并利用三角恒等变换化简，整理得csBsinA−3sinB=0 ，可得csB=0或sinA=3sinB ．再由正弦定理与直角三角形中三角函数的定义加以计算，可得ab的值．
【解答】
解：∵ A+B=π−C，
∴sinC=sinπ−C=sinA+B
=sinAcsB+csAsinB，
又∵ sinA−B=sinAcsB−csAsinB，
sinC+sinA−B=3sin2B ，
∴ sinAcsB+csAsinB+sinAcsB−csAsinB
=6sinBcsB，
化简得2sinAcsB=6sinBcsB ，
即csBsinA−3sinB=0，
解得csB=0或sinA=3sinB，
①若csB=0 ，结合B为三角形的内角，可得B=π2，
∵C=π3，
∴ A=π2−C=π6，
因此sinA=sinπ6=12，
由三角函数的定义得sinA=ab=12；
②若sinA=3sinB ，
由正弦定理得a=3b，
所以ab=3，
综上所述，ab的值为12或3．
故选AD.
【答案】
B,D
【考点】
棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
柱体、锥体、台体的体积计算
球的表面积和体积
【解析】
利用圆柱、圆锥、球的侧面积及其体积计算公式即可得出结论
【解答】
解：对于选项A，圆柱的体积=πR2⋅2R=2πR3，故A错误；
对于选项B，圆锥的侧面积=12×2πR×2R2+R2=5πR2，故B正确；
对于选项C，圆柱的侧面积=4πR2，圆锥的表面积=5πR2+πR2，故C错误；
对于选项D，圆柱的体积=πR2×2R=2πR3，圆锥的体积=13×πR2×2R=2π3R3，球的体积=4π3R3，
可得它们的体积之比为3:1:2，故D正确．
故选BD．
【答案】
B,C
【考点】
分层抽样方法
【解析】
根据分层抽样的定义和方法，列出方程，即可
【解答】
解：根据分层抽样的定义可知，22+5+3=16n，则n=80，
设样本中B型号的产品有x件，则52+5+3=x80，
所以x=40，即B型号的产品有40件．
故选BC．
【答案】
A,C
【考点】
频率分布折线图、密度曲线
扇形统计图
分布的意义和作用
【解析】
根据选项逐一对应相应的统计图即可进行判断．
【解答】
解：由扇形图可得，54周岁以上参保人数最少，30周岁以上的人群约占参保人群的39%+33%+80%=80%，故A正确，D错误；
由折线图可知， 18∼29周岁人群人均参保费用最少，但是因为参保人数并不是最少的，故其总费用不是最少，故B错误；
由柱状图可知，丁险种参保比例最高，故C正确．
故选AC．
三、填空题
【答案】
−13
【考点】
复数的运算
复数代数形式的混合运算
复数相等的充要条件
【解析】
由题意，对问题进行整理，再由复数相等列出式子求解可得a与b的值，进而即可得到答案.
【解答】
解：已知1+2ia+bi=1−i，
可得1+2i=(1−i)(a+bi)=(a+b)+(b−a)i，
此时a+b=1，b−a=2，
解得a=−12，b=32，
所以ab=−1232=−13.
故答案为：−13.
【答案】
①
【考点】
命题的真假判断与应用
平面向量的基本定理
【解析】
根据平面向量相等的定义和零向量的定义，判断题目中的命题是否正确．
【解答】
解：①根据平面向量相等的定义知， a→=b→时，有|a→|=|b→|，故①正确；
②根据零向量的定义知， |a→|=0时，有a→=0→，故②错误；
③若|a→|=|b→|，则两个向量大小相等，但方向不确定，故③错误；
④根据平面向量相等的定义，|a→|=|b→|,a→//b→时，a→=b→或a→=−b→，故④错误.
综上，正确的命题是①．
故答案为：①．
【答案】
78
【考点】
柱体、锥体、台体的体积计算
【解析】
易知该几何体是直棱柱，底面为梯形AA1B1B，高为AD，利用柱体的体积公式可求得结果．
【解答】
解：由题意，两个该几何体可拼成一个长方体，长宽高分别为4，3，5+8=13，如图所示，
则该几何体的体积为12×4×3×13=78.
故答案为：78．
【答案】
840
【考点】
频率分布直方图
【解析】
由题意，根据频率直方图中所得信息得到概率，进而即可求解.
【解答】
解：由频率分布直方图可得低于80分的概率为：
P=0.002×10+0.006×10+0.012×10+0.024×10
+0.028×10=0.72,
所以这3000名学生在该次数学考试中成绩不低于80分的学生人数为0.28×3000=840 .
故答案为：840.
四、解答题
【答案】
解：(1)由3a2+c2−b2=2bcsinA，得3a2+c2−b22ac=bsinAa，
得3csB=bsinAa，得3acsB=bsinA，
由正弦定理得3sinAcsB=sinBsinA，因为sinA≠0，所以3csB=sinB，
所以tanB=3，因为0(2)若△ABC的面积是233，
则12acsinB=12×a×2a×32=233，解得a=233，
所以c=433 ．
由余弦定理b2=a2+c2−2accsB，
可得b2=2332+4332−2×233×433×12，
所以b=2．
【考点】
余弦定理
正弦定理
两角和与差的正弦公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由3a2+c2−b2=2bcsinA，得3a2+c2−b22ac=bsinAa，
得3csB=bsinAa，得3acsB=bsinA，
由正弦定理得3sinAcsB=sinBsinA，因为sinA≠0，所以3csB=sinB，
所以tanB=3，因为0(2)若△ABC的面积是233，
