初中数学人教版九年级上册第二十四章 圆24.1 圆的有关性质24.1.2 垂直于弦的直径教案

这是一份初中数学人教版九年级上册第二十四章 圆24.1 圆的有关性质24.1.2 垂直于弦的直径教案，共10页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学用具，教学过程设计等内容，欢迎下载使用。
1.探索圆的对称性，进而得到垂径定理及其推论；
2.能利用垂径定理及其推论解决相关证明、计算及实际问题；
3.经历探索垂径定理及其推论的过程，发展推理能力，让学生领会数学的严谨性，培养学生实事求是的科学态度；
4.进一步体会和理解研究几何图形的各种方法；培养学生独立探索，相互合作交流的精神，并体验发现的乐趣.
二、教学重难点
重点：垂径定理及其逆定理的应用.
难点：对垂径定理的探索和证明，并能应用垂径定理进行简单计算或证明.
三、教学用具
多媒体课件、圆形纸片
四、教学过程设计
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
环节一
创设情境
【观察思考】
赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶. 它的主桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37m，拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
教师PPT展示赵州桥的图片，并提出问题，引导学生思考.注意：这里只提出问题，学生暂时还不能解答.
观察所给图片，根据老师的提问，思考.
从学生熟悉的历史事物中提出问题、设置悬疑、激发学生的学习兴趣.让学生体会生活中数学随处可见，体验数学如何用来解决生活中的实际问题.
环节二 探究新知
【合作探究】
剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？
预设答案：①圆是轴对称图形，②任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.
教师提出提问，并让学生拿出事先准备好的圆形纸片，动手操作，观察，学生充分交流后，教师汇总补充，最后PPT动态展示.
在此基础上追问：你能证明上面的结论吗？
动手操作，折纸、观察、归纳，重新认识圆，从折纸的角度认识圆的对称性
让学生通过动手实践来感受圆的轴对称性.通过回忆轴对称图形的性质，引导学生来证明圆是轴对称图.
【证明】
教师引导学生发现，要证明圆是轴对称图形，只需要证明圆上任意一点关于直径所在的直线(对称轴)的对称点也在圆上即可.
如图，设CD是⊙O的任意一条直径，A为⊙O上点C，D以外的任意一点.证明点A关于直线CD的对称点仍在⊙O上.
证明：过点A作AA'CD，交⊙O于点A'，垂足为M，连接OA，OA'
在△OAA'中，∵OAOA'
∴△OAA'是等腰三角形
又∵AA'CD
∴AM=MA'，即CD是AA'的垂直平分线.
教师可在圆上任取若干个点进行说明，进一步验证前面得到的结论.
先让学生独立思考，然后小组内交流探讨证明过程.
通过证明引导学生思考，使学生充分经历操作、观察、猜想、验证等合情推理的过程，初步培养学生分析问题、解决问题的能力.
【探究】
在刚刚的证明过程中，你能发现图中有哪些相等的线段、弧吗？
预设答案：AM=A'M，，
教师再次动态展示折纸的过程，让学生观察，并在此基础上得出结论.并尝试让学生用语言描述所得到的结论，教师引导并补充完善.
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
教师带领学生分析垂径定理的题设，结论.并试着结合图形把文字语言转化为数学语言.
学生观察，思考并回答.然后尝试用语言总结所得结论,组内交流探讨，形成一致结论后，选代表发言
再次观察折叠圆的过程，让学生在理解圆的对称性的基础上进一步发现相等的线段、弧，尝试总结出垂径定理.
巩固垂径定理的内容，并锻炼学生把文字语言转化为数学语言的能力.
【想一想】
下列图形是否具备垂径定理的条件？
预设答案：（1）（3）满足；（2）（4）不满足.
教师提出问题，学生抢答.对于不具备垂径定理条件的图形，引导学生说出原因，并追问：
怎样修改图（2）、（4）能够满足垂径定理的条件？
预设答案：
教师带领学生观察修改后的图片，引导学生总结：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.其中，直径并不是必要条件，只要满足过圆心即可.
