数学九年级上册1.锐角三角函数精品课时练习

24.3.1锐角三角函数同步练习华师大版初中数学九年级上册

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 数学活动课上，朝霞同学剪了一张如图所示的三角形纸片，经测量得知，她将纸片的折叠，使点C落在纸片内部，经再次测量得知，则的值为   

A.  B.  C.  D. 1

2. 如图，点A，B，C在正方形网格的格点上，则

A.
B.
C.
D.

3. 如图，一根电线杆的接线柱部分AB在阳光下的投影CD的长为，太阳光线与地面的夹角ACD，则AB的长为     

A. 12
B.
C.
D.

4. 已知，则的值约为

A.  B.  C.  D.

5. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，则的值为

A.  
B.
C.
D.

6. 在中，，若，则sinA的值为

A.  B.  C.  D.

7. 如图，在中，，，点D在BC上，且，将折叠，使点A与点D重合，EF为折痕，则的值是

A.
B.
C.
D.

8. 如图，已知，相邻两条平行直线间的距离相等，若等腰直角三角形ABC的三个顶点分别在这三条平行直线上，则的值是    ．

A.  B.  C.  D.

9. 如图，在中，，，，则tanA等于

A.
B.
C.
D.

10. 如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P，则

A.
B. 3
C.
D. 2

11. 已知，则

A.  B.  C.  D.

12. 如图，已知在中，，点D沿BC自B向C运动点D与点B、C不重合，作于E，于F，则的值：

A. 不变
B. 增大
C. 减小
D. 先变大再变小

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

13. 在中，若，，都是锐角，则________．
14. 在中，若，满足，则___________．
15. 如图，在矩形纸片ABCD中，，，将AB沿AE翻折，使点B落在处，AE为折痕；再将EC沿EF翻折，使点C恰好落在线段上的点处，EF为折痕，连接若，则______．

16. 在中，，若，则 ______ ．
17. 如图，在平面直角坐标系中，点B在第一象限，轴于点A，反比例函数的图象与线段AB相交于点C，且C是线段AB的中点，点C关于直线的对称点的坐标为，若的面积为则下列结论：；；不等式解集是；，其中正确结论的序号是________．

三、解答题（本大题共6小题，共48.0分）

18. 计算：；
    化简：．
    
    
    
    
    
    
     
19. 如图，在中，，，，求的面积．
    
     

先化简，再求值：，其中a满足方程．






 

21. 解方程：；
    计算：．
    
    
    
    
    
    
     
22. 由边长为1的小正方形构成网格，每个小正方形的顶点叫做格点，点A、B、C、D都是格点，仅用无刻度的直尺在给定的网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示按要求完成下列问题：
    
    平移线段AC得到线段DE，在图1中画出线段DE；
    点F在线段BC上，使的面积等于面积的2倍，在图1中画出线段AF；
    点M在线段AD上，使，在图2中画出线段BM．
    
    
    
    
    
    
     
23. 如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的顶点在格点上．仅用无刻度尺的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题：

作的中线CD；     

作的高AD；

在BC边上找一点P，使．

答案和解析

1.【答案】B
 

【解析】解： 如图，由折叠的性质可得，，

，，，
 ，
 ，
 ，故选 B．
 

2.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题考查了勾股定理，三角形的面积，锐角三角函数的定义等知识，根据网格构造直角三角形和利用三角形的面积求出BD是解决问题的关键．
作于D，根据勾股定理求出AB、AC，利用三角形的面积求出BD，最后在直角中根据三角函数的意义求解．
【解答】
解：如图，作于D，
由勾股定理得，，，
，
，
．
故选B．  

3.【答案】C
 

【解析】略
 

4.【答案】A
 

【解析】解：，
故选：A．
根据互余两角三角函数的关系得出答案．
本题考查互余两角三角函数的关系，理解锐角三角函数的定义是得出互余两角三角函数关系的前提．
 

5.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题考查了勾股定理的运用以及锐角三角函数，正确作出辅助线是解题的关键．过C作于D，首先根据勾股定理求出AC，然后在中即可求出的值．
【解答】
解：如图，过C作于D，则，

