2020-2021学年山东省枣庄市西校高一（下）5月月考数学试卷 (1)人教A版

这是一份2020-2021学年山东省枣庄市西校高一（下）5月月考数学试卷 (1)人教A版，共13页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 复数z=2+i20231+2i2021，则z的共轭复数z=( )
A.1B.−1C.iD.−i

2. 设x，y∈R，向量a→=x,1，b→=1,y，c→=2,−4且a→⊥c→，b→//c→，则|a→+b→|=( )
A.5B.25C.10D.10

3. 已知在△ABC中，点M是边AB上一点，满足BM→=3MA→，则CM→=( )
A.−BC→+34BA→B.−BC→+14BA→
C.BC→−14BA→D.BC→−34BA→

4. “幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标．常用区间0,10内的一个数来表示，该数越接近10表示满意度越高．甲、乙两位同学分别随机抽取10位本地市民调查他们的幸福感指数，甲得到十位市民的幸福感指数为5，6，6，7，7，7，7，8，8，9，乙得到十位市民的幸福感指数的平均数为8，则这20位市民幸福感指数的平均数为( )
A.6.5B.7 C.7.5D.8

5. 设m，n是不同的直线， α，β，γ是不同的平面，下列命题正确的是( )
A.若m//α，n⊂α，则m//n
B.若m//β，n//β，m⊂α，n⊂α，则α//β
C.若α⊥β，m⊥β，则m//α
D.若α⊥γ，β⊥γ，α∩β=m，n⊂γ，则m⊥n

6. 若非零向量AB→，AC→满足AB→|AB|→+AC→|AC|→⋅BC→=0，且AB→|AB|→⋅AC→|AC|→=12，则△ABC的形状为( )
A.三边均不相等的三角形B.直角三角形
C.底边和腰不相等的等腰三角形D.等边三角形

7. 在△ABC中，如果sinA=3sinC，B=30∘，b=2，则△ABC的面积为( )
A.1B.3C.2D.4

8. 已知正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AB=1，AA1=2，则直线A1C和BC1所成的角的余弦值为( )
A.−3010B.3010C.−3012D.3012

9. 如图，点M是正方体ABCD−A1B1C1D1的侧面ADD1A1上一个动点，则下列结论正确的是( )

A.在侧面ADD1A1上，点M存在无数个位置满足CM⊥AD1
B.若正方体的棱长为1，则三棱锥B−C1MD体积的最大值为13
C.在侧面ADD1A1上存在点M，使直线B1M与平面ADD1A1所成的角是30∘
D.在侧面ADD1A1上，点M存在无数个位置满足BM//平面B1D1C
二、多选题

某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1500辆，6000辆和2000辆．为检验该公司的产品质量，公司质监部门要抽取76辆进行检验，则下列说法正确的是( )
A.应采用抽签法抽取
B.应采用分层随机抽样抽取
C.三种型号的轿车依次应抽取12辆，48辆，16辆
D.这三种型号的轿车，每一辆被抽到的概率都是相等的

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是( )
A.若A>B，则sinA>sinB
B.若A=30∘，b=4，a=3，则△ABC有一解
C.若△ABC为钝角三角形，则a2+b2>c2
D.若A=60∘，a=2，则△ABC面积的最大值为3

如图，在四边形ABCD中，∠B=60∘， AB=3，BC=6，且AD→=λBC→λ∈R ，AD→⋅AB→=−32，则( )

A.AB→⋅BC→=9
B.实数λ的值为16
C.四边形ABCD是梯形
D.若M，N是线段BC上的动点，且|MN→|=1，则DM·DN的最小值为132
三、填空题

若复数z=x+yi(x，y∈R)，并且|z−i|=1，则|z|的取值范围为________.

某广场内设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的，如图所示，若被截正方体的棱长是10cm，则石凳的表面积为________cm2．


在△ABC中，AB=AC，E，F是边BC的三等分点，若|AB→+AC→|=3|AB→−AC→|，则cs∠EAF=________．

在四面体ABCD中，已知AB=CD=AC=BD=5，AD=BC，点M是棱AD的中点，点P是棱AC上的一个动点，BP+PM的最小值为213，则该四面体的外接球的表面积为________.

