华师大版九年级下册27.4 正多边形和圆优秀课后作业题

27.4正多边形和圆同步练习华师大版初中数学九年级下册

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 如图，点P是正六边形ABCDEF内部一个动点，，则点P到这个正六边形六条边的距离之和为．

A. 6
B. 3
C.
D.

2. 如图，ABCDEF是中心为原点O，顶点A，D在x轴上，半径为4的正六边形，则顶点F的坐标为

A.  B.  C.  D.

3. 一个正五边形和一个正六边形按如图方式摆放，它们都有一边在直线l上，且有一个公共顶点O，则的度数是

A.  B.  C.  D.

4. 如图，在正六边形ABCDEF外作正方形DEGH，连接AH，则等于 

A. 3 B.  C. 2 D.

5. 如图，正六边形的边长为2，分别以正六边形的六条边为直径向外作半圆，与正六边形的外接圆围成的6个月牙形的面积之和阴影部分面积是

A.
B.
C.
D.

6. 如图，分别以正五边形ABCDE的顶点A，D为圆心，以AB长为半径作，，若，则阴影部分图形的周长是

A.
B.
C.
D.

7. 如图，等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于，则  

A.
B.
C.
D.

8. 如图，正六边形ABCDEF内接于，过点O作边BC于点M，若的半径为4，则边心距OM的长为

A.
B.
C. 2
D.

9. 如图，正六边形ABCDEF内接于，连结AC，EB，，则EH的长为

A.
B. 18
C.
D. 12

10. 如图，一个正六边形的一边长与它的一边相外切的圆的周长相等，当这个圆按箭头方向从某一位置沿正六边形的六边滚动，直至回到原出发位置时，则这个圆共转了

A. 6圈
B. 7圈
C. 8圈
D. 9圈

11. 如图，已知正六边形ABCDEF的边长为2，G，H分别是AF和CD的中点，P是GH上的动点，连接AP，BP，则的值最小时，BP与HG的夹角锐角度数为

A.
B.
C.
D.

12. 如图，正方形ABCD内接于，线段MN在对角线BD上运动，若的面积为，，则周长的最小值是

A. 3
B. 4
C. 5
D. 6

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

13. 如图，正六边形内接于，小明向圆内投掷飞镖一次，则飞镖落在阴影部分的概率是______．
    
     

14. 如图，将内接于的正六边形ABCDEF放在直角坐标系中，圆心O与坐标原点重合，若A点的坐标为，则图中阴影部分的面积为______．结果保留根号
    
     

15. 如图，已知一个边长为1的正六边形ABCDEF，边CD在x轴上，点B在y轴上，反比例函数的图象经过该正六边形其中一个顶点，并与正六边形另一边相交，则该交点的横坐标为______．

16. 如图，正六边形ABCDEF的边长为2，M点是四边形CDEF内的一个动点，若．
    ______；
    动点M所经过的路线长是______．
    
     

17. “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”这是我国古代著名数学家刘徽在九章算术注中提到的“如何求圆的周长和面积”的方法，即“割圆术”“割圆术”的主要意思是用圆内接正多边形去逐步逼近圆．刘徽从圆内接正六边形出发，将边数逐次加倍，并逐次得到正多边形的周长和面积．如图，AB是圆内接正六边形的一条边，半径，于点D，则该圆内接正十二边形的面积与圆的面积之比为___________结果不取近似值．

三、解答题（本大题共6小题，共48.0分）

18. 已知：如图1，是的内接正三角形，点P为劣弧BC上一动点．
    求证：当点P为的中点时，A，O，P三点共线；
    求证：；
    已知：如图2，四边形ABCD是的内接正方形，点P为劣弧BC上一动点．求证：．

19. 我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆．如图，将放在每个小正方形边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上．
    用无刻度直尺画出的最小覆盖圆的圆心保留作图痕迹．
    该最小覆盖圆的半径是______．
    
    
    
    
    
    
     
20. 如图，正五边形ABCDE内接于，P为上的一点点P不与点D，E重合，求的余角的度数．
    
     

21. 如图，在网格纸中，O、A都是格点，以O为圆心，OA为半径作圆．用无刻度的直尺完成以下画图：不写画法
    
    在图中画的一个内接正六边形ABCDEF；
    在图中画的一个内接正八边形ABCDEFGH．
    
    
    
    
    
    
     
22. 如图，已知的内接正十边形，AD交OB，OC于M，求证：
    
    
    
    
    ．
    
    
    
    
    
    
     
23. 如图，M、N分别是的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE的边AB、BC上的点，且，连接OM、ON．
    
    图中的度数是          
    图中的度数是          ，图中的度数是          
    若M、N分别是正n边形的边AB、BC上的点，且，连接OM、ON，则的度数是          ．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查了正多边形和圆，解决本题的关键是理解点P到这个正六边形六条边的距离之和即为当点P为正六边形的中心到六条边的距离之和．
根据题意可得点P到这个正六边形六条边的距离之和，即为当点P为正六边形的中心时，点P到六条边的距离之和，即可解答．
【解答】
解：如图，当点P是正六边形的中心时，
连接PB、PC，过点P作于点H，延长HP交EF于点G，
则点P到这个正六边形六条边的距离之和即为6PH的长．