．
．
故选D．  

6.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查了特殊角的三角函数值及三角形的内角和定理，解答此题的关键是熟记特殊角的三角函数值．
先根据三角形的内角和定理判断出是锐角及，的度数，再根据特殊角的三角函数值求解即可．
【解答】
解：在中，，，
，．
．
故选：B．

7.【答案】A
 

【解析】解：是翻折而成，
≌，，
是等腰直角三角形，
，由三角形外角性质得，
，
设，，则，
，
在中，由勾股定理得，
，
即，
解得：，
．
故选：A．
先根据翻折变换的性质得到≌，再根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质可得到，设，，则，再根据勾股定理即可求解．
本题考查的是图形翻折变换的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、三角形外角的性质，涉及面较广，但难易适中．
 

8.【答案】D
 

【解析】

【分析】
 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数的定义，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．过点A作于D，过点B作于E，根据同角的余角相等求出，然后利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，，然后利用勾股定理列式求出AC，再根据勾股定理求出AB，然后利用锐角的正弦等于对边比斜边列式计算即可得解．
【解答】
解：如图，过点A作于D，过点B作于E，
设和之间的距离为h，则和之间的距离也为h．

，，
，
在等腰直角三角形ABC中，，
在和中，

≌．
，
，
在中，
，
在等腰直角三角形ABC中，
．
．
故选D．  

9.【答案】C
 

【解析】解：在中，，，，由勾股定理得，
，
，
故选：C．
根据勾股定理求出AC，再根据锐角三角函数求出结果即可．
本题考查锐角三角函数，勾股定理，掌握锐角三角函数的定义和勾股定理是解决问题的前提．
 

10.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题考查锐角三角函数的定义，相似三角形的判定与性质，勾股定理及逆定理．
根据网格，设出小正方形的边长为a，表示出，进而得出ADC是等腰直角三角形，，再证明，得出，进而在中，由正切的意义求值即可．
【解答】
解：设小正方形的边长为a，
由图形可知，，，，
，
，
是等腰直角三角形，
．
，
，
，
，
，
．
故选：B．  

11.【答案】C
 

【解析】解：设直角三角形中，锐角所对的边为a，邻边为b，斜边为c，
则，，，
因为，即，
所以，
设，则，由勾股定理可得，，或，，
所以或，
故选：C．
根据锐角三角函数的定义进行计算即可．
本题考查同角三角函数的关系，理解锐角三角函数的意义是解决问题的前提．
 

12.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查三角函数的定义、三角函数的增减性等知识，利用三角函数的定义，得到，记住三角函数的增减性是解题的关键，属于中考常考题型．设，易知，根据，由此即可作出判断．
【解答】
解：于E，于F，
，
，设，
，，

，
，
，
当点D从B向C运动时，是逐渐增大的，
的值是逐渐减小的，
的值是逐渐减小的．
故选C．
面积法：，
，
点D沿BC自B向C运动时，AD是增加的，
的值是逐渐减小．
故选C．  

13.【答案】
 

【解析】

【分析】
此题考查了绝对值的非负性，偶次方的非负性，特殊角三角函数值，利用绝对值和偶次方的非负性，可得，进一步得出，的度数，再利用三角形内角和等于180度计算出的度数，即可得出结论．
【解答】
解：，
，
即，
，都是锐角，
，，
，
，
故答案为．  

14.【答案】
 

【解析】

【分析】
此题主要考查了非负数的性质，特殊角的三角函数值，三角形内角和定理，关键是要熟练掌握特殊角的三角函数值．首先根据绝对值与偶次幂具有非负性可知，，然后根据特殊角的三角函数值得到、的度数，再根据三角形内角和为算出的度数即可．
【解答】
解：，
，，
，，
，，
则，
故答案为．  

15.【答案】
 

【解析】解：连接AF，设，则，，
四边形ABCD是矩形，
，，，
，
，
由折叠知，，，
，
，
，
，
，
解得，或6，
当时，，，，不合题意，应舍去，
，
，
，，
．

故答案为：．
连接AF，设，用x表示AE、EF，再证明，由勾股定理得通过AF进行等量代换列出方程便可求得x，再进一步求出，便可求得结果．
本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，解直角三角形的性质，关键是利用勾股定理列出方程．
 