四、解答题

已知虚数z满足|2z+1−i|=|z+2−2i|（i为虚数单位）
(1)求|z|的值；

(2)若mz+1z∈R，求实数m的值．

某社区组织了垃圾分类知识竞赛活动，从所有参赛选手中随机抽取20人，将他们的得分按照0,20， (20,40]， (40,60]， (60,80]，(80,100]分组，绘成频率分布直方图（如图）．

(1)求x的值．

(2)分别求出抽取的20人中得分落在组0,20和(20,40]内的人数．

(3)根据频率分布直方图估计所有参赛选手得分的平均数、中位数和众数．（计算结果如果出现小数，保留小数点后两位）

在△ABC中， AB=2，AC=1，∠BAC=120∘，点E，F在BC边上且BE→=λBC→，BF→=μBC→.

(1)若λ=13，求AE的长；

(2)若AE→⋅AF→=4，求1λ+1μ的值．

在边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，将△AED ，△DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于点A1．

(1)求证：A1D⊥EF．

(2)求点A1到平面EDF的距离．

(3)求二面角A−EF−D的余弦值．

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2(tanA+tanB)=tanAcsB+tanBcsA．
(1)证明：a+b=2c；

(2)求csC的最小值．

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为平行四边形， △PCD为等边三角形，平面PAC⊥平面PCD， PA⊥CD，CD=2，AD=3，点G为PB的中点．

(1)在线段AC的上是否存在点H，使得GH//平面PAD？若存在，指出点H的位置，若不存在，请说明理由．

(2)求证： PA⊥平面PCD；

(3)求直线AD与平面PAC所成角的正弦值．
参考答案与试题解析
2020-2021学年山东省枣庄市西校高一（下）5月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
共轭复数
复数代数形式的乘除运算
【解析】
根据复数的运算法则进行化简，结合共轭复数的定义进行求解即可．
【解答】
解：∵i2=−1，
∴i2023=i(i2)1011=i(−1)1011=−i，
i2021=i(i2)1010=i(−1)1010=i，
∴z=2+i20231+2i2021=2−i1+2i=(2−i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)
=2−4i−i−21−(−4)=−5i5=−i，
∴z=−(−i)=i．
故选C．
2.
【答案】
C
【考点】
平面向量共线（平行）的坐标表示
数量积判断两个平面向量的垂直关系
向量的模
【解析】
首先利用向量垂直和平行，构造方程，求出x，y，再代入求模即可.
【解答】
解：∵ a→⊥c→，且b→//c→，
a→=x,1，b→=1,y，c→=2,−4，
∴ 2x−4=0,−4−2y=0,
解得x=2,y=−2.
∴ a→+b→=3,−1，
∴ |a→+b→|=9+1=10.
故选C．
3.
【答案】
A
【考点】
向量的线性运算性质及几何意义
【解析】

