初中数学北师大版九年级上册5 相似三角形判定定理的证明优秀同步测试题

这是一份初中数学北师大版九年级上册5 相似三角形判定定理的证明优秀同步测试题，共20页。

2021-2022学年北师大版九年级数学上册《4.5相似三角形判定定理的证明》
同步测评（附答案）
一．选择题（共6小题，满分30分）
1．如图，在△ABC中，点D、E、F分别在AB、AC、BC上，DE∥BC，DF∥AC．下列比例式中，正确的是（　　）

A． B． C． D．
2．如图，在△ABC中，点D在AB边上，若AD：AB＝2：3，BC＝3，∠ADC＝∠ACB，则线段CD的长为（　　）

A． B． C． D．2
3．如图，矩形ABCD中，E，F分别为CD，BC的中点，且AE⊥EF，BC＝2，则AC的长为（　　）

A． B．2 C．3 D．2
4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D点在BC边上，，P为AB边上一点，当PC＝PD时，的值为（　　）

A． B． C． D．
5．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，若E是边AB的中点，连接DE，过点C作CF⊥DE于点F，则CF的长为（　　）

A． B． C． D．
6．如图，在△ACD中，AD＝6，BC＝5，AC2＝AB（AB+BC），且△DAB∽△DCA，若AD＝3AP，点Q是线段AB上的动点，则PQ的最小值是（　　）

A． B． C． D．
二．填空题（共7小题，满分35分）
7．如图，已知正方形ABCD，点E在BC上延长线上，连接AE交CD于点F，△CEF与四边形ABCF的面积分别为1和8，则△ADF的面积为 　 　．

8．如图，将三个全等的正方形拼成一个矩形ABGH．则∠1+∠2＝　 　．


9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，且AD＝，DE∥BC，∠DBE＝90°，连接AE．若AC＝3，BC＝4，则AE的长为 　 　．

10．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝，E为CD中点，连接AE、BD交于点P，连接PC，则PC的长为 　 　．

11．如图，已知▱ABCD中，E是BC的三等分点，连接AE与对角线BD交于点F，则S△BEF：S△ABF：S△ADF：S四边形CDFE＝　 　．

12．如图，△ABC中，AB＝4，BC＝2，边AC上取点D，且DB＝BC、∠DBC＝∠BAC，P是边BC延长线上一点，过点P作PQ⊥BP，交线段BD的延长线于点Q．设CP＝x，DQ＝y．则y关于x的函数解析式为 　 　．

13．如图，矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，E为对角线BD上一个动点，过点E作EF⊥AE交BC于F．
（1）当AE＝1时，EF的长为 　 　；
（2）EF长的最小值为 　 　．

三．解答题（共7小题，满分55分）
14．如图，在△ABC中，AC＝4，CD＝x，BC＝y，点D在BC边上．
（1）当CD＝2，BC＝8时，判断△ABC与△DAC是否相似？请说明理由．
（2）当∠CAD＝∠B时，求y关于x的函数关系式．

15．如图，已知BD是△ABC的角平分线，E是BD延长线上的一点，且AE＝AB．
（1）求证：△ADE∽△CDB；
（2）若AB＝6，BD＝4，DE＝5，求BC的长．

16．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，DE∥BC，EF∥AB．
（1）求证：△ADE∽△EFC．
（2）若＝2，△EFC的面积是1，求△ADE的面积．

17．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，△ADE∽△ACB．△ABC的角平分线AF交DE于点G，交BC于点F．
（1）求证：△ADG∽△ACF；
（2）若AE：AB＝2：3，求的值．

18．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠BDC．
（1）求证：△ABD∽△DCB；
（2）若AB＝12，AD＝8，CD＝15，求DB的长．

19．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，DE∥AC，EF∥AB．
（1）求证：△BDE∽△EFC．
（2）设，
①若BC＝12，求线段BE的长；
②若△EFC的面积是20，求△ABC的面积．

20．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．
（1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若AB＝8，AD＝6，AF＝4，求AE的长．


参考答案
一．选择题（共6小题，满分30分）
1．解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵DF∥AC，
∴△BDF∽△BAC，
∴＝，
＝，
＝，
＝，
∴≠，
≠，
≠，
故选：C．
2．解：过点D作DE∥BC，如图所示：

∴∠ADE＝∠ABC，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∵AD：AB＝2：3，BC＝3，
∴，
∴DE＝2，
∵∠ADC＝∠ACB，∠A＝∠A，
∴△ADC∽△ACB，
∴，∠ACD＝∠ABC，
∴∠ADE＝∠ACD，
∴△ADE∽△ACD，
∴，
∴，
∴CD2＝BC•DE，
∴CD2＝3×2，
解得：CD＝．
故选：C．
3．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝2，∠D＝90°，
∴∠DAE+∠AED＝90°，
∵AE⊥EF，
∴∠AEF＝90°，
∴∠DEA+∠CEF＝90°，
∴∠DAE＝∠CEF，
∴tan∠DAE＝tan∠CEF，
即，
∵E，F分别为CD，BC的中点，
∴DE＝CE，CF＝BC＝1，
∴DE2＝AD•CF＝2×1＝2，
∴DE＝（﹣舍去），
∴DC＝2DE＝2，
在Rt△ADC中，根据勾股定理，得
AC＝＝2．
故选：D．
4．解：过P作PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，

