2020-2021学年宁夏回族自治区银川市高一（下）4月月考数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年宁夏回族自治区银川市高一（下）4月月考数学试卷人教A版，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知a→，b→均为单位向量，且|a→−2b→|=3，则向量a→与b→的夹角为( )
A.π6B.π3C.2π3D.5π6

2. 已知两个非零向量a→，b→满足|a→+b→|=|a→−b→|，则下面结论正确的是（ ）
A.a→ // b→B.a→⊥b→
C.a→=b→D.a→+b→=a→−b→

3. 与向量AB→=(1, 3)平行的单位向量是( )
A.(12, 32)B.(−12, −32)
C.(12, 32)或(−12, −32)D.(−12, 32)或(12, −32)

4. 已知△ABC的边AB，AC的长分别为2，3，∠BAC=120∘，则△ABC的角平分线AD的长为（ ）
A.353B.35C.653D.65

5. △ABC的三边a，b，c所对的角分别为A，B，C．若A：B=1:2，sinC=1，则a:b:c=（ ）
A.1:2:1B.1:2:3C.2:3:1D.1:3:2

6. △ABC中，A，B，C所对的边分别是a，b，c，若A=105∘，B=45∘，b=22，则c=( )
A.22B.1C.2D.2

7. 函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0, −π20)的图象向右平移π6个单位长度后，与函数y=tan(ωx+π6)的图象重合，则ω的最小值为( )
A.16B.14C.13D.12
二、填空题

已知两个单位向量a→，b→的夹角为60∘，c→=ta→+(1−t)b→．若b→⋅c→=0，则t=________．

设向量a→=1,−1,b→=m+1,2m−4，若a→⊥b→，则m=________.

为了测量灯塔AB的高度，第一次在C点处测得∠ACB=30∘，然后向前走了40米到达点D处测得∠ADB=45∘，点C，D，B在同一直线上，则灯塔AB的高度为________.


设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2csAsinB=b2sinAcsB，则△ABC的形状为________.
三、解答题

设a→，b→是不共线的两个非零向量.
(1)若OA→=2a→−b→，OB→=3a→+b→，OC→=a→−3b→，求证：A，B，C三点共线；

(2)若8a→+kb→与ka→+2b→共线，求实数k的值．

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且ccsB+bcsC=3acsB．
(1)求csB的值；

(2)若|CA→−CB→|=2，△ABC的面积为22，求边b.

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a=2，acsB=(2c−b)csA.
(1)求角A的大小；

(2)求△ABC周长的最大值.

如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60∘方向的B处，且与岛屿A相距6n mile，渔船乙以5n mile/ℎ的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2ℎ在C处追上.