根据正六边形的性质可知：
是等边三角形，
，
，
，，
，
．
点P到这个正六边形六条边的距离之和为．
故选：C．  

2.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查了正多边形和圆，坐标与图形性质，解直角三角形，难度适中．得出，是解题的关键．
连接OF，由于正六边形的中心角是，则是等边三角形，，设EF交y轴于G，那么，然后解，求出GF与OG的值，进而得到点F的坐标．
【解答】
解：连接OF．

，，
是等边三角形，
．
设EF交y轴于G，则．
在中，
，，
，．

故选：C．  

3.【答案】B
 

【解析】解：由题意：，，，，
，
，
故选：B．
利用正多边形的性质求出，，即可解决问题；
本题考查正多边形与圆，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

4.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题主要考查正六边形的性质、正方形的性质以及解直角三角形，解题的关键是在正六边形中求出BD的长度．
设正六边形的边长为a，求出BH长，根据正切值算出BH与AB的比即可．
【解答】
解：连接BD，如图所示：

由正六边形和正方形的性质得：B、D、H三点共线，
设正六边形的边长为a，则，
在中，，，

．
在中，．
故选：B．  

5.【答案】A
 

【解析】解：6个月牙形的面积之和，
故选：A．
图中阴影部分面积等于6个小半圆的面积和大圆的面积正六边形的面积即可得到结果．
本题考查了正多边形与圆，圆的面积的计算，正六边形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键．
 

6.【答案】A
 

【解析】解：五边形ABCDE为正五边形，，
，，
的长的长，
阴影部分图形的周长的长的长．
故选：A．
由五边形ABCDE可得出，、，利用弧长公式可求出和的长度，再根据周长的定义，即可求解．
本题考查了正多边形和圆、弧长公式以及周长的定义，利用弧长公式求出和的长度是解题的关键．
 

7.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题考查了正多边形和圆、垂径定理、等边三角形的性质、正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握垂径定理、等边三角形和正方形的性质是解题的关键．
连接OA、OB、OD，过O作于H，由垂径定理得出，证出是等腰直角三角形，，，得出，，则，进而得出答案．
【解答】
解：连接OA、OB、OD，过O作于H，如图所示：

则，
正方形ADEF和等边三角形ABC都内接于，
，，
，
是等腰直角三角形，，
，，
，
，
，
，
故选：B．  

8.【答案】A
 

【解析】解：如图，连接OB、OC．

六边形ABCDEF是正六边形，
，，
是等边三角形，
，
，
，
在中，，
故选：A．
连接OB、先证明是等边三角形，求出BC、BM，再根据勾股定理求出OM即可．
本题考查正多边形与圆、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握正六边形的性质和等边三角形的判定与性质是解题的关键，属于中考常考题型．
 

9.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题考查了正多边形和圆以及解直角三角形等知识，利用三角函数得出CO的长是解题的关键直接利用直角三角形的性质进而得出CO，HO的长即可得出EH的长．
【解答】
解：连接CO，

正六边形ABCDEF，
，，
是等边三角形，
此时，，
，
，
解得：，
故，
则，，
故EH．
故选B．  

10.【答案】B
 

【解析】解：如图所示：
由切线的性质得：圆从一边旋转到另一边时，圆心要绕六边形的顶点旋转，
则圆绕6个顶点一共旋转了，即转了1圈，
正六边形的一边长与它的一边相外切的圆的周长相等，
圆在正六边形的6条边上滚动时要转6圈，
这个圆共转了7圈，
故选：B．
求出圆绕正六边形的顶点和边长共转的圈数即可．
本题考查了正六边形和圆、切线的性质等知识；熟练掌握正六边形的性质是解题的关键．
 

11.【答案】C
 

【解析】解：如图，连接PF，BF，BF交GH于点，连接．

正六边形ABCDEF中，G，H分别是AF和CD的中点，
是正六边形的对称轴，
，
，
，
当点P与点重合时，的值最小，
，，
，
，
，
故选：C．
如图，连接PF，BF，BF交GH于点，连接首先证明当点P与点重合时，的值最小，利用等腰三角形的性质求出即可解决问题．
本题考查正多边形与圆，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用三角形的三边关系解决最短问题，属于中考常考题型．
 

12.【答案】B
 

【解析】解：的面积为，则圆的半径为，则，
由正方形的性质，知点C是点A关于BD的对称点，
过点C作，且使，
连接交BD于点N，取，连接AM、CM，则点M、N为所求点，

理由：，且，则四边形为平行四边形，
则，
故的周长为最小，
则，
则的周长的最小值为，
故选：B．
由正方形的性质，知点C是点A关于BD的对称点，过点C作，且使，连接交BD于点N，取，连接AM、CM，则点M、N为所求点，进而求解．
本题是为几何综合题，主要考查了圆的性质、点的对称性、平行四边形的性质等，确定点M、N的位置是本题解题的关键．
 