则12acsinB=12×a×2a×32=233，解得a=233，
所以c=433 ．
由余弦定理b2=a2+c2−2accsB，
可得b2=2332+4332−2×233×433×12，
所以b=2．
【答案】
解：(1)∵ (z1−2+i)(1+i)=1−i，
∴ z1=1−i1+i+2−i=−i+2−i=2−2i，
∴ |z1|=4+4=22.
(2)设z1=a+2i，
则z1z2=(2−2i)(a+2i)=(2a+4)(4−2a)i，
∵ z1z2为实数，
∴ 4−2a=0，解得：a=2，
∴ z2=2+2i．
【考点】
复数代数形式的乘除运算
复数的基本概念
复数的模
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)∵ (z1−2+i)(1+i)=1−i，
∴ z1=1−i1+i+2−i=−i+2−i=2−2i，
∴ |z1|=4+4=22.
(2)设z1=a+2i，
则z1z2=(2−2i)(a+2i)=(2a+4)(4−2a)i，
∵ z1z2为实数，
∴ 4−2a=0，解得：a=2，
∴ z2=2+2i．
【答案】
解：∵ 正三棱柱ABC−A1B1C1的体积为93，底面边长为3，
∴ V=Sℎ=34×32×ℎ=93，解得ℎ=4，
∵ A1C1与AC平行，∴ ∠BC1A1是异面直线BC1与AC所成的角，
在△A1BC1中，A1C1=3，BC1=BA1=5，
∴ cs∠BC1A1=BC12+A1C12−BA122BC1⋅A1C1=310，
异面直线BC1与AC所成的角的余弦值为310.
【考点】
异面直线及其所成的角
【解析】
由正三棱柱ABC−A1B1C1的体积求出高，由A1C1与AC平行，得∠BC1A1是异面直线BC1与AC所成的角，由此利用余弦定理能求出异面直线BC1与AC所成的角的大小．
【解答】
解：∵ 正三棱柱ABC−A1B1C1的体积为93，底面边长为3，
∴ V=Sℎ=34×32×ℎ=93，解得ℎ=4，
∵ A1C1与AC平行，∴ ∠BC1A1是异面直线BC1与AC所成的角，
在△A1BC1中，A1C1=3，BC1=BA1=5，
∴ cs∠BC1A1=BC12+A1C12−BA122BC1⋅A1C1=310，
异面直线BC1与AC所成的角的余弦值为310.
【答案】
解：(1)由正方体的特点可知三棱锥A1−ABD中，
△A1BD是边长为22的等边三角形，
△A1AD、△A1AB、△ABD都是直角边为2的等腰直角三角形，
所以截去的三棱锥A1−ABD的表面积
S=S△A1BD+S△A1AD+S△A1AB+S△ABD
=34×222+3×12×2×2=6+23 .
(2)正方体的体积为23=8，
三棱锥A1−ABD的体积为13×S△ABD×AA1=13×12×2×2×2=43，
所以剩余的几何体A1B1C1D1−DBC的体积为8−43=203．
【考点】
棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】
（1）由正方体的特点可知三棱锥A1−ABD中，△A1BD是边长为22的等边三角形，
△A1AD、△A1AB、△ABD都是直角边为2的等腰直角三角形．
所以截去的三棱锥A1−ABD的表面积S=S△A1BD+S△A1AB+SABD= =34×222+3×12×2×2=6+23 .
（2）正方体的体积为23=8，
三棱锥A−1−ABD的体积为13×S△ABD×AA1=13×12×2×2×2=43，
所以剩余的几何体ABC1D1−DBC的体积为8−43=203．
【解答】
解：(1)由正方体的特点可知三棱锥A1−ABD中，
△A1BD是边长为22的等边三角形，
△A1AD、△A1AB、△ABD都是直角边为2的等腰直角三角形，
所以截去的三棱锥A1−ABD的表面积
S=S△A1BD+S△A1AD+S△A1AB+S△ABD
=34×222+3×12×2×2=6+23 .
(2)正方体的体积为23=8，
三棱锥A1−ABD的体积为13×S△ABD×AA1=13×12×2×2×2=43，
所以剩余的几何体A1B1C1D1−DBC的体积为8−43=203．
【答案】
1证明：设A1B与AB1交于E，连结DE，
如图所示：
由题意得E，D分别为AB1，AC的中点，
所以ED//B1C，
又ED⊂平面A1BD，B1C⊄平面A1BD，
所以B1C//平面A1BD.
(2)解：取A1D中点F，连结AF，EF，
由题意得四边形AA1C1C为矩形，
且AC=2，AA1=1，D为AC中点，
所以AA1⊥AD且AA1=AD=1，
所以△AA1D为等腰直角三角形，
又F为A1D中点，
所以AF⊥A1D，
又D为AC中点，且BA=BC，
所以BD⊥AC，
又侧棱A1A⊥底面ABC，BD⊂平面ABC，
所以AA1⊥BD，又AA1∩AC=A，
所以BD⊥平面ACC1A1，又AF⊂平面ACC1A1，
所以BD⊥AF，又BD∩A1D=D，
所以AF⊥平面A1BD，
所以∠AEF为直线AB1与平面A1BD所成平面角，
在Rt△AEF中，AF=22，AE=52，
所以sin∠AEF=AFAE=2252=105，
所以AB1与平面A1BD所成角的正弦值为105．
(3)解：由(2)可得BD⊥平面ACC1A1，
又A1D⊂平面ACC1A1，
所以BD⊥A1D，又AD⊥BD，
所以∠ADA1即为二面角A−BD−A1所成的平面角，
在Rt△ADA1中，AA1=AD=1，
所以∠ADA1=45∘=π4，
且二面角A−BD−A1为锐二面角，
所以二面角A−BD−A1的大小为π4．
【考点】
直线与平面垂直的判定
直线与平面所成的角
二面角的平面角及求法
【解析】