(1)求渔船甲的速度；

(2)求sinα的值.
参考答案与试题解析
2020-2021学年宁夏回族自治区银川市高一（下）4月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
数量积表示两个向量的夹角
【解析】
设向量a→与b→的夹角为θ，把已知式子平方，代入已知数据可得csθ的方程，解得结合θ的范围可得．
【解答】
解：设向量a→与b→的夹角为θ，θ∈[0, π]，
∵ |a→−2b→|=3，
∴ a→2−4a→⋅b→+4b→2=3，
∴ 1−4csθ+4=3，解得csθ=12,
∴ θ=π3.
故选B.
2.
【答案】
B
【考点】
数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】
由两个非零向量a→，b→满足|a→+b→|=|a→−b→|，可得(a→+b→)2=(a→−b→)2，展开即可．
【解答】
解：∵ 两个非零向量a→，b→满足|a→+b→|=|a→−b→|，
∴ (a→+b→)2=(a→−b→)2，展开得到a→⋅b→=0．
故选B.
3.
【答案】
C
【考点】
向量的概念与向量的模
平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】
与向量AB→=(1, 3)平行的单位向量＝±AB→|AB→|．
【解答】
解：由题意，得|AB→|=12+(3)2=2．
则与向量AB→=(1, 3)平行的单位向量为(12,32)或(−12,−32)．
故选C.
4.
【答案】
D
【考点】
余弦定理
正弦定理
【解析】
先由余弦定理求得BC和csB，再由角平分线定理求得BD，然后在三角形ABD中由余弦定理可得AD
【解答】
解：由余弦定理可得：BC=AB2+AC2−2AB⋅ACcs∠BAC
=22+32−2×2×3×−12=19，
由正弦定理可知：
BDsin∠BAD=2sin∠ADB；CDsin∠CAD=3sin∠ADC.
又因为sin∠ADB=sin∠ADC，sin∠BAD=sin∠CAD，
所以BDCD=23，
故BD=25BC=2519.
在三角形ABC中由余弦定理得csB=AB2+BC2−AC22AB⋅BC=4+19−9419=7219，
在三角形ABD中由余弦定理得csB=AB2+BD2−AD22AB⋅BD，
7219=4+4×1925−AD22×2×2195，解得：AD=65.
故选D．
5.
【答案】
D
【考点】
正弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ sinC=1，且C∈0,π，∴ C=π2,
∵ A：B=1：2，∴ B=2A，
由A+B=π2，可得 A=π6,B=π3，
∴ 由正弦定理可得：
a:b:c=sinA:sinB:sinC=12:32:1=1:3:2.
故选D．
6.
【答案】
D
【考点】
正弦定理
【解析】
由A与B的度数，求出C的度数，再由sinB，sinC及b的值，利用正弦定理即可求出c的值．
【解答】
解：∵ ∠A=105∘，∠B=45∘，
∴ ∠C=30∘，又b=22，
∴ 根据正弦定理bsinB=csinC
得：c=bsinCsinB=22×1222=2．
故选D.
7.
【答案】
B
【考点】
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】
通过图象求出函数的周期，再求出ω，由( 5π12, 2)确定φ，推出选项．
【解答】
解：由图象可知：34T=5π12−(−π3)=9π12，
∴ T=π，
∴ ω=2πT=2；
∵ (5π12, 2)在图象上，
∴ 2×5π12+φ=2kπ+π2，φ=2kπ−π3，(k∈Z)．
∵ −π20，
∴ ωmin=12．
故选D.
二、填空题
【答案】
2
【考点】
平面向量数量积的性质及其运算律
向量的线性运算性质及几何意义
数量积表示两个向量的夹角
【解析】
由于b→⋅c→=0，对式子c→=ta→+(1−t)b→两边与b→作数量积可得c→∗b→=ta→∗b→+(1−t)b→2=0，经过化简即可得出．
【解答】
解：∵ c→=ta→+(1−t)b→，c→⋅b→=0，
∴ c→⋅b→=ta→⋅b→+(1−t)b→2=0，
∴ tcs60∘+1−t=0，
∴ 1−12t=0，解得t=2．
故答案为：2.
【答案】
5
【考点】
平面向量数量积
数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】
根据垂直的两个向量的数量积为零，结合向量数量积的坐标公式，列出关于m的方程，解之可得m的值．
【解答】