∴四边形PECF为矩形，PE＝CF，
∵PF⊥BC，
∴CF＝DF，
∴△APE∽△ABC，
∴，
∴，
故选：A．
5．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ADC＝90°，AB＝CD＝6，BC＝AD＝4，
∵E是AB的中点，
∴AE＝3，
∴DE＝＝＝5，
∵CF⊥DE，
∴∠CFD＝90°，
∴∠CFD+∠CDF＝90°，
∵∠ADE+∠CDF＝90°，
∴∠CFD＝∠ADE，
又∵∠A＝∠CFD，
∴△CFD∽△DAE，
∴，
∴，
∴CF＝．
故选：D．
6．解：∵△DAB∽△DCA，
∴＝，
∴＝，
解得：BD＝4（负值舍去），
∵△DAB∽△DCA，
∴，
∴AC＝，
∵AC2＝AB（AB+BC），
∴（AB）2＝AB（AB+BC），
∴AB＝4，
∴AB＝BD＝4，
过B作BH⊥AD于H，
∴AH＝AD＝3，
∴BH＝＝＝，
∵AD＝3AP，AD＝6，
∴AP＝2，
当PQ⊥AB时，PQ的值最小，
∵∠AQP＝∠AHB＝90°，∠PAQ＝∠BAH，
∴△APQ∽△ABH，
∴，
∴＝，
∴PQ＝，
故选：A．

二．填空题（共7小题，满分35分）
7．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝AD，BC∥AD，AB∥CD，
∴△EFC∽△EAB，△EFC∽△AFD，
∴＝（）2，＝（）2，
∵△CEF与四边形ABCF的面积分别为1和8，
∴S△EAB＝9，
∴＝，
∴＝＝，
∴△ADF的面积为：4．
故答案为：4．
8．解：设边长为a的三个正方形拼成一个矩形ABGH，
∴BD＝＝a，
∵DE＝a，DH＝2a，
∴＝，
∵∠BDH＝∠HDB，
∴△BDE∽△HDB，
∴∠2＝∠DBE，
∵∠ADB＝∠1+∠DBE＝45°，
∴∠1+∠2＝45°．
故答案为：45°．
9．解：∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝＝5，
∵AD＝，
∴BD＝AB﹣AD＝，
∵DE∥BC，
∴∠ABC＝∠BDE，
∵∠C＝∠DBE＝90°，
∴△ACB∽△EBD，
∴＝，
∴＝，
∴BE＝2，
∴AE＝＝＝，
故答案为：．
10．解：如图，过点P作PQ⊥BC，

∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AB＝CD，AD＝BC，∠BAD＝90°，
∵E为CD的中点，
∴DE＝CD＝AB，
∴△ABP∽△EDP，
∴＝，
∴＝，
∴＝，
∵PQ⊥BC，
∴PQ∥CD，
∴△BPQ∽△BDC，
∴＝＝，
∵CD＝2，
∴PQ＝，
∵AB＝2，AD＝BC＝，
∴BD＝＝，
∴BP＝，
∴BQ＝＝＝，
∴CQ＝BC﹣BQ＝﹣＝，
∴PC＝＝＝．
故答案为：．
11．解：①当EC＝2BE时，
∵E是BC的三等分点，
∴＝，
在▱ABCD中，∵AD∥BC，AD＝BC，
∴△ADF∽△EBF，
∴＝＝，
∴S△BEF：S△ABF：S△ADF＝1：3：9，
设S△BEF＝k，S△ABF＝3k，S△ADF＝9k，
∴S△ABF+S△ADF＝S四边形ABCD＝S△BEF+S四边形CDFE＝12k，
∴四边形CDFE＝12k﹣k＝11k，
∴S△BEF：S△ABF：S△ADF：S四边形CDFE＝1：3：9：11，
②当EC＝BE时，
同理可得：S△BEF：S△ABF：S△ADF：S四边形CDFE＝2：3：4.5：5.5＝4：6：9：11，
故答案为：1：3：9：11或4：6：9：11．
12．解：∵∠DBC＝∠BAC，∠BCD＝∠ACB，
∴△BDC∽△ABC，
∴＝，
∵AB＝4，BC＝BD＝2，
∴CD＝1，
∵DB＝BC，
∴∠BCD＝∠BDC，
∵∠DBC＝∠BAC，∠BCD＝∠ACB，
∴∠ABC＝∠BDC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴AC＝AB＝4，
作AH⊥BC，垂足为点H，