【解答】
1证明：设A1B与AB1交于E，连结DE，
如图所示：
由题意得E，D分别为AB1，AC的中点，
所以ED//B1C，
又ED⊂平面A1BD，B1C⊄平面A1BD，
所以B1C//平面A1BD.
(2)解：取A1D中点F，连结AF，EF，
由题意得四边形AA1C1C为矩形，
且AC=2，AA1=1，D为AC中点，
所以AA1⊥AD且AA1=AD=1，
所以△AA1D为等腰直角三角形，
又F为A1D中点，
所以AF⊥A1D，
又D为AC中点，且BA=BC，
所以BD⊥AC，
又侧棱A1A⊥底面ABC，BD⊂平面ABC，
所以AA1⊥BD，又AA1∩AC=A，
所以BD⊥平面ACC1A1，又AF⊂平面ACC1A1，
所以BD⊥AF，又BD∩A1D=D，
所以AF⊥平面A1BD，
所以∠AEF为直线AB1与平面A1BD所成平面角，
在Rt△AEF中，AF=22，AE=52，
所以sin∠AEF=AFAE=2252=105，
所以AB1与平面A1BD所成角的正弦值为105．
(3)解：由(2)可得BD⊥平面ACC1A1，
又A1D⊂平面ACC1A1，
所以BD⊥A1D，又AD⊥BD，
所以∠ADA1即为二面角A−BD−A1所成的平面角，
在Rt△ADA1中，AA1=AD=1，
所以∠ADA1=45∘=π4，
且二面角A−BD−A1为锐二面角，
所以二面角A−BD−A1的大小为π4．
【答案】
解：(1)由题设样本数据，则可得频率分布表如下，
画出频率分布直方图：
(2)根据频率分布直方图估算平均值为
0.25×110+0.75×13+1.25×25+1.75×215
+2.25×130≈1.08 .
【考点】
频率分布直方图
频数与频率
【解析】
解：(1)由题设样本数据，则可得频率分布表如下，
画出频率分布直方图：
（2）根据频率分布直方图估算平均值为
0.5×110+0.75×13+1.25×25+1.75×215+2.25×130=1.08 .
【解答】
解：(1)由题设样本数据，则可得频率分布表如下，
画出频率分布直方图：
(2)根据频率分布直方图估算平均值为
0.25×110+0.75×13+1.25×25+1.75×215
+2.25×130≈1.08 . 分组
频数
频率
[0,0.50)


[0.50,1.00)

13
[1.00,1.50)


[1.50,2.00)

215
[2.00,2.50)
1
130
合计
30
1