数学九年级下册3. 切线精品练习

27.2.3切线同步练习华师大版初中数学九年级下册

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 在中，，，内切圆半径为1，则三角形的周长为

A. 15 B. 12 C. 13 D. 14

2. 下列说法正确的是 

A. 圆周角是圆心角的一半
B. 三点确定一个圆
C. 三角形的内心到三角形三边的距离相等
D. 正五边形是中心对称图形

3. 如图，已知PA，PB是的两条切线，A，B为切点，线段OP交于点给出下列四种说法：
   ；
   ；
   四边形OAPB有外接圆；
   是外接圆的圆心．
   其中正确说法的个数是

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

4. 如图，的边AC与相交于C、D两点，且经过圆心O，边AB与相切，切点为B，如果，那么等于

A.
B.
C.
D.

5. 如图，PA是的切线，点A为切点，OP交于点B，，点C在上，则等于

A.
B.
C.
D.


 

6. 如图，边长为的等边的内切圆的半径为

A. 1
B.
C. 2
D.

7. 设边长为a的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为h、r、R，则下列结论不正确的是

A.
B.
C.
D.

8. 如图，的内切圆与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且，，，则阴影部分即四边形的面积是

A. 4 B.  C.  D. 9

9. 如图，在中，，点O为的内心，则的度数为

A.
B.
C.
D.

10. 如图，已知，B为双曲线上的一点，，C为y轴的正半轴上一动点，当时，最大．

A.
B.
C.
D. 1

11. 如图，AB是的直径，C是上的点，过点C作的切线交AB的延长线于点若，则的值为

A.  B.  C.  D.

12. 如图，的半径为4，CD切于点D，AB是直径．若于点F且，则ED的长度为

A.
B. 4
C. 6
D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

13. 如图，AB为的直径，直线l与相切于点C，，垂足为D，AD交于点E，连接OC、若，，则线段DC的长为          ．

14. 如图，P是抛物线上的一点，以点P为圆心、1个单位长度为半径作，当与x轴相切时，点P的坐标为____．
    
     

15. 如图，直线交x轴于点A，交y轴于点B，点P是x轴上一动点，以点P为圆心，以1个单位长度为半径作，当与直线AB相切时，点P的坐标是______．
    
     

16. 如图，O的半径为，点B为O上一动点，B，AC是O的切线，BC与O交于点D，则CD的最小值为_____________．
     

17. 如图，在中，，是它的内切圆，与AB，BC，CA分别切于点D，E，F，若，则______．

三、解答题（本大题共6小题，共48.0分）

18. 如图，在中，，以AB为直径的与BC相交于点D，过点D作的切线交AC于点E．
    求证：；
    若的半径为5，，求DE的长．

19. 如图，在中，，点D为BC边的中点，以AD为直径作，分别与AB，AC交于点E，F，过点E作于G．
    求证：EG是的切线；
    若，的半径为5，求BE的长．
    
    
    
    
    
    
     
20. 如图，AB是的直径，BC是的弦，直线MN与相切于点C，过点B作于点D．
    求证：；
    若，，则的半径是______．
    
    
     

21. 如图，在平面直角坐标系中，的斜边AB在y轴上，边AC与x轴交于点D，经过A，D两点的圆的圆心F恰好在y轴上，与边BC相切于点E，与x轴交于点M，与y轴相交于另一点G，连接AE．
    求证：AE平分；
    若点A，D的坐标分别为，，求的半径；
    求经过三点M，F，D的抛物线的解析式．
     

22. 如图，AB为的直径，C为上一点，的平分线交于点D，于点E．
    试判断DE与的位置关系，并说明理由；
    若的半径为3，，求CE的长．
    
     

23. 如图，AB是圆O的直径，O为圆心，AD、BD是半圆的弦，且延长PD交圆的切线BE于点E
    判断直线PD是否为的切线，并说明理由；
    如果，，求PA的长．
    将线段PD以直线AD为对称轴作对称线段DF，点F正好在圆O上，如图2，求证：四边形DFBE为菱形．