学生思考并抢答.
进一步加深对垂径定理的理解，巩固所学知识，并提升对知识的运用.
【探究】
当直径CD平分一条弦AB(不是直径)时，能否得出CDAB?
教师提出问题，引导学生仿照前面的证明方法证明.并用文字语言描述所得结论，得出垂径定理的推论：
垂径定理的推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
教师追问：为什么强调“不是直径”呢？
预设答案：圆的任意两条直径都互相平分，但它们不一定互相垂直.
学生结合图形，观察理解并回答.
引导学生思考、证明和总结，得出垂径定理的推论.培养学生的逻辑思维能力及运用所学知识解决问题的能力.
【想一想】
判断下列说法是否正确：
1.垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
2.平分弦的直径垂直于弦.
3.平分一条直径的弦必垂直于这条直径.
预设答案：1.；2. ；3. .
教师提出问题，随机选人回答.
学生思考
巩固所学知识，加深对知识的理解.
【延伸】
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
垂径定理的推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
教师带领学生归纳出垂径定理及推论中，蕴含的五个条件：
①过圆心，②垂直于弦，③平分弦, ④平分弦所对的优弧，⑤平分弦所对的劣弧.
并引导学生发现，垂径定理是①②→③④⑤；垂径定理的推论是①③→②④⑤.
追问：还有别的结论吗？
预设答案：
学生思考并回答.
在已有知识的基础上适当延伸拓展，使学生能够理解这5个条件可以知二推三，锻炼学生的思维能力及灵活运用所学知识的能力.
环节三 应用新知
【典型例题】
通过这节课的学习，现在你能解决课程一开始的问题了吗？
教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，教师巡视，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程.
例1：赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37m，拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，求赵州桥主桥拱的半径(结果保留小数点后一位).
解：如图表示主桥拱，设所在的圆的圆心为O，半径为R.经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与相交于点C，连接OA，
根据垂径定理，D是AB的中点，C是 的中点，CD就是拱高.
由题设可知：AB37，CD7.23，
∴ADAB3718.5，
ODOCCDR7.23，
在Rt△OAD中，由勾股定理得：
OA2AD2OD2，即：R218.52(R7.23)2
解得：R27.3.
因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.3m.
学生观察、思考并回答.

通过例题讲解，巩固本节课所学知识. 培养学生解决问题的能力，发展应用意识，锻炼实践能力.
环节四 巩固新知
教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.
1.在⊙O中，若CDAB于M，AB为直径，则下列结论不正确的是( )
A.
B.
C. AMOM
D. CMDM
答：C
2. 已知⊙O的直径AB10，弦CDAB于M，OM3，则CD .
答：8.
3. 在⊙O中，弦CDAB于M，AB为直径，若CD10， AM1，则⊙O的半径为 .
答：13.
4.⊙O的半径为13cm，AB、CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，求AB和CD之间的距离.
解：过点O向AB，CD作垂线，垂足分别为M，N，连接OB，OD.
由垂径定理可得：
BMAB12cm，DNCD5cm
又∵OBOD13cm
在Rt△OBM， Rt△ODN中，
由勾股定理得：OM5cm，ON12cm
∴AB和CD之间的距离MNOMON7cm
或MNOMON17cm
学生自主练习
进一步巩固本节课的内容. 了解学习效果，让学生经历运用知识解决问题的过程，给学生获得成功体验的空间.
环节五 课堂小结
思维导图的形式呈现本节课的主要内容：
学生回顾本节课所学知识，谈收获，体会，师评价.
通过提问让学生回顾、总结、梳理本节课所学内容. 使零散的知识系统化，同时培养学生的语言表达能力.
环节六
布置作业
教科书第83页练习第1、2题.
学生课后自主完成.
通过作业，反馈对所学知识的掌握程度.