13.【答案】
 

【解析】

【分析】
此题主要考查了正多边形和圆、概率公式以及扇形面积求法，得出阴影部分面积是解题关键．
根据图形分析可得求图中阴影部分面积实为求扇形部分面积，而扇形面积是圆面积的，可得结论．
【解答】
解：如图所示：连接OA，

正六边形内接于，
，都是等边三角形，
，
，
，
，
扇形OBC面积是圆面积的，
则飞镖落在阴影部分的概率是；
故答案为：．  

14.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查的是正多边形和圆，解答本题主要应用了正六边形的性质、等边三角形的性质，发现阴影部分的面积等于的面积是解题的关键．
连接BO，CO，则阴影部分的面积等于的面积，然后由六边形ABCDEF为正六边形可得到为等边三角形，然后求得的面积即可．
【解答】
解：如图，连接BO，CO．

六边形ABCDEF为正六边形，
是等边三角形．
点的坐标为，
．
．
，，
，，
．
阴影部分的面积．
故答案为．  

15.【答案】1或
 

【解析】解：由题意，，
当反比例函数的图象经过点E时，，
此时反比例函数的图象与AF交于，
当反比例函数的图象经过点A时，，
此时反比例函数与DE相较，设交点坐标为，
则有，
整理得，
或负根舍弃，
交点的横坐标，
故答案为：1或．
由题意，，当反比例函数的图象经过点E时，，此时反比例函数的图象与AF交于，当反比例函数的图象经过点A时，，此时反比例函数与DE相较，设交点坐标为，再构建方程求解即可．
本题考查正多边形与圆，反比例函数的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．
 

16.【答案】 
 

【解析】解：六边形ABCDEF是正六边形，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：； 
连接AC，作CF的中垂线ON交AC于点O，
正六边形的边长为2，
，
，
点在以O为圆心，CO为半径的圆上运动，
点在四边形CDEF内，
点在弧CF上运动，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
由正六边形的性质可知，，，再由等量代换可求，则可求的度数；
连接AC，作CF的中垂线ON交AC于点O，M点在以O为圆心，CO为半径的圆上运动，M的运动轨迹为弧CF，分别求出的半径为，弧CF所对的圆心角为，再由弧长公式即可求解．
本题考查正多边形与圆，熟练掌握正六边形的性质，再由定角定弦确定M点所在圆的圆心与半径是解题的关键．
 

17.【答案】
 

【解析】

【分析】
此题考查正多边形与圆，关键是根据直角三角形的性质以及勾股定理解答．
根据圆内接正十二边形的内角和直角三角形的性质以及勾股定理解答即可．
【解答】
解：圆内接正十二边形的边长所对的圆心角，半径，
，，，
圆内接正十二边形的面积为
则该圆内接正十二边形的面积与圆的面积之比为
故答案为：．  

18.【答案】证明：是的内接正三角形．
，
又点P为的中点，
，
，
，
为的直径，
即A、O、P三点共线．
延长BP至E，使，连接CE，如图1，
、B、P、C四点共圆，
，
，
，，
是等边三角形，
，，
又，，
，
、为等边三角形，
，，
在和中，
，
≌，
．
过点B作交PA于E，如图2，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
．
 

【解析】根据是的内接正三角形．得到，由点P为的中点，得到，再求得，可知AP为的直径，故可得A，O，P三点共线；
延长BP至E，使，连接CE，证明是等边三角形，利用，，，得到≌，即可证得结论；
过点B作交PA于E，证明≌，可得出．
本题主要考查了全等三角形判定和性质，正多边形和圆的有关知识，熟练掌握全等三角形判定和性质等相关知识，添加辅助线构造全等三角形是解题关键．
 

19.【答案】
 

【解析】解：如图，点O即为所求．
半径．

故答案为：．
作出线段AB，AC的垂直平分线的交点O即可．
连接OA，利用勾股定理求出OA即可．
本题考查作图应用与设计作图，三角形的外接圆，勾股定理等知识，解题的关键是理解三角形的外心是各边垂直平分线的交点．
 

20.【答案】解：如图，连接OC，OD．

五边形ABCDE是正五边形，
，
，
的余角的度数为．
 

【解析】连接OC，OD，先由正五边形的性质求出的度数，再根据圆周角定理求出的度数，即可解决问题．
本题考查正多边形和圆、圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握正五边形的性质和圆周角定理，属于中考常考题型．
 

21.【答案】解：如图所示，

如图，正六边形ABCDEF即为所求；
如图，正八边形ABCDEFGH即为所求．
 

【解析】本题考查了作图应用与设计作图、正多边形和圆，解决本题的关键是准确画图．
在图中画的一个内接正六边形ABCDEF即可；
在图中画的一个内接正八边形ABCDEFGH即可．
 

22.【答案】证明：如图，连接OA，OD，则，
．

又，
．
．
，，
．
．
．
，，
．
，
．
又，
．．
又，
．
．

【解析】见答案
 

23.【答案】解： ，
如图，连接OB、OC，易得．
在和中， 
．
，．
，．
 

；；

．

【解析】见答案