答案和解析

1.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题考查了切线的性质，正方形的性质和判定，切线长定理，三角形的内切圆等知识点的应用，关键是求出CD、CF、的长，主要考查学生运用定理进行计算的能力，题目比较典型，难度适中．
根据切线的性质得出，得出正方形ODCF，求出，根据切线长定理求出，代入求出即可．
【解答】解：设与边AC、AB、BC分别相切于点D、E、F，
连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，

是的内切圆，切点分别是D、E、F，
，，，，，
，
，
四边形ODCF是正方形，
，
，，
，
，
的周长是：．
故选B．  

2.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
根据圆周角定理、圆的条件、三角形内心以及切线的性质判断即可．
【解答】
解：A、同弧所对的圆周角是圆心角的一半 ，原命题是假命题；
B、不在同一直线上的三点确定一个圆，原命题是假命题；
C、三角形的内心到三角形三边的距离相等，是真命题；
D、正五边形是轴对称图形不是中心对称图形，原命题是假命题；
故选C  

3.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查切线的性质，切线长定理以及三角形的外接圆与外心，PB是的两条切线，A，B为切点可得，，得到OP垂直平分AB，由PA，PB是 的两条切线，A，B为切点得到，从而得到四边形OAPB有外接圆，只有当时，点M到各顶点的距离相等得到M不一定为外接圆的圆心即可解答．
【解答】
解：  ，PB是的两条切线，A，B为切点，
，故正确 
，，
垂直平分AB，故正确
，PB是 的两条切线，A，B为切点，
，，
 ，
点A、B在以OP为直径的圆上，
四边形OAPB有外接圆，故正确
只有当时，点M到各顶点的距离相等， 
不一定为外接圆的圆心，故错误．
故选C．  

4.【答案】B
 

【解析】解：如图，连接OB，

与相切，
，
，
，，
，
，
，
故选：B．
连接OB，由切线的性质可求得，再由圆周角定理可求得．
本题主要考查切线的性质，掌握过切点的半径与切线垂直是解题的关键．
 

5.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题考查的是切线的性质、圆周角定理、平行线的性质、等腰三角形的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
连接OA，根据切线的性质得到，求出，根据等腰三角形的性质、平行线的性质求出，根据圆周角定理解答即可．
【解答】
解：连接OA，

是的切线，
，
，
，
，
，
，
，
由圆周角定理得，，
故选B．  

6.【答案】A
 

【解析】

【分析】
本题考查了等边三角形的性质，三角形的内切圆与内心等知识，三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．
连接AO、CO，CO的延长线交AB于H，如图，利用内心的性质得CH平分，AO平分，再根据等边三角形的性质得，，则，，然后利用勾股定理计算出OH即可．
【解答】
解：设的内心为O，连接AO、CO，CO的延长线交AB于H，如图，

为的内心，
平分，AO平分，
为等边三角形，
，，
，，
设，则，
在中，
由勾股定理得：，
，
，
即内切圆的半径为1．
故选：A．  

7.【答案】C
 

【解析】解：如图，

是等边三角形，
的内切圆和外接圆是同心圆，圆心为O，
设，，，
，故A正确；
，
，
在中，
，故B正确；
，
，
，
，，
，，故C错误，D正确；
故选：C．
根据等边三角形的内切圆和外接圆是同心圆，设圆心为O，根据角所对的直角边是斜边的一半得：；等边三角形的高是R与r的和，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了等边三角形及它的内切圆和外接圆的关系，等边三角形的内心与外心重合，是三条角平分线的交点；由等腰三角形三线合一的特殊性得出角和，利用直角三角形的性质或三角函数得出R、r、h的关系．
 

8.【答案】A
 

【解析】解：，，，
，
为直角三角形，，
、AC与分别相切于点E、F
，，
四边形OFAE为正方形，
设，
则，
的内切圆与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，
，，
，
，
阴影部分即四边形的面积是．
故选：A．
利用勾股定理的逆定理得到为直角三角形，，再利用切线的性质得到，，所以四边形OFAE为正方形，设，利用切线长定理得到，，所以，然后求出r后可计算出阴影部分即四边形的面积．
本题考查了三角形的内切圆和内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了勾股定理的逆定理和切线的性质．
 