【解答】
解：∵BM→=3MA→，
∴BM→=34BA→.
∴CM→=CB→+BM→=−BC→+BM→
=−BC→+34BA→.
故选A.
4.
【答案】
C
【考点】
众数、中位数、平均数
【解析】
利用平均数的计算公式求解即可.
【解答】
解：这20为市民的幸福指数为：
120(5+2×6+4×7+2×8+9+10×8)=7.5.
故选C.
5.
【答案】
D
【考点】
空间中直线与直线之间的位置关系
空间中平面与平面之间的位置关系
空间中直线与平面之间的位置关系
命题的真假判断与应用
【解析】
对于A，m与n平行或异面；对于B，α与β相交或平行；对于C，m//α或m⊂α；对于D，由面面垂直的性质得m⊥n．
【解答】
解：由m，n是不同的直线，α，β，γ是不同的平面知，
A，若m//α，n⊂α，则m与n平行或异面，故A错误；
B，若m//β，n//β，m⊂α，n⊂α，则α与β相交或平行，故B错误；
C，若α⊥β，m⊥β，则m//α或m⊂α，故C错误；
D，若α⊥γ，β⊥γ，α∩β=m，n⊂γ，则由面面垂直的性质得m⊥n，故D正确．
故选D．
6.
【答案】
D
【考点】
向量在几何中的应用
向量的加法及其几何意义
数量积判断两个平面向量的垂直关系
数量积表示两个向量的夹角
【解析】
利用单位向量的定义及向量的数量积为0两向量垂直，得到等腰三角形；利用向量的数量积求出三角形的夹角，得到非等边三角形．
【解答】
解：因为AB→|AB→|+AC→|AC→|⋅BC→=0，
所以∠BAC的平分线与BC垂直，三角形是等腰三角形．
又因为AB→|AB→|⋅AC→|AC→|=12，
所以∠BAC=60∘，
所以三角形是正三角形．
故选D．
7.
【答案】
B
【考点】
正弦定理
余弦定理
解三角形
【解析】
在△ABC中，由正弦定理得到a=3c，结合余弦定理，我们易求出b与c的关系，进而得到B与C的关系，然后根据三角形内角和为180∘，即可求出A角的大小，再由△ABC的面积为12bc⋅sinA，运算求得结果．
【解答】
解：在△ABC中，由sinA=3sinC，可得a=3c，
又∵ B=30∘，由余弦定理，可得：csB=cs30∘=32=a2+c2−b22ac=4c2−423c2，解得c=2．
故△ABC是等腰三角形，C=B=30∘，A=120∘．
故△ABC的面积为12bc⋅sinA=3.
故选B．
8.
【答案】
B
【考点】
用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】
建立空间直角坐标系，求出A1，B，C，C1坐标，利用空间向量法，求出A1C→，BC1→所成角余弦的绝对值，即为所求．
【解答】
解：以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系D−xyz，
则A11,0,2，B1,1,0，C0,1,0，C10,1,2，
A1C→=−1,1,−2，BC1→=−1,0,2，
cs⟨A1C→,BC1→⟩=|A1C→⋅BC1→|A1C→|⋅|BC1→||=36×5=3010，
因此，异面直线A1C与BC1所成角的余弦值为3010．
故选B．
9.
【答案】
A,B,D
【考点】
柱体、锥体、台体的体积计算
直线与平面所成的角
余弦定理
直线与平面平行的判定
【解析】
通过证明AD1⊥面A1DC，可得当点M∈A1D上时，有CM⊥AD1，可判断A；
由已知VB−C1MD=VM−C1BD，当点M与点A重合时，点M到面C1BD的距离最大，计算VA−C1BD可判断B；
连接A1M，因为CD//A1B1，则∠A1B1M为异面直线B1M与CD所成的角，利用余弦定理算出A1M的距离，可判断C．
证明平面B1CD1Ⅱ平面A1BD，即可判断D．
【解答】
解：对于A，连接AD1，A1D，MC，A1C，
由正方体的性质可得
AD1⊥A1D，AD1⊥DC，A1D∩DC=D，
A1D，DC⊂平面A1DC，则AD1⊥平面A1DC.
当点M∈A1D时，有CM⊥AD1，
故点M存在无数个位置满足CM⊥AD1，故A正确；
对于B，由已知VB−C1MD=VM−C1BD，
当点M与点A1重合时，点M到面C1BD的距离最大，
则三棱锥B−C1MD的体积最大值为
VA1−C1BD=13−4×13×12×1×1×1=13，故B正确；
对于C，连接A1M，则∠A1MB1为直线B1M与平面ADD1A1所成的角，
设正方体棱长为1，A1M=x，则B1M2=x2+1，02，
所以在侧面ADD1A1上不存在点M，使异面直线B1M与平面ADD1A1所成的角是30∘，故C错误；
对于D，连接A1B，BD，A1D，D1C，D1B1，B1C，
∵A1D1//BC，A1D1=BC，
∴四边形A1BCD1为平行四边形，则A1B//D1C,
A1B⊄平面B1CD1，D1C⊂平面B1CD1，
∴A1B//平面B1CD1，同理可证DB//平面B1CD1.
∵A1B∩DB=B，A1B，DB⊂平面A1BD，
∴平面B1CD1//平面A1BD，
若M∈A1D，MB⊂平面A1BD，则BM//平面B1D1C，故D正确.
故选ABD．
二、多选题
【答案】
B,C,D
【考点】
分层抽样方法
【解析】
根据简单随机抽样的特点知应选分层抽样，按照抽样比即可得三种型号的轿车分别应抽取的数量．
【解答】
解：A．因为个体数目多，用抽取法制签难，搅拌不均匀，抽出的样本不具有好的代表性，故A错误；
B，因为是三种型号的轿车，个体差异明显，所以选择分层抽样，故B正确；
C，抽样比为761500+6000+2000=1125 ，三种型号的轿车依次应抽取1500×1125=12辆，6000×1125=48辆，2000×1125=16辆，故C正确；
D，分层抽样中，每一个个体被抽到的可能性相同，故D正确．
故选BCD．
【答案】
A,D
【考点】
命题的真假判断与应用
正弦定理的应用
余弦定理的应用
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
利用正弦定理结合大边对大角定理可判断A选项的正误，利用正弦定理可判断B选项的正误，利用余弦定理可判断C选项的正误，利用基本不等式、余弦定理结合三角形的面积公式可判断D选项的正误．
【解答】
解：A，若A>B，则a>b，由正弦定理可得asinA=bsinB=2R，
所以sinA>sinB，故A正确；
B，bsinA=4sin30∘=2，则bsinA