解：由a→⊥b→，
可得a→⋅b→=1×(m+1)+(−1)×(2m−4)=0，
解得m=5.
故答案为：5.
【答案】
203+1米
【考点】
已知三角函数模型的应用问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题意可知∠ACB=30∘,∠ADB=45∘,CD=40.
在Rt△ABC中， AB=40+BD⋅tan30∘=3340+BD.
在Rt△ABD中， AB=BD⋅tan45∘=BD，
∴ BD=3340+BD，
∴ BD=203+1.
故答案为： 203+1米．
【答案】
等腰三角形或直角三角形
【考点】
正弦定理
三角形的形状判断
二倍角的正弦公式
【解析】
利用正弦定理化简，整理后得到sin2A＝sin2B，进而得到2A＝2B或2A+2B＝π，即可确定出三角形形状．
【解答】
解：已知等式利用正弦定理asinA=bsinB，
化简得：ba2csA=ab2csB，
整理得：acsA=bcsB，即sinAcsA=sinBcsB，
∴ 2sinAcsA=2sinBcsB，即sin2A=sin2B，
∴ 2A=2B或2A+2B=π，即A=B或A+B=π2，
则△ABC为等腰三角形或直角三角形．
故答案为：等腰三角形或直角三角形.
三、解答题
【答案】
(1)证明：∵ OA→=2a→−b→，OB→=3a→+b→，OC→=a→−3b→，
∴ AB→=OB→−OA→=(3a→+b→)−(2a→−b→)=a→+2b→，
BC→=OC→−OB→=(a→−3b→)−(3a→+b→)=−2(a→+2b→)=−2AB→，
∴ A，B，C三点共线；
(2)解：∵ 8a→+kb→与ka→+2b→共线，
∴ 存在实数λ，使得(8a→+kb→)=λ(ka→+2b→)⇒(8−λk) a→+(k−2λ) b→=0，
∵ a→与b→不共线，
∴ 8−λk=0，k−2λ=0，⇒8=2λ2⇒λ=±2，
∴ k=2λ=±4．
【考点】
平行向量的性质
三点共线
【解析】
（1）利用向量的运算和共线定理即可得出；
（2）利用向量共线定理和向量基本定理即可得出．
【解答】
(1)证明：∵ OA→=2a→−b→，OB→=3a→+b→，OC→=a→−3b→，
∴ AB→=OB→−OA→=(3a→+b→)−(2a→−b→)=a→+2b→，
BC→=OC→−OB→=(a→−3b→)−(3a→+b→)=−2(a→+2b→)=−2AB→，
∴ A，B，C三点共线；
(2)解：∵ 8a→+kb→与ka→+2b→共线，
∴ 存在实数λ，使得(8a→+kb→)=λ(ka→+2b→)⇒(8−λk) a→+(k−2λ) b→=0，
∵ a→与b→不共线，
∴ 8−λk=0，k−2λ=0，⇒8=2λ2⇒λ=±2，
∴ k=2λ=±4．
【答案】
解：(1)∵ ccsB+bcsC=3acsB，
∴ 由正弦定理得：sinCcsB+sinBcsC=3sinAcsB，即sin(B+C)=3sinAcsB，
又∵ sin(B+C)=sinA≠0，
∴ csB=13；
(2)因为在△ABC中，B∈(0,π)，
又∵ csB=13，
所以sinB=1−cs2B=1−132=223，
由|CA→−CB→|=2得：
|BA→|=2，即c=2，
由S=12acsinB=22可得：a=3，
由余弦定理得：b2=a2+c2−2accsB=32+22−2×3×2×13=9，
∴ b=3.
【考点】
三角形的面积公式
余弦定理
正弦定理
【解析】
（1）利用正弦定理化简已知得等式，根据sinA不为0即可求出csB的值；
（2）利用平面向量的数量积运算法则化简BA→⋅BC→=2，将csB的值代入求出ac的值，再利用余弦定理列出关系式，将csB代入后利用基本不等式变形，将ac的值代入计算即可求出b的最小值．
【解答】
解：(1)∵ ccsB+bcsC=3acsB，
∴ 由正弦定理得：sinCcsB+sinBcsC=3sinAcsB，即sin(B+C)=3sinAcsB，
又∵ sin(B+C)=sinA≠0，
∴ csB=13；
(2)因为在△ABC中，B∈(0,π)，
又∵ csB=13，
所以sinB=1−cs2B=1−132=223，
由|CA→−CB→|=2得：
|BA→|=2，即c=2，
由S=12acsinB=22可得：a=3，
由余弦定理得：b2=a2+c2−2accsB=32+22−2×3×2×13=9，
∴ b=3.
【答案】
解：(1)根据正弦定理可得，
acsB=(2c−b)csA可化为：
sinAcsB=(2sinC−sinB)csA，
即sin(A+B)=2sinCcsA，
∴ sinC=2sinCcsA.
∵sinC≠0，
∴ csA=12.
∵0