9.【答案】A
 

【解析】解：点O为的内心，
平分，BO平分，
，，
，
，
，
，
故选：A．
根据三角形的三个内角的平分线相交的点为内心，可知，，由的度数和三角形内角和为，可求出，进而可求出的度数．
本题考查了三角形的内心的性质．根据是根据内心的性质，得出三角形两内角平分线的夹角与第三个角之间的等量关系是解题的关键．
 

10.【答案】A
 

【解析】设AB的中点为M，作轴于点H，作轴于点G，

，

，
设，则，
，
，
，，
，，
，
设MG：，
得，
，
，
设过A，B且与y轴相切的圆的圆心为，切点为Q，
是AB的中垂线，
，
，
，
，


，
当C与Q重合时，最大，
，，




，
，
故选：A．
作圆过A，B且与y轴相切点为Q，当C与Q重合时，最大，设圆心，用n的代数式表示出AQ，BQ，即可求解．
本题考查了反比例函数图象上点的特征，以及圆周角定理推论的应用，是一道综合性较强的题目，关键是构造过A，B且与y轴相切的圆，找到切点的位置．
 

11.【答案】A
 

【解析】

【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，特殊角的三角函数值首先连接OC，由CE是O切线，可证得，又由圆周角定理，求得的度数，继而求得的度数，然后由特殊角的三角函数值，求得答案．
【解答】解：如图，连接OC，CE是O的切线，OCCE．
，，
，
．

故选A．

12.【答案】D
 

【解析】解：切于点D，
，
，
，
，
是直径，，
，，
，
，
故选：D．
由切线的性质求出，由垂径定理得到，根据含直角三角形的性质得到，再由勾股定理求出DF，即可得到ED．
本题主要考查了切线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，根据切线的性质求出是解决问题的关键．
 

13.【答案】4
 

【解析】

【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．解决本题的关键是证明四边形CDEF为矩形．
设OC交BE于F，如图，有圆周角定理得到，加上，则可判断，再利用切线的性质得，则，原式可判断四边形CDEF为矩形，所以，接着利用勾股定理计算出BE，然后利用垂径定理得到EF的长，从而得到CD的长．
【解答】

解：设OC与BE相交于点F，是的直径，，，在中，，．直线l是的切线，，又，，四边形CDEF为矩形，．

14.【答案】或或
 

【解析】

【分析】
本题考查了切线的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
与x轴相切，半径为1个单位长度，即点P的纵坐标，根据P是抛物线上的一点，代入计算出x的值，并写出点P的坐标．

【解答】
解：当时，，

解得：，

或，

当时，，

解得：，

，

则点P的坐标为：或或．

故答案为：或或．

15.【答案】或
 

【解析】

【分析】
本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，一次函数图形上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，正确的理解题意是解题的关键．根据函数解析式求得，，得到，，根据勾股定理得到，设与直线AB相切于D，连接PD，则，，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】
解：直线交x轴于点A，交y轴于点B，
令，得，令，得，
，，
，，
，
设与直线AB相切于D，
连接PD，
则，，
，，
∽，
，
，
，
或，
或，
故答案为：或．  

16.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查切线的性质，等边三角形的判定和性质，以及直角三角形的性质，作出辅助线是解题关键连接OA、OD、AD，当时，CD取得最小值证得是等边三角形，得出AD的长，进而根据切线的性质得出，然后求出CD的长即可．
【解答】
解：，
点D为定点．
如图，连接OA、OD、AD，当时，CD取得最小值．

，
．
，
为等边三角形，
，．
是的切线，
，
，
，
即CD的最小值为．
故答案为．  

17.【答案】
 

【解析】解：在中，，，
，
是的内切圆，与AB，BC，CA分别切于点D，E，F，
、BC是的切线，
，
，
故答案为：．
利用直角三角形性质求出，再利用切线性质求出，再利用四边形内角和为，即可求得答案．
本题考查了圆的切线性质，三角形内切圆性质，四边形内角和定理等知识，熟练应用切线的性质定理是解题关键．
 