∵BC＝2，
∴BH＝CH＝1，
作DE⊥BC，垂足为点E，可得DE∥AH，
∴＝，
即＝，
∴CE＝，
∴BE＝，
又∵DE⊥BC，PQ⊥BC，
∴DE∥PQ，
∴＝，
即＝，
整理，得y＝x+．
故答案为：x+．
13．解：（1）如图，连接AF交BD于点G，

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABF＝90°，
∵EF⊥AE，
∴∠AEF＝90°，
∴∠ABF＝∠AEF＝90°，
在Rt△ABF和Rt△AEF中，
，
∴Rt△ABF∽Rt△AEF（HL），
∴BF＝EF，
∵AB＝AE，
∴AF是BE的垂直平分线，
∴∠AGB＝90°，
∴∠BAF＝∠FBG，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠FBG，
∴∠ADB＝∠BAF，
∴△ABF∽△DAB，
∴＝，
∴＝，
∴BF＝，
∴当AE＝1时，EF的长为；
故答案为：；
（2）如图，因为EF⊥AE，
所以当点F与点B重合时，EF长最小，

在矩形ABCD中，
∵AB＝1，AD＝2，
∴BD＝＝，
∵EF⊥AE，
∴∠AEF＝90°，
∴∠BAD＝∠AEF＝90°，
∵∠DBA＝∠AFE，
∴△DBA∽△AFE，
∴＝，
∴＝，
∴EF＝．
故答案为：．
三．解答题（共7小题，满分55分）
14．解：（1）△ABC与△DAC相似，
理由是：∵CD＝2，BC＝8，AC＝4，
∴＝，
∵∠C＝∠C，
∴△ABC∽△DAC；
（2）∵∠CAD＝∠B，∠C＝∠C，
∴△ABC∽△DAC，
∴，整理得：y＝．
15．解：（1）∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠ABD＝∠CBD．
∵AB＝AE，
∴∠ABD＝∠E．
∴∠E＝∠CBD．
∵∠EDA＝∠BDC，
∴△ADE∽△CDB．
（2）∵AE＝AB，AB＝6，
∴AE＝6．
∵△ADE∽△CDB，
∴．
∵BD＝4，DE＝5，
∴．
∴BC＝．
16．解：（1）∵DE∥BC，
∴∠AED＝∠ECF，∠ADE＝∠ABC，
又∵EF∥AB，
∴∠EFC＝∠ABC（两直线平行，同位角也相等），
∴∠ADE＝∠EFC，
∴△ADE∽△EFC（两角对应相等的两三角形相似）；
（2）∵AB∥EF，DE∥BC，
∴四边形BDEF是平行四边形，
∴EF＝BD，
∵＝2，
∴＝2，
又∵△ADE∽△EFC，
∴＝（）2＝22＝4（相似△的面积比等于相似比的平方），
∵△EFC的面积为1，
∴S△ADE＝4．
17．解：（1）∵△ADE∽△ACB，
∴∠ADE＝∠ACB，
又∵AF为∠BAC的角平分线，
∴∠DAG＝∠FAC，
∴在△ADG与△ACF中，
∴△ADG∽△ACF；
（2）∵ADE∽△ACB，
∴＝＝，
在△ADG∽△ACF时，
AG：AF＝AD：AC＝2：3，
设AG为2x，则AF＝3x，
即GF＝x，
∴＝．
18．（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC．
∵∠A＝∠BDC，
∴△ABD∽△DCB；
（2）∵△ABD∽△DCB，AB＝12，AD＝8，CD＝15，
∴＝，即＝，
解得DB＝10，
DB的长10．
19．（1）证明：∵DE∥AC，
∴∠DEB＝∠FCE，
∵EF∥AB，
∴∠DBE＝∠FEC，
∴△BDE∽△EFC；
（2）解：①∵EF∥AB，
∴＝＝，
∵EC＝BC﹣BE＝12﹣BE，
∴＝，
解得：BE＝4；
②∵＝，
∴＝，
∵EF∥AB，
∴△EFC∽△BAC，
∴＝（）2＝（）2＝，
∴S△ABC＝S△EFC＝×20＝45．
20．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠ADF＝∠CED，∠B+∠C＝180°；
∵∠AFE+∠AFD＝180°，∠AFE＝∠B，
∴∠AFD＝∠C，
∴△ADF∽△DEC；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC＝AB＝8．
∵△ADF∽△DEC，
∴＝，即＝，
∴DE＝12．
∵AD∥BC，AE⊥BC，
∴AE⊥AD．
在Rt△ADE中，∠EAD＝90°，DE＝12，AD＝6，
∴AE＝＝＝6．