16.【答案】
 

【解析】解：在直角中，，
，
所以，
故答案为：．
利用锐角三角函数的定义得出互余两角三角函数之间的关系，进而得出答案．
本题考查互余两角三角函数的关系，掌握互余两角三角函数的关系以及锐角三角函数的定义是正确判断的前提．
 

17.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查了轴对称中的坐标变化，反比例函数系数k的几何意义，反比例函数与一次函数的交点问题和锐角三角函数的定义，首先由点与点C关于直线对称，得到，再由的面积得到的面积，由k的几何意义，求出k的值，进而得到n的值，然后由正切的定义求出，再由图象判定即可．
【解答】
解：连接AC，

点与点C关于直线对称，
，
是AB的中点，的面积为4，
的面积为2，
，
又图象在第一象限，
，
，
，，
，故错误，正确，正确；
由图象知，当时，直线在曲线的上方，即，故错误．
故答案为．  

18.【答案】解：原式

；

原式

．
 

【解析】先根据负整数指数幂，特殊角的三角函数值，零指数幂进行计算，再算乘法，最后算加减即可；
先算括号内的减法，把除法变成乘法，再算乘法即可．
本题考查了零指数幂，负整数指数幂，实数的混合运算，特殊角的三角函数值，分式的混合运算等知识点，能正确运用实数和分式的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序．
 

19.【答案】解：过点A作于点D．

在中，，．
在中，，
，
．
 

【解析】本题考查了锐角三角函数，三角形的面积及勾股定理的应用，对于本题应将所求三角形的面积转化到求线段BC的长度及线段AD的长度上来．作辅助线构造直角三角形ABD，利用锐角的正弦和余弦函数的定义求出AD和BD的长度，然后根据勾股定理求出DC的长度，最后根据三角形的面积公式求的面积即可．
 

20.【答案】解：原式

；
原式

，
，
，
，，
满足方程，
，
原式．
 

【解析】本题考查的是实数的混合运算，掌握零指数幂的运算、特殊角的三角函数值、绝对值、有理数的乘方是解题的关键．根据有理数的乘方法则、零指数幂、绝对值的性质、特殊角的三角函数值计算；
本题考查的是分式的化简求值以及解一元二次方程，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．根据分式的混合运算法则把原式化简，然后解一元二次方程求出x，将x代入计算，得到答案．
 

21.【答案】解：，
移项，得，
配方，得，
，
开方，得，
解得：，；

原式

．
 

【解析】移项后配方，开方，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可；
先根据特殊角的三角函数值和完全平方公式进行计算，再算加减即可．
本题考查了解一元二次方程，二次根式的混合运算，完全平方公式，特殊角的三角函数值等知识点，能正确配方是解的关键，能熟记特殊角的三角函数值是解的关键．
 

22.【答案】解：如下图所示，线段DE即为所求；
如下图所示：取，，连接GH，交BC于点F，连接AF，则线段AF为所求；
 

如下图：连接AP，NR交于点O，连接BO并延长交AD于点M，则BM为所求．
 

【解析】

【分析】本题考查了格点作图，平移变换，平行线分线段成比例，锐角三角函数等知识，关键是找出作图依据；
根据平移的性质作图即可；
根据等高三角形的面积比等于底的比，由平行线分线段成比例定理找出的点即可；
根据锐角三角函数的定义，把放到直角三角形中，并且的对边与邻边之比为即可．
【解答】解：因为点A向右平移6个单位，再向上平移1个单位得到点D，所以平移线段AC得到线段DE，故点C向右平移6个单位，再向上平移1个单位得到点E，连接DE，则DE为所求；
的面积等于面积的2倍，
又与的高相等，
，
，
，
故线段AF为所求；
，
四边形ANPR为矩形，
，
易证，
，
故线段BM为所求．  

23.【答案】解：


作的高AD如下图：

在BC边上找一点P，使，如下图：

 

【解析】本题考查了网格作图，三角形的高，锐角三角函数定义，相似三角形的判定和性质，解题关键是能运用正方形网格的特征作图．
根据正方形网格的特征，由相似三角形的判定与性质可得D是AB中点，从而CD是中线。
根据正方形网格的特征，由，连AF，，延长AF交BC的延长线于D点，则AD是的高；
连CE、GF交于点D，作射线AD交BC于点P，则P点即为所求；