18.【答案】证明：连接AD、OD．

是圆O的直径，
．
．
是圆O的切线，
．
．
．
，
．
．
，，
．
，
．
．
．
解：，，
，
的半径为5，，
，，
，
，
．
 

【解析】本题考查了圆周角定理，切线的性质，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，三角形的面积等知识，掌握切线的性质是解题的关键．
连接AD、先证明，，从而可证明，由可得到，由等腰三角形的性质可知，故此，由三角形的内角和定理可知，于是可得到．
由等腰三角形的性质求出，由勾股定理求出AD的长，根据三角形的面积得出答案．
 

19.【答案】证明：如图，连接EF，
，
是的直径，
，
，
点D是的斜边BC的中点，
，
，
，
，
，
，
点E在上，
是的切线；

的半径为5，
，
在中，，
根据勾股定理得，，
由知，
，
．
 

【解析】先判断出EF是的直径，进而判断出，即可得出结论；
先根据勾股定理求出AE，再判断出，即可得出结论．
此题主要考查了圆的有关性质，切线的判定，直角三角形斜边的中线是斜边的一半，勾股定理，判断出是解本题的关键．
 

20.【答案】5
 

【解析】证明：连接OC，
为的切线，
，
，
，
．
又，
，
；
解：连接AC，
在中，，，
，
是的直径，
，
，
，
∽，
，即，
，
的半径是5，
故答案为5．
连接OC，由切线的性质可得，即可证得，由平行线的性质和等腰三角形的性质可得，即可证得结论；
连接AC，由勾股定理求得BD，然后通过证得∽，求得直径AB，从而求得半径．
本题考查了切线的性质和圆周角定理、三角形相似的判定和性质以及解直角三角形，作出辅助线构建等腰三角形、直角三角形是解题的关键．
 

21.【答案】解：连接FE，

与边BC相切于点E，
，
，
，
，
，
，
，
，
平分；
连接FD，
设的半径为r，
，，
，，
在中，，
，
解得：，
的半径为；
，，，
，
直径AG垂直平分弦MD，点M和点关于y轴对称轴，
，
设抛物线解析式为，
将点代入，得：，
解得：，
则抛物线解析式为．
 

【解析】本题是圆的综合问题，主要考查了圆的切线的性质、平行线的判定与性质、勾股定理、待定系数法求二次函数解析式等知识点．
连接FE，先根据切线的性质知，结合证得，根据知，从而得，即可得证；
连接FD，设的半径为r，根据知，解之可得；
根据圆的对称性得出点M的坐标，设抛物线的交点式，将点F坐标代入计算可得．
 

22.【答案】解：与相切．
连接OD．

，
，
的平分线交于点D，
，
，
，
于点E，
，
与相切；
过点D作于点F，连接DC，

，，，
，，
，
，，
≌，
，
，，
≌，
，
，
，
．
 

【解析】本题考查了直线与圆的位置关系，圆周角定理，全等三角形判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
连接OD，由题意可得，可得，可证，即可证DE与相切；
过点D作于点F，连接DC，由题意可证≌，≌，可得，，即可求EC的长．
 

23.【答案】解：直线PD为的切线
证明：如图1，连接OD，是圆O的直径，

，
又，
，
，即
点D在上，
直线PD为的切线．

解：是的切线，
，
为的切线，
在中，，




证明：如图2，依题意得：，
，

是圆O的直径，
设，则，
四边形AFBD内接于，
即，解得

、ED是的切线，，
，是等边三角形．

又，
是等边三角形．
，
四边形DFBE为菱形．
 

【解析】连接OD，由AB是圆O的直径可得，进而求得，即可得出直线PD为的切线；
根据BE是的切线，则，即可求得，再由PD为的切线，得，求得OD，由勾股定理得OP，即可得出PA；
根据题意可证得，由AB是圆O的直径，得，设，则可表示出，，由圆内接四边形的性质得出x的值，可得出和是等边三角形．进而证出四边形DFBE为菱形．
本题是一道综合性的题目，考查了切线的判定和性质，圆周角定理和菱形的性质，是中档题